�？谑�2007年高考適應性測試
數學(理科)試題卷
注意事項：
1．本次考試的試卷分為試題卷和答題卷，本卷為試題卷，請將答案和解答寫在答題卷指定的位置，在試題卷和其它位置解答無效．
2．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 
正態分布密度曲線是下列函數的圖像：
，
，其中實數
和
為參數．
特別有：
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在本卷上作答無效)
1．設集合
，
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．命題：“設
，
，
，若
，則
”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為
A．0 B．
3．已知向量
，
，且
⊥
，則
A．
B．
C． 
D．
4．已知
是函數
的一個零點，則函數
的零點是
A．
B．
C．
D．2或1
5．函數
的最小正周期是
A．
B．
C．
D．
6．已知函數
，則
的值是
A．
B．
7．二項式
的展開式中，系數最大的項是
A．第5項 B．第6項 C．第5項或第6項 D．第4項或第7項
8．從
名男生和
名女生中選出
人組成一個英語社團，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽樣方法有
A．
種
B．
種
C．
種
D．
種
9．為了了解某地區高三男生的身體發育情況，抽查了該地區
名年齡在
歲的高三男生的體重情況，抽查結果表明他們的體重
服從正態分布
，且正態分布密度曲線如圖所示，若體重在
屬于正常情況，則這名男生中屬于正常情況的人數約是
A．
B．
C．
D．
10．如圖，已知點
是平面內一定點，動點
在拋物線
上移動，點
是拋物線的焦點，則
的最小值是
A．
B．
C．
D．
11．在△
中，若
，則△的形狀一定是
A．等腰直角三角形 B．直角三角形或等腰三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
12．已知有序實數對
滿足不等式組
，則目標函數
的最小值是
A．
B． C．
D．
二．填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分；請把答案填在答題卷中指定的位置)
13．曲線
在
處的切線方程是_______________．
14．設
是虛數單位，且
，則
=______________．
15．如圖，類比點到直線的距離公式，平面的方程可表示為
，則點
到平面的距離是_____________．
16．在銳角△中，已知
，
，
，則
=__________．
三．解答題（本大題共5小題，共64分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
17．（本小題滿分分）
數列
的前項和為
，且
，…，求:
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）數列的通項公式．
18．（本小題滿分12分）
如圖所示，在三棱柱
中，側棱垂直于底面，
，
，
，
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求直線
與平面
所成的角的余弦值．
19．（本小題滿分12分）
某城市的給水系統是由三級提升站組成，每級提升站由3個并列的水泵組成，每個水泵的正常運行率為
.在夜間每個提升站至少要有1臺水泵能正常運行，則這個提升站才不需要緊急維修；若一個提升站的3臺水泵都不能正常運行，則這個提升站需要緊急維修．
（Ⅰ）求需緊急維修的提升站數
的分布列；
（Ⅱ）假設每個提升站至多緊急維修1次，緊急維修1個提升站的費用為元，求緊急維修費用
（元）的分布列和數學期望．
20．（本小題滿分14分）
對于定義域為區間
的函數
，如果
同時滿足下列兩個條件：
（1）在內是單調函數；
（2）存在區間
，使得在
上的值域為 ．
那么稱函數為上的 “封閉函數 ”，
區間 稱為“封閉函數 ”的
“封閉區間”．
(Ⅰ)求“封閉函數
”
的“封閉區間”．
(Ⅱ)判斷
是否為
上的“封閉函數 ”，并說明理由．
(Ⅲ)是否存在實數
，使函數
是上的“封閉函數 ”?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分）
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，離心率
，短半軸長
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
，
分別是橢圓的左、右頂點，直線
：
（
），當點在直線（縱坐標不為
）上移動時，直線
、線段
的延長線與橢圓分別相交于、
兩點，且以
為直徑的圓恒經過點，求的值．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分，滿分10分. 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
22．如圖，直線
是
的割線，
是的切線，且
，求證：
．
23．設直線經過點
，傾斜角為
，圓的方程為：
．
（Ⅰ）求直線的參數方程；
�。á颍┮灾苯亲鴺讼档脑c
為極點，軸的正半軸為極
軸建立極坐標系，求圓的極坐標方程．
24．已知：不等式
的解集為，不等式
的解集為，若
，試求實數的取值范圍．
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考 生 填 寫 座 位
號 碼 的 末 兩 位
題 號
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
評卷人
二．填空題(請把答案填在對應題號的橫線上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）由遞推關系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不單列
扣1分）
18．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵側棱垂直底面
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直線
與平面
所成的角為
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直線
與平面
所成的角的余弦值為
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設
，
，
，
（3分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）設向量
與
的夾角為
，
∵
，
∴
....10分
設直線與平面所成的角為
∵
平面
∴
∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分
19．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）每個提升站需要緊急維修的概率為
（2分），不需要緊急維修的概率為
（3分），設需要維修的提升站數為
，則
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，則（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：緊急維修費用的數學期望是750元．..........12分
20.（本題滿分14分）
解： (Ⅰ)設“封閉函數 ” 
的“封閉區間”為
，其中
．
在
上為減函數，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封閉區間”為
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函數，在(2 ，+)上也是增函數；在(0 ，2)上是減函數．
顯然在上不是單調函數，故不是
上的“封閉函數 ”．...8分
(Ⅲ)假設存在實數
，使函數
是上的“封閉函數 ”且“封閉區間”是，則
(1) 函數在上是單調函數．
，若函數在上是增函數，則
對
恒成立，則：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函數在上是增函數，所以， 函數在區間 上是增函數，故有：
，∵，∴
，從而方程
至少有兩個不相等的實數根．
又方程有一根為，故：方程
至少有一個不為的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵離心率
，且短半軸長，
∴ 
，∴
，
∴ 橢圓
的方程為
．.............5分
（Ⅱ）設
，則
，
，則
（6分），則直線
的方程為
，聯立
，得
（8分），
（或寫成：
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三點共線，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分,滿分10分； 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請在橫線上注明題號)
解（或證明）：
22.證明：∵
是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對應成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直線
的參數方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標方程為
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集為
（4分）
∵
∴當
≤1時，為空集，顯然成立，......6分
當＞1時，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
這與＞1矛盾，
綜合上述得：≤1．.......10分
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