西安中學
師大附中
高2008屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數學（文）試題
命題人：師大附中 孫永濤
審題人：師大附中 李 濤
注意事項：
1． 本試題卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，總分150分，考試時間150分鐘。
2． 答題前，考生須將自己的學校、班級、姓名、學號填寫在本試題卷指定的位置上。
3． 選擇題的每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。
4． 非選擇題必須按照題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答。超出答題區域或在其他題的答題區域內書寫的答案無效；在草稿紙、本試題卷上答題無效。
5． 考試結束，將本試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.選擇題（本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1.已知集合
，
，則
( )
A．
B.
C. 
D. 
2.已知
，下列不等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列函數中，周期是1且是奇函數的是 ( )
A.
B.
C.
D.
4.若函數
，則
等于( )
A.-2
B
5.已知平面向量
，
，若
與
垂直，則
等于( )
A.-1
B
6.當
時，不等式
恒成立，則
的取值范圍是( )
A.
B. 
C. 
D. 
7.函數
的值域是( )
A.
B.
C.
D.
8.函數
的單調遞減區間是( )
A.
B. 
C. 
D. 
9.在等差數列
中，公差為
，且
，則
等于( )
A.110
B
10.已知雙曲線
的一條漸近線的方程是
，則雙曲線的離心率是( )
A.
B. 
C. 
D. 
11.若
，則
的大小關系是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
12.對于任意兩個正整數
，定義運算
：當都是偶數或都是奇數時，
；當是一偶一奇時，
.設集合
，則集合
中元素的個數是( )
16；
17；
18
19
第II卷
二.填空題（每小題4分，滿分16分）
13.設
滿足約束條件：
，則
的最大值是 .
14.一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距
海里.此船的航速是 海里/小時.
15.將4本不同的書全部分給3位同學，每人至少1本，則不同的分法數為 .
16.如圖，正方體的一個頂點A在平面
內，其余頂點在
平面的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點
到的距離分別為2、3和5，P是正方體的其余四個頂點中
的一個，則P到平面的距離可能是：
①5 ②6 ③7 ④8 ⑤10
以上結論正確的為____________（寫出所有正確結論的編號）
三.解答題（滿分74分）
17．（12分）
已知
（為常數）.
（Ⅰ）求
的單調遞增區間；
（Ⅱ）若在
上的最大值與最小值之和為3，求的值。
18.（12分）在舉辦的奧運知識有獎問答賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答對這道題目的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
.
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有兩人回答對這道題目的概率.
19.（12分）
已知直平行六面體
中,
,
,
是
的中點,
.
（Ⅰ）求證:
平面
（Ⅱ）求二面角
的正弦值.
20.（12分）橢圓
的離心率
，
是橢圓上關于軸均不對稱的兩點，線段
的垂直平分線與
軸交于點
（Ⅰ）設的中點為
，求
的值；
（Ⅱ）若
是橢圓的右焦點，且
，
求橢圓的方程。
21.（12分）設函數
，已知
是奇函數。
（Ⅰ）求
、
的值。
（Ⅱ）求
的單調區間與極值。
22.（14分） 在等差數列
中，
，前
項和
滿足條件
，
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）記
，求數列
的前項和
。
高2008屆四校聯考第一次�？�
一.選擇題（滿分60分）
DBDCA DAACA DB
二.填空題（滿分16分）
13.3 14.32 15. 36 16.①③④⑤
三.解答題（滿分74分）
17. [12分] Ⅰ
，則
，
即的單調遞增區間是
…………………………………… 6分
Ⅱ
，那么
即
，所以
……………………………………12分
18. [12分] Ⅰ.設乙、丙各自回答對的概率分別是
，根據題意得：
，解得
，
…………………………………………… 6分
Ⅱ.
………………………… 12分
19. [12分] Ⅰ.證明:因為,
,則
平面
,那么
,又
,所以平面…………………… 4分
Ⅱ.連結
交
于,則
，而平面,則
平面,過作
于
,連結
,則
是所求二面角的平面角.
易求得
,設
,則在
中,
,則
,所以
,那么
,
,
,所以
,在
中,
,故所求二面角的正弦值是
…………………… 12分
20. [12分]（Ⅰ）設
，
，代入橢圓方程
得
，
，兩式相減整理得：
，由于
，
；由
得
，則
，即
，所以
………………………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）
由于
，那么
，那么
，所以
，
，故所求橢圓的方程是
…………………………………………………………………… 12分
21. [12分] 證明Ⅰ∵
，∴
。從而
＝
是一個奇函數，所以
得
，由奇函數定義得
；…………………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，從而
，由此可知，
和
是是單調遞增區間；
是是單調遞減區間；
在
時，取得極大值，極大值為
，在
時，取得極小值，極小值為
。…………………… 12分
22. [14分]Ⅰ設等差數列的公差為
,由
得：
，所以
，即
，所以
.…………………… 6分
（Ⅱ）由
，得
。所以
，
當
時，
；
當
時，
，
即
綜上：
…………………… 14分
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