北京市西城區2008年抽樣測試
高三數學試卷(理科) 2008.5
學校__________ 班級__________ 姓名__________
題號
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分數
本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.
第一卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.設A，B是全集I的兩個子集，且A.files/image002.gif)
B，則下列結論一定正確的是( )
A.I=A.files/image004.gif)
B
B.I=A.files/image006.gif)
B
C.I=B(.files/image009.jpg)
A)
D.I=A(B)
2.設m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，且m，n.files/image011.gif)
α.則“α//β”是“m//β且n//β的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
3.設x，y.files/image013.gif)
R，且2y是l+x和1-x的等比中項，則動點(x，y)的軌跡為除去x軸上點的( )
A.一條直線 B.一個圓
C.雙曲線的一支 D.一個橢圓
4.圓(x-1)2+y2=1被直線x-y=0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為( )
A.1：2
B.1：
5.設定點A(0，1)，動點P(x，y)的坐標滿足條件.files/image015.gif)
則|PA|的最小值是( )
A..files/image017.gif)
B..files/image019.gif)
C.1
D..files/image021.gif)
6.從5名奧運志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導游、保潔三項不同的工作，每人承擔一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有( )
A.24種 B.36種 C.48種 D.60種
7.已知P，A，B，C是平面內四點，且.files/image023.gif)
+.files/image025.gif)
+.files/image027.gif)
=.files/image029.gif)
，那么一定有( )
A.=2.files/image031.gif)
B.=2
C..files/image033.gif)
=2
D.=2
8.設a>l，函數y=|logax|的定義域為[m，n](m<n)，值域為[0，1].定義“區間[m，n]的長度等于n-m”，若區間[m，n]長度的最小值為.files/image036.gif)
，則實數a的值為( )
A.11
B.files/image038.gif)
D..files/image040.gif)
北京市西城區2008年抽樣測試
高三數學試卷(理科) 2008.5
學校_________ 班級_________ 姓名_________
第二卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.)
9.若復數i?(2+bi)是純虛數，則實數b=___________.
10.設α是第三象限角，tanα=.files/image042.gif)
，則cosα=__________.
11.在(2x+1)4的展開式中，x2的系數是___________；展開式中各項系數的和為__________.
12.設向量a=(1，x)，b=(2，1-x)，若a?b<0，則實數x的取值范圍是___________.
13.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點的距離為___________；三棱錐D-ABC的體積是___________.
14.設函數f(x)，g(x)的定義域分別為Df，Dg，且Df.files/image044.jpg)
Dg.若對于任意xDf，都有g(x)=f(x)，則稱函數g(x)為f(x)在Dg上的一個延拓函數.設f(x)=2x(x≤0)，g(x)為f(x)在R上的一個延拓函數，且g(x)是偶函數，則g(x)=____________.
三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
15.(本小題滿分12分)
某項競賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題，規定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是.files/image047.gif)
，.files/image049.gif)
，.files/image051.gif)
，且各階段通過與否相互獨立.
(Ⅰ)求該選手在復賽階段被淘汰的概率；
(Ⅱ)設該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，求ξ的數學期望和方差.
16.(本小題滿分12分)
設φ(0，.files/image053.gif)
)，函數f(x)=sin2(x+φ)，且f(.files/image055.gif)
)=.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)若x[0,.files/image057.gif)
]，求f(x)的最大值及相應的x值.
17.(本小題滿分14分)
如圖，在正四棱柱ABCD-A1B，
AB=1，E是DD1的中點.
.files/image060.jpg)
(Ⅰ)求直線B1D和平面A1ADD1所成角的大小；
(Ⅱ)求證：B1D⊥AE；
(Ⅲ)求二面角C-AE-D的大小.
18.(本小題滿分14分)
在數列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3 (n≥2，且nN*).
(Ⅰ)求a2，a3的值；
(Ⅱ)設bn=.files/image062.gif)
(nN*)，證明：{bn}是等差數列；
(Ⅲ)求數列{an}的前n項和Sn.
19.(本小題滿分14分)
已知拋物線的方程為x2=2py(p>0)，過點p(0，p)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2相交于點M.
(Ⅰ)證明：直線l1和l2的斜率之積為定值；
(Ⅱ)求點M的軌跡方程.
20.(本小題滿分14分)
已知函數f(x)=ex-x(e為自然對數的底數).
(Ⅰ)求f(x)的最小值；
(Ⅱ)設不等式f(x)>-ax的解集為P，且{x|0≤}x≤2}P，求實數a的取值范圍；
(Ⅲ)設nN*，證明：.files/image064.gif)
<.files/image066.gif)
.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9.0
10..files/image068.gif)
11.24；81
12.(―∞，―1)∪（2，+∞)
13.1；.files/image070.gif)
14.2-|x|
注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.
15.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解：
記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復賽”為事件B，“該選手通過決賽”為事件C，
則P(A)=.files/image047.gif)
，P(B)=.files/image073.gif)
，P(C)=.files/image075.gif)
.
那么該選手在復賽階段被淘汰的概率是
P=P(.files/image077.gif)
)=P(A)P(.files/image079.gif)
)=×.files/image082.gif)
.
5分
(Ⅱ)解：
ξ可能的取值為1，2，3. 6分
P(ξ-1)=P.files/image084.gif)
=1.files/image086.gif)
P(ξ=2)=P()=P(A)P()=.files/image088.gif)
，
P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=×.files/image090.gif)
.
9分
ξ的數學期望Eξ=1×.files/image092.gif)
11分
ξ的方差Dξ=.files/image094.gif)
12分
16.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解：
∵f.files/image096.gif)
=sin2.files/image098.gif)
(1+sin2.files/image100.gif)
)=.files/image102.gif)
4分
∴sin2.files/image104.gif)
.
∵.files/image106.gif)
,
∴.files/image108.gif)
(Ⅱ)解：
由(Ⅰ)得f(x)=sin2.files/image110.gif)
8分
∵0≤x≤.files/image112.gif)
9分
當2x+.files/image114.gif)
=π，即x=.files/image116.gif)
時，cos.files/image118.gif)
取得最小值-1. 11分
∴f(x)在.files/image120.gif)
上的最大值為1，此時x=
12分
17.(本小題滿分14分)
解法一：
(Ⅰ)解：
連結A1D.
.files/image123.gif)
∵ABCD-A1B
∴A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是B1D在平A1ADD1上的射影，
∴∠A1DB1是直線B1D和平面A1ADD1所成的角. 2分
在RtΔB.files/image125.gif)
∴∠A1DB1=30°，
即直線B1D和平面A1ADD1，所成角的大小是30° 4分
(Ⅱ)證明：
在Rt△A1AD和Rt△ADE中，
∵.files/image127.gif)
,
∴A1AD―△ADE，
∴∠A1DA=∠AED．
∴∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，
∴A1D⊥AE． 7分
由(Ⅰ)知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影,
根據三垂線定理得，B1D⊥AE． 9分
(Ⅲ)解：
設A1D∩AE=F，連結CF．
∵CD⊥平面A1ADD1,且AE⊥DF，
根據三垂線定理得，AE⊥CF，
∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角． 11分
在Rt△ADE中，由AD?DE=AE?DF.files/image129.gif)
.
在Rt△FDC中，tan DFC=.files/image131.gif)
∴∠DFC=60°，
即二面角C-AE-D的大小是60° 14分
解法二：
∵ABCD-A1B
∴DA、DC、DD1兩兩互相垂直．
如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
1分
.files/image133.gif)
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,.files/image021.gif)
).
(Ⅰ)解：
連結A1D,∵ABCD-A1B
∴A1B1⊥平面A1ADD1,
∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
∴∠A1DB1是直線B1D和平面A1ADD1所成的角． 4分
∵A1.files/image136.gif)
， ∴.files/image138.gif)
∴cos.files/image140.gif)
∴∠A1DB1=30°，
即直線B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°, 6分
(Ⅱ)證明：
∵E是DD1的中點 ∴E.files/image142.gif)
,
∴.files/image144.gif)
∵.files/image146.gif)
=-1+0+1=0，
∴B1D⊥AE． 9分
(Ⅲ)解：
設A1D∩AE=F，連結CF．
∵CD⊥平面A1ADD1, 且AE⊥DF；
根據三垂線定理得，AE⊥CF，
∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角． 11分
根據平面幾何知識，可求得F.files/image148.gif)
∴.files/image150.gif)
∴cos.files/image152.gif)
,
∴二面角C-AE-D的大小是60° 14分
18．(本小題滿分14分)
（Ⅰ）解：
∵a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*)，
∴a2=
a3=
（Ⅱ）證明：
證法一：對于任意n.files/image013.gif)
N*，
∵bn+1-bn=.files/image155.gif)
[(an+1-2an)-3]=.files/image157.gif)
[(2n+1+3)-3]=1，
∴數列{bn}是首項為.files/image159.gif)
=.files/image161.gif)
=0，公差為1的等差數列.
9分
證法二：對于任意nN*，
∵2bn+1-(bn+bn+2)=2×.files/image163.gif)
.files/image165.gif)
=.files/image167.gif)
（4an+1-4an-an+2-3）
=.files/image169.gif)
[2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)-3]=[2(2n+1+3)-(2n+2+3)-3]=0，
∴2bn+1=bn+bn+2，
∴數例{bn}是首項為.files/image172.gif)
=0，公差為b2-b1=1的等差數列.
9分
（Ⅲ）解：
由（Ⅱ）得，.files/image062.gif)
=0 + (n-1)×1，
∴an=(n-1)?2n-3(nN*).
10分
∴Sn=-3+（1×22-3）+（2×23-3）+…+[（n-1）?2n-3]，
即Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n-3n.
設Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n，
則2Tn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)?2n+1，
兩式相減得，-Tn=22+23+24+…+2n-（n-1）?2n+1=.files/image175.gif)
-(n-1)?2n+1，
整理得，Tn=4+（n-2）?2n+1，
從而Sn=4+(n-2)?2n+1-3n(nN*).
14分
19．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：
依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+p，
將其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0. 2分
設A，B的坐標分別為A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1x2=-2p2. 3分
將拋物線的方程改寫為y=.files/image177.gif)
，求導得y′=.files/image179.gif)
所以過點A的切線l1的斜率是k1=.files/image181.gif)
，過點B的切線l2的斜率是k2=.files/image183.gif)
，
故k1k2=.files/image185.gif)
，所以直線l1和l2的斜率之積為定值-2. 6分
（Ⅱ）解：
設M（x,y）.因為直線l1的方程為y-y1=k1(x-x1)，即.files/image187.gif)
，
同理，直線l2的方程為.files/image189.gif)
，
聯立這兩個方程，消去y得.files/image191.gif)
，
整理得(x1-x2).files/image193.gif)
=0，注意到x1≠x2，所以x=.files/image195.gif)
.
10分
此時y=.files/image197.gif)
.
12分
由(Ⅰ)知，x1+x2=2pk，所以x==pkR,
所以點M的軌跡方程是y=-p. 14分
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解：
f(x)的導數f′(x)=ex-1.
令f′(x)＞0，解得x＞0；令f′(x)＜0，解得x＜0.
從而f(x)在(-∞，0)內單調遞減，在(0，+∞)內單調遞增.
所以，當x=0時，f(x)取得最小值1. 3分
(Ⅱ)解：
因為不等式f(x)＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}.files/image002.gif)
P，
所以對于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立. 4分
由f(x)＞ax，得(a+1)x＜ex.
當x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈(0,2]的情況. 5分
將（a+1）x＜ex變形為a＜.files/image201.gif)
，
令g（x）=.files/image203.gif)
-1，則g(x)的導數g′(x)=.files/image205.gif)
，
令g′(x)＞0，解得x＞1；令g′(x)＜0，解得x＜1.
從而g(x)在(0,1)內單調遞減，在(1,2)內單調遞增.
所以，當x=1時，g（x）取得最小值e-1，
從而實數a的取值范圍是（－∞，e-1）. 8分
(Ⅲ)證明：
由(Ⅰ)得，對于任意x∈R，都有ex-x≥1，即1+x≤ex. 9分
令x=.files/image207.gif)
(n∈N*,i=1，2，…，n-1)， 則0＜1＜.files/image210.gif)
∴.files/image212.gif)
(i=1，2，…，n-1)，
即.files/image214.gif)
(i=1，2，…，n-1).
∴.files/image216.gif)
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=.files/image218.gif)
，
∴.files/image220.gif)
14分
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