西安中學
師大附中
高2008屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數學（理）試題
命題人：師大附中 孫永濤
審題人：師大附中 李 濤
注意事項：
1． 本試題卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，總分150分，考試時間150分鐘。
2． 答題前，考生須將自己的學校、班級、姓名、學號填寫在本試題卷指定的位置上。
3． 選擇題的每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。
4． 非選擇題必須按照題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答。超出答題區域或在其他題的答題區域內書寫的答案無效；在草稿紙、本試題卷上答題無效。
5． 考試結束，將本試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.選擇題（本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1.已知復數
滿足
，則等于( )
A.
B.
C.
D.
2.已知
，下列不等式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列函數中，周期是1且是奇函數的是 ( )
A.
B.
C.
D.
4.在正項等比數列
中，
，那么
等于( )
A.28
B
5.已知
是兩條不重合的直線，
是三個兩兩不重合的平面，給出下面四個命題
①若
，則
；②若
，則
；③若
，
，則；④若是異面直線，
，
，則。其中真命題的編號是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
6.設
是函數
的反函數，若
，則
的值是( )
A.1
B
7.直線
與圓
相切于點
，則
的值等于( )
A.
B.
C.
D.
8.函數
在實數
上可導，且滿足
，則必有( )
A.
B.
C.
D.
9.過雙曲線
的右焦點作直線
交雙曲線于
兩點，若
，則這樣的直線有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
10.點
是
內一點，且
，則
等于 ( )
A.
B.
C.
D.
11.在某次數學模擬測驗中記學號是
的學生的成績是
，若
，且滿足
，則這4位同學的考試成績所有的可能有( )
A.15種 B.20種 C.30種 D.35種
12.已知定義域是的函數滿足
，且當
時，單調遞增，若
，且
，則
的值（ ）
A.恒小于0 B. 恒大于
第II卷
二.填空題（每小題4分，滿分16分）
13.設
滿足約束條件：
，則
的最大值是
.
14.一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距
海里.此船的航速是 海里/小時.
15.如圖，正方體的一個頂點A在平面
內，其余頂點在
平面的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點
到的距離分別為2、3和5，P是正方體
的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：
①5 ②6 ③7 ④8 ⑤10
以上結論正確的為______________（寫出所有正確結論的編號）.
16.某中學為高一學生開設了攝影、健美、足球、管弦樂四門選修課程。統計學生的報名情況，有下列結果：①報攝影的同學沒有報健美；②報健美的同學也報了管弦樂；③報足球的同學沒有報管弦樂；④沒有報足球的同學報了健美。在下面判斷中，正確判斷的編號是_______（寫出所有正確結論的編號）.
①報管弦樂的同學也報了攝影；②沒有報管弦樂的同學報了攝影；③報健美的同學人數與報管弦樂的同學人數相等；④沒有任何同學，同時報了足球和健美；⑤報了攝影的同學也報了足球.
三.解答題（滿分74分）
17.（12分）
已知
（
為常數）.
（Ⅰ）求
的單調遞增區間；
（Ⅱ）若在
上的最大值與最小值之和為3，求的值.
18.（12分） 在舉辦的奧運知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答對這道題目的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是.
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率；
（Ⅱ）求回答對這道題目的人數的隨機變量
的分布列和期望.
19.（12分） 如圖，四邊形
是直角梯形，
，
，
，
，又
，
，
，直線
與直線
所成的角為
.
（Ⅰ）求證：平面
⊥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值.
20.（12分）橢圓
的離心率
，是橢圓上關于軸均不對稱的兩點，線段
的垂直平分線與
軸交于點
.
（Ⅰ）設的中點為
，求
的值；
（Ⅱ）若
是橢圓的右焦點，且
，
求橢圓的方程.
21.（12分）已知數列滿足
（I） 求數列的通項公式；
（II）證明：
.
21.（14分）已知函數
,
（Ⅰ）求
的值域；
（Ⅱ）設
為方程
的根，求證：當
時，
；
（Ⅲ）若方程
有4個不同的根，求
的取值范圍.
高2008屆四校聯考第一次模考
一.選擇題（每小題5分，滿分60分）
DBDAD BACCA D A
二.填空題（每小題4分，滿分16分）
13.3 14.32 15.①③④⑤ 16.③④⑤
三.解答題（滿分74分）
17．(12分) 解：（Ⅰ）
，則
，
即的單調遞增區間是
…………………………6分
（Ⅱ）
，那么
即
，所以
………………………………12分
18．（12分）（Ⅰ）設乙、丙各自回答對的概率分別是
，根據題意得：
，解得
，
…………………………………………6分
（Ⅱ）
可能取值0，1，2，3，分布列如下：
0
1
2
3
………………………………………12分
19. （12分）
（Ⅰ）∵
∴
平面
又∵
平面
∴平面
平面………………4分
（Ⅱ）取
的中點
，則
，連結
，
∵
，且
∴四邊形
是平行四邊形,
∴
，從而
作
，交
的延長線于
，連結
，則由三垂線定理知，
，
從而
為二面角
的平面角
直線
與直線
所成的角為
∴
在
中，由余弦定理得
在
中，
在
中，
在
中，
故二面角的平面角大小為
………………………………12分
20．（ 12分）
解：（Ⅰ）設
，
，代入橢圓方程
得
，
，兩式相減整理得：
，由于
，
；根據
得
，所以
，即
，則
………………6分
（Ⅱ）
由于
，那么
，那么
，所以
，
，故所求橢圓的方程是
………………12分
21. (滿分12分) （I）解：由
得
,
是以
為首項，2為公比的等比數列。
即 
………………4分
II證明：∵ 
，∴
又∵
∴
∴
………………12分
22.（14分）
（Ⅰ），則
，由于
，則
值域是
…………………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）是方程，那么
，令
，則
，那么
是單調減函數，當時，
，即
所以當時，……………………………………………………………8分
（Ⅲ）令
當
時，
，所以
在
和
上單調遞增；
當
時，
，所以在
和
上單調遞減；
當
時，
當
時，
；當
時，
；當
時，
所以有四個不同的根時
，所以
.…………………………14分
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