2008年廈門市高中畢業班適應性考試
數學（文科）試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．
滿分為150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1． 考生將自己的姓名、準考證號及所有答案均填寫在答題卡上；
2． 答題要求，見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k
球的表面積公式：S=4πR2，球的體積公式：V=
πR3，其中R表示球的半徑.
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，在答題卡上的相應題目的答題區域內作答．
1．“
”是“
”成立的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件
2．已知函數
，則
的反函數是
A．
B．
C．
D．
3．老師為研究男女同學數學學習的差異情況，對某班50名同學（其中男同學30名，女同學20名）采取分層抽樣的方法，抽取一個樣本容量為10的樣本進行研究，某女同學甲被抽到的概率為
A．
B．
C．
D．
4．在
的展開式中，常數項是
A．20 B．
5．已知函數
，且m，n分別是
的兩根，則的圖象為下列圖象中的（
）
6．給出下列四個命題：
①如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線與這個平面垂直；
②過空間一定點有且只有一條直線與已知平面垂直；
③如果平面外一條直線a與平面α內一條直線b平行，那么a∥α；
④一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角相等；
其中真命題的為 （ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
7．在△ABC中，若
，則△ABC是 （ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
8．以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，將△ABC折起，使折起后的△ABC恰成等邊三角形，M為高BD的中點，則直線AB與CM所成角的余弦值為
A．
B．
C．
D．
9．
如圖，角
的頂點原點O，始邊在y軸的正半軸、
終邊經過點P（-3，-4）。角
的頂點在原點O，始邊在
x軸的正半軸，終邊OQ落在第二象限，且
，
則
的值為
A．
B．
C．
D．
10．已知雙曲線
的左頂點、右焦點分別為A、F，點B
，若
，則該雙曲線離心率e的值為
11．用紅、黃兩種顏色給如圖所示的一列7個方格染色（可以只染一種顏色），要求相鄰的兩格不都染上紅色，則不同的染色方法數有
A．7 B．
12．2008春，我國南方地區遭受了罕見的特大雪災。大雪無情人有情，廈門某中學學生會在街頭進行募捐活動，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數是前一天的2倍，且人均捐款數比前一天多5元。則截止第5天捐款總數將達到（ ）
A．3200元 B．4000元 C．9600元 D．19200元
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在答題卡上的相應題目的答題區域內作答．
13．已知圓x2 + y2 + 6y－7 = 0，直線
：x－y－4 = 0與圓的公共點個數為
．
14．已知x、y滿足約束條件
的最小值為－3，則常數k=
.
15．
設全集U是實數集R，M=
，N=
，則圖中陰影部分所表示的集合是
．
16．若平面點集A中的任一個點
，總存在正實數
，使得集合
，則稱A為一個開集。給出下列集合：
（1）
；(２) 
；
(３) 
；(４) 
．
其中是開集的是 ．（請寫出所有符合條件的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答.
17．（本小題滿分12分）
已知函數
=
，
（1） 若
，且sin2=
，求f()的值；
（2）若
，求函數的單調區間。
18．（本小題滿分12分）
數列
的前
項和為
,
,數列
滿足
,
．
（1）求
;
（2）求數列的通項公式．.
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA
平面ABCD,在直角梯形ABCD，
AD∥BC,
，SA=AD=
AB=2，M為BC的中點。
（1）
求證：SM AD；
（2） 求點D到平面SBC的距離．
（3） 求二面角A-SB-C的大小；
20．（本小題滿分12分）
在進行一項擲骰子放球活動中，規定：若擲出1點，甲盒中放一球；若擲出2點或3點，乙盒中放一球；若擲出4點,5點或6點，丙盒中放一球，前后共擲3次.
（1）求甲盒中有3個球的概率；
（2）求甲、乙、丙3個盒中的球數依次成等差數列的概率．
21．（本小題滿分12分）
定義在定義域D內的函數y=f(x),若對任意
，都有
，則稱函數
為“Storm”函數。已知函數
在區間
上單調遞增，在區間[－2，2]上單調遞減，且
．
（1）求的解析式；
（2）設
，若對x 
，函數
為“Storm”函數，求實數m的最小值．
22．已知橢圓C: 
,
為其左右焦點,
，
為右頂點,
為左準線,過
的直線
,與橢圓相交于P、Q兩點。
(1)當
，且
時，求橢圓C的方程;
(2)當
2時，直線
交于點
，直線
交于點
，求
的最小值.
.
2008年廈門市高中畢業班適應性考試
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解答與本解答不同，可根據試題的主要內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答 某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題主要考查基礎知識和基本運算．
1、A 2、A 3、C 4、C 5、A 6、C
7、B 8、C 9、A 10、D 11、B 12、B
二、填空題：本大題共4個小題；每小題4分，共16分.本題主要考查基礎知識和基本運算．
13、2 14、0 15、2
16、② ④
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答.
17．本小題主要考查三角函數的符號，誘導公式，兩角和差公式，二倍角公式，三角函數的圖象及單調性等基本知識以及推理和運算能力．滿分12分
解：（1）∵
且sin2
=
∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0
從而sin+cos＞0 ………………………………………………………… 3分
∴
=sin+cos=
=
=
…………6分
（2）∵
∴
=-sinx+cosx=
sin(x+
) ………………………… 8分
∴時，的單調遞增區間為[
，
]，………………………………10分
單調遞減區間為[，2]．………………………………………… 12分
18．本小題主要考查等差、比數列的概念，應用通項公式及求和公式進行計算的能力．
滿分12分
解：（1） 
∴
，
所以， 數列
是以
為首項，
為公差的等差數列，………4分
∴
（2）由（1）得
解法二：（1）同解法一
（2） 由（1）得
∴
……………8分，
∴
，
∴
，
……………10分
=
=
，……………………………11分
又
. ………………………12分
19．本小題主要考查直線和平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離。考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．滿分12分
解法一：（1）在直角梯形ABCD中，過點A做AN垂直BC，
垂足為N，易得BN=1，
同時四邊形ANCD是矩形，
則CN=1，點N為BC的中點，所以點N與點M重合,
．
…………………………………………………………2分
連結AM,
因為
平面ABCD，所以
,又AD∥BC，
所以SM
AD。………4分
（2）過點A做AG垂直SM，G為垂足，
易證平面SAM
,
則
，在RT
中， 
。………7分
又AD∥平面SBC,所以點D到平面SBC的距離為點A到平面SBC的距離AG,
點D到平面SBC的距離為
………8分
（3）取AB中點E，因為
是等邊三角形，所以
,又
,得
，過點E作EF垂直SB， F為垂足，連結CF，則
，所以
是二面角A-SB-C的平面角．………10分
在RT
中，
.在RT
中，
，所以二面角A-SB-C的大小為
．………12分
解法二：（1）同解法一．
（2）根據（1），如圖所示，分別以AM,AD,AC所在射線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．
有A(0,0,0)，M（
，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）
所以
，
,
．
設平面SBC的法向量
，則
,
即 
，
解得
，取
．………6分
又
=
，則點D到平面SBC的距離
．………8分
（3）設平面ASB的法向量
，則
,
即
，
解得
，取
．………10分
∴
，則二面角A-SB-C的大小為
．………12分
20．本小題主要考查排列組合與概率的基礎知識，考查推理、運算能力與分類討論思想，以及運用數學知識解決實際問題的能力. 滿分12分
解：（1）因為擲出1點的概率為
，
所以甲盒中有3個球的概率
………………………4分
（2）甲、乙、丙3個盒中的球數依次成等差數列有以下三種情況：
①甲、乙、丙3個盒中的球數分別為0、1、2，
此時的概率
……………………………6分
②甲、乙、丙3個盒中的球數分別為1、1、1，
此時的概率
……………………………8分
③甲、乙、丙3個盒中的球數分別為2、1、0，
此時的概率
……………………………10分
所以，甲、乙、丙3個盒中的球數依次成等差數列的概率
…12分
21．本小題主要考查函數的單調性、最值等基本知識；考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法；考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力以及運算能力，滿分12分．
解（Ⅰ）
上單調遞增，在[－2，2]上單調遞減，
，……2分
，
…………………………4分
又
……………………………………………………6分
（Ⅱ）已知條件等價于在
……………………8分
上為減函數，
且
……………………………………10分
上為減函數，
又
………………………………………………12分
22．本小題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，以及應用這些知識研究曲線幾何特征
基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．
解:（１）當
時
，
，
消去
得: 
， ………2分
此時ㄓ>0，
設
點坐標為 
, 
點坐標為
，
則有
=
， 3
=
， 4
，∴ 
，代入3、4得
消去
得
解得，
則所求橢圓C的方程
．……………………6分
(２) 當
2時，橢圓C的方程
，………………７分
設點坐標為 , 點坐標為，
直線
的方程為:
，
與
的方程: 
聯立得: M點的縱坐標
，
同理可得: 
，………………９分
則
=
…10分
，
此時ㄓ>0，由 =
，=
，
=
，
=
，……………… 12分
則
，
……………………13分
（當
時取等號），
∴的最小值為6. ……………………14分
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