2006―2007學年度高三第二次聯考
數學（文）試卷
命題學校：鄂南高中 命題人：王再盛
考試時間:2007.3.29 下午15:00―17:00
第Ⅰ卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題５分，共50分。在每小題給出的四個選項中，
1．設集合
≤x≤2},B=
,則A∩B=
( )
A.［0,2］ B.
C.
D.
2．設a、b、c是互不相等的正數，則下列不等式中不恒成立的是
A.
B. 
C. 
D. 
3．函數y＝
的最小正周期是 ( )
A.1
B
4．已知二面角
的大小為
，
為異面直線，且
，則所成的角為（ ）
A.
B.
C.
D.
5．過點P
作圓C:
的切線,則切線方程為 ( )
A．
B．或
C．
D．或
6．函數
的反函數是 ( )
A.
B. 
C. 
D.
7．設f(x) 是定義域為R的奇函數,且在
上是減函數.若
，則不等式
的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
8．設
使得
是
的必要但不充分條件的實數
的取值范圍是 （ ）
A. 
B.
C. 
D.
9．設函數
.若將的圖象沿x軸向右平移
個單位長度，得到的圖象經過坐標原點;若將的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的
倍（縱坐標不變）, 得到的圖象經過點
則 （ ）
A．
B．
C． 
D． 適合條件的
不存在
10．為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分數據丟失，但知道后5組的頻數成等比數列，設視力在4.6到
之間的學生數為
最大頻率為
，則a, b的值分別為（ ）
A．70, 3.2 B．77, 5.3
C．70, 0.32 D．77, 0.53
第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題中橫線上。
11．如果
的展開式中各項系數之和為1024，則
.
12．設
.映射
使得B中的元素都有原象.則這樣的
映射
有
個.
13．拋物線C的頂點在坐標原點,對稱軸為y軸.若過點M
任作一條直線交拋物線C于A
,B
兩點,且
，則拋物線C的方程為
.
14．若正三棱柱的底面邊長為3,側棱長為
.則該棱柱的外接球的表面積為
.
15. 
設
實數x、y滿足不等式組 若當且僅當
時,
取得最大值,則不等式組中應增加的不等式可以是
（只要寫出適合條件的一個不等式即可）.
三、解答題：本大題共６小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分12分）在ΔＡＢＣ中，
（１）求AB邊的長度； （２）求 
的值.
17．（本小題滿分12分）已知等差數列
滿足：公差
(n=1,2,3,…)
①求通項公式
；
②求證:
+ 
+
+…+
.
18．（本小題滿分12分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為
和
，假設兩人投球是否命中，相互之間沒有影響；每次投球是否命中，相互之間也沒有影響。
①甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人都沒有命中的概率；
②甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，求甲投球命中的次數比乙投球命中的次數多的概率.
19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐E－ABCD中，
AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，
AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200．
①求證：平面ADE⊥平面ABE ；
②求點C到平面ADE的距離.
20．（本小題滿分13分）如圖，
分別為橢圓
和雙曲線
的右焦點，A、B為橢圓和雙曲線的公共頂點.P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的第一象限內的點，且滿足
=
,
.
⑴求出橢圓和雙曲線的離心率；
（2）設直線PA、PB、QA、QB的斜率分別是
,
.求證：
.
21．（本小題滿分14分）設x=1是函數
的一個極值點（
）.
（I）求與的關系式（用表示），并求
的單調區間；
（II）設m>0，若在閉區間
上的最小值為
,最大值為0，求m與a的值.
2006―2007學年度高三第二次聯考
一．1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C
二．11.5
12.36
13.
14. 
15. 適合①
②
的不等式如:
, 
或其它曲線型只要適合即可
三．16.解: （１）
∴
即AB邊的長度為2.
…………… …………5分
（２）由已知及（１）有:
∴
……………8分
由正弦定理得: 
……………10分
∴
=
…………12分
17.解: ①依題意可設
………1分
則
對n=1,2,3,……都成立 ………3分
∴ 又
解得
∴
………6分
②∵
…………9分
∴
+ 
+
+…+
……12分
18.解：（Ⅰ）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，
則
…………3分
∵“甲、乙兩人各投球一次，都沒有命中”的事件為
…………5分
（Ⅱ）∵甲、乙兩人在罰球線各投球二次時,
甲命中1次,乙命中0次的概率為
…………7分
甲命中2次,乙命中0次的概率為
…………9分
甲命中2次,乙命中1次”的概率為
…………11分
故甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，甲投球命中的次數比乙投球命中的次數多的
概率為P=
…………12分
19.解法1:取BE的中點O,連OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O為原點建立空間直角坐標系O－ｘｙｚ如圖，
則由已知條件有:
,
,
,
……4分
設平面ADE的法向量為ｎ=
，
則由ｎ?
及ｎ?
可取ｎ
……6分
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取為m＝
.
∵ｎ?m?=0,
∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE. ……8分
⑵點C到平面ADE的距離為
……12分
解法2:取BE的中點O,AE的中點F,連OC,OF,CD.則
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB=2CD
∴CD ， CD∴
∥ FD ……3分
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
從而平面ADE.⊥平面ABE. ……6分
②∵CD ,延長AD, BC交于T
則Ｃ為ＢT的中點．
點C到平面ADE的距離等于點B到平面ADE的距離的
.……8分
過B作BH⊥AE，垂足為H�！咂矫鍭DE.⊥平面ABE。∴BH⊥平面BDE.
由已知有AB⊥BE.
BE=
，AB= 2, ∴BH=
，
從而點C到平面ADE的距離為
……………… ……………12分
或∥ FD, 點C到平面ADE的距離等于點O到平面ADE的距離為.
或取A B的中點M。易證
∥ DA。點C到平面ADE的距離等于點M到平面ADE的距離為.
20. 解:
(I)設O為原點，則
=2
，
=2
。
而=
，得=
，
于是O、P、Q三點共線。 ……………2分
因為
所以PF∥QF/，且 
，……………3分
得
，
∴
∴
……………5分
因此橢圓的離心率為
雙曲線的離心率為
……………7分
（II）設
、
，
點P在雙曲線
的上，有
。
則
.
所以
。 ①…………9分
又由點Q在橢圓
上，有
。
同理可得
②
……………10分
∵O、P、Q三點共線�！�
。
由①、②得
。
……………13分
21. 解:（I）
……………1分
由已知有：
∴
,∴
……………3分
從而
令=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝
． ∵
∴ｘ2
當ｘ變化時，、f（ｘ）的變化情況如下表：
ｘ
＋
－
＋
增函數
減函數
增函數
從上表可知：在
,上是增函數;
在
，上是減函數 ……………6分
（II）∵m>0，∴m+1>1. 由（I）知：
①當0<m<1時,
. 則最小值為
得:
……8分
此時
.從而
∴最大值為
得
此時
適合. ……10分
②當m
1時, 在閉區間
上是增函數.
∴最小值為
⑴
最大值為
=0. ⑵………12分
由⑵得：
⑶
⑶代入⑴得:
.即
又m1, ∴
從而
∴此時的a,m不存在
綜上知:
,.
………14分
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