海 淀 區 高 三 年 級 第 二 學 期 期 中 練 習
數 學（文科）
一、 選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
題號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
C
D
B
C
B
A
C
D
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
(9)2 (10)3 (11) 12π (12)7 (13)5,(-1, 
) (14)s2,an=
sin(
) +
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）由所給條件,方程x2-5x+6=0的兩根tanA=3,tanB=2.……………………2分
∴tan(A+B)＝
………………………………………………4分
＝
＝-1…………………………………………………6分
（Ⅱ）∵A+B+C=180°,∴C =180°- ( A+B).
由（Ⅰ）知,tanC=-tan(A+B) =1,
∵C為三角形內角∴C =45°.∴sinC =
.………………………………8分
∵tanA=3且A為三角形內角, ∴sinA =
.……………………………10分
由正弦定理
,…………………………………………………11分
得BC=
×
.………………………………………………12分
（16）（共12分）
解：（Ⅰ）記“從袋中任意取出兩個球，兩球顏色不同”為事件A, ……………1分
取出兩個球共有方法C
=10種，………………………………………2分
其中“兩球一白一黑”有C
?C
=6種.………………………………4分
∴P(A)= 
.………………………………………………………6分
答：從袋中任意取出兩個球，兩球顏色不同的概率是
.
（Ⅱ）記“取出一球，放回后再取出一個球，兩次取出的球顏色不同”為事件B，……
………………………………………………………………………………7分
取出一球為白球的概率為
，……………………………………………9分
取出一球為黑球的概率為，……………………………………………10分
∴P（B）=
××=
.…………………………………………12分
答：取出一球，放回后再取出一個球，兩次取出的球顏色不同的概率是.
（17）（共14分）
法一：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-
中，
∥AB.
∴∠BAC是與AC所成的角.………………………………………2分
在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°.…………………………………………………………3分
∴與AC所成角為45°.……………………………………………4分
（Ⅱ）取AC中點E，連結DE，BE，
∵D是
的中點，則DE∥
.
∵⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.
則BE是BD在平面ABC內的射影. …
………………………………………6分
∵AB=BC，∴BE⊥AC.
∴BD⊥AC. …………………………7分
同理可證BD⊥
.………………8分
又AC∩=C，
∴BD⊥平面
.………………9分
（Ⅲ）取
中點F，連結CF，BF，………………………………………10分
∵AB=
，∴BF⊥.
∵AC==
，∴CF⊥.
則∠BFC為二面角C-AB1-B的平面角.……………………………12分
在Rt△BFC中，BF= ，BC=1，∠FBC=90°，
則tanBFC=.……………………………………………………13分
∴∠BFC=arctan.………………………………………………14分
即二面角C--B的大小為arctan.
法二：（Ⅰ）同法一.
（Ⅱ）建立空間直角坐標系B-xyz，如圖，
則B(0,0,0), A(1,0,0) ,
C(0,1,0), B1(0,0,1),
A1(1,0,1),D(,,).
………………………6分
則
=(,,),
=(-1,1,0),
=(-1,0,1).
∴?=0，?=0.
……………………………8分
∴BD⊥AC，BD⊥，
且AC∩=A.
∴BD⊥平面.………………………………………………………9分
（Ⅲ）∵BC⊥，BC⊥AB，AB∩=B，
∴BC⊥平面
.
∴
=(0,1,0)是平面的法向量. ………………………………11分
由（Ⅱ）可知=(,,)是平面的法向量.
cos＜,＞= =
=
.………………………13分
即二面角C--B的大小為arccos.……………………………14分
（18）（共14分）
解：(Ⅰ) ∵切點為（1，3），∴k+1=3，得k=2. …………………………………1分
∵f′(x)=3x2+a，∴f′(1)=3+a=2，得a=-1. ……………………………2分
則f(x) =x3-x+b.
由f(1)=3得b=3. …………………………………………………………3分
∴f(x)=x3-x+3. ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)由f(x)=x3-x+3得f′(x)=3x2-1,
令f′(x)= 3x2-1＞0，解得x＜-或x＞.…………………………6分
∴函數f(x)的增區間為(-∞，-)，(，+∞). …………………8分
(Ⅲ)F(x)=x3-3x，F′(x)=3x2-3
令F′(x)=3x2-3=0，得x1=-1,x2=1. ………………………………………10分
列出x，F′(x)，F(x)關系如下：
x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
F′(x)
-
0
+
F(x)
0
遞減
極小值
-2
遞增
2
……………………………………………………………………………12分
∴當x∈[0,2]時，F(x)的最大值為2，最小值為-2. ……………………14分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）∵Sn+1=4an-2(n=1, 2, 3…)，
∴S2=
∴a2=S2- a1=4. ……………………………………………………………2分
同理可得a3=8. ……………………………………………………………3分
（Ⅱ）∵Sn+1=4an-2(n=1, 2, 3…)，
∴Sn =4an-1-2(n≥2). ……………………………………………………4分
兩式相減得：an+1=4an-4an-1………………………………………………5分
變形得：an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1)(n≥2)
則：an-2an-1=2(an-1-2an-2) (n≥3)…………………………………………6分
an-2an-1=2(an-1-2an-2)=22(an-2-2an-3) =23(an-3-2an-4) =…=2n-2(a2
∵a2
數列{an -2an-1}是常數列. …………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：an=2an-1 (n≥2).
數列{ an}是以2為首項，以2為公比的等比數列.
∴an=2n，………………………………………………………………10分
∴
?
＜
.………………………………12分
+…+
＜++…+=
.………………………14分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）設橢圓方程為：
=1(a＞b＞0).
由2b=2得b=1. …………………………………………………………1分
又
=
，
∴
解得a=，c=1.
∴橢圓方程為：
.…………………………………………3分
離心率e=
.………………………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知點F坐標為(1,0),又直線AB的斜率存在，設AB的斜率為k,
則AB的方程為y=k(x-1). ………………………………………………5分
由
得(1+2k2) x2-4k2x+2k2-2=0 (*)………………………6分
設A(x1+ y1)，B(x2+ y2)，則x1，x2是（*）方程兩根，且x1＜x2，
∴x1=
.
∵AD∥BC∥x軸，且|BC|=
|AD|,
∴
解得k=±1.
∴直線AB的方程為x- y- 1=0或x+y- 1=0. …………………………8分
（Ⅲ）∵點F（1，0），E（2，0），∴EF中點N的坐標為（
，0）.
①當AB⊥x軸時，A（1，y1），B（1，- y1），C（2，-y1），
那么此時AC的中點為（，0），即AC經過線段EF的中點N. ………9分
②當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，
設直線AB的方程為y=k(x-1), …………………………………………10分
由（*）式得
.
又∵
＜2，得
≠0,
故直線AN，CN的斜率分別為
∴
?
.
又∵
∴
且AN，CN有公共點N，∴A，C，N三點共線.
∴直線AC經過線段EF的中點N.
綜上所述，直線AC經過線段EF的中點. …………………………………14分
說明：其他正確解法按相應步驟給分.
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