常德市2007-2008學年度上學期高三水平檢測考試題
數 學（理科）
命題人: 張國平(市教科所) 王麗蘭(市二中) 黃祖軍(桃源一中)
潘建平(漢壽一中) 沈楊(津市一中)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁。共150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答第Ⅰ卷時，答案填在第Ⅱ卷卷首答題欄內。
2．考試結束后，只交第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。
1.設集合
，
，
,則
A.
B. 
C. 
D.
2.函數
的定義域為
A.[1,+∞) B. (
,+∞) C. (-∞,1]
D. (,1]
3.若
，則下列不等式：①
；②
；③
；④
中，正確的為
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
4.已知l、m為兩條直線，
、
是兩個平面，則下列命題中的假命題是
A.若
，
，則
B.若，
，則
C.若
，
，則
D. 若
，
，
，
，則
5.已知函數
,則
的最小正周期和最大值分別是
A．
, 1 B．2,, 
D．2
,
6.橢圓中心在原點，且經過定點
，其一個焦點與拋物線
的焦點重合，則該橢圓的方程為
A．
B．
C．
D．
7．在由1，2，3，4，5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各數位上的數字之和為偶數的共有
A．36個 B． 24個 C．18個 D．6個
8．在象棋比賽中，參賽的任意兩位選手都比賽一場，其中勝者得2分，負者得0分，平局各得1分. 現有四名學生分別統計全部選手的總得分為131分，132分，133分，134分，但其中只有一名學生的統計結果是正確的，則參賽選手共有
A．11位 B． 12位 C．13位 D．14位
9.已知直線
與圓
相交于A、B兩點，且
，則
A. 
B.
C.
D.
10．在數列
中，如果存在正整數
，使得
對于任意的非零自然數
均成立，那么就稱數列為周期數列，其中叫數列的周期。已知數列
滿足
，如果
，當數列的周期最小時，該數列前2008項的和是
A．670 B．
第Ⅰ卷答題處，將正確答案前的字母填入下表相應的空格內。
得 分
評卷人
題目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
代號
登分欄（由評卷教師填寫）
題號
一
二
三
總分
16
17
18
19
20
21
得分
第Ⅱ卷（非選擇題共100分）
注意事項：
1． 第Ⅱ卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。
2． 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
得 分
評卷人
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上。
11.已知函數
的反函數為
，若
，則a = .
12.已知
，
的夾角為450，要使
垂直，則
.
13.已知等差數列
中,
=1, 
=7,則
= .
14．已知實數x、y滿足
, 則 x
+y最大值是 _ __.
15．已知
是關于
的方程
的兩個實根，那么
的最小值為 ，最大值為 .
得 分
評卷人
（16）（本小題12分）
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟。
在△ABC中, 已知角A、B、C的對邊分別為
、
、
,且=2, 
,△ABC的面積為
.
(1)求證: 
; (2)求邊的長.
得 分
評卷人
（17）（本小題12分）
已知數列
的前n項和
且
=2.
(1)
求的值,并證明：當n>2時有
；
(2)
求證：
.
得 分
評卷人
（18）（本小題12分）
直二面角E-AB-C中，四邊形ABEF是矩形，AB=2，AF=
，ΔABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一個動點.
（1）若PB=PF，求異面直線PC與AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小為300，求證：FB⊥平面PAC.
 |
得 分
評卷人
(19) （本小題滿分13分）
已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且
.
（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產品x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大？
（注：年利潤=年銷售收入－年總成本）
得 分
評卷人
（20）（本小題滿分13分）
已知函數
（1）若函數
的圖象
在處的切線與直線
平行，求函數的單調遞減區間；
（2）當
時，求函數的圖象與直線
的交點的個數.
得 分
評卷人
（21）（本小題13分）
如圖,已知雙曲線
，其右準線交x軸于點A, 雙曲線虛軸的下端點為B.過雙曲線的右焦點F
作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足
,
(I)求雙曲線的離心率;
(II) 若=2,過點B的直線
交雙曲線于M、N兩點,問是否存在
軸上的定點C使
為常數，若存在求出C點的坐標，若不存在，請說明理由.
 |
常德市2007-2008學年度上學期高三水平檢測考試題
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。
1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．B 7．A 8．B 9．A 10．D
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上。
11.6
12．2 13．80 14．20 15． 0，
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟。
16．解(1)證明:由
得
∴
………………………………………………4分
(2)由正弦定理得
∴
……① …………6分
又
,
=2, ∴ 
…………② …………8分
解①②得
,
…………………………………………10分
∴
…………………12分
17．解:(1)由
得
,即
=0.……………2分
當n>2時有
∴
……………………………6分
(2)由(1)知n>2時,
……………8分
又=0, 
=2也適合上式,
∴
∴
……………………10分
∴
=1-
<1……………………………………………12分
18．解：（1）分別取BE、AB的中點M、N，
連結PM、MC，PN、NC,則PM=1，MB=
，BC=
，
∴MC=
，而PN=MB=，
NC=
，∴PC=，…………………………4分
∴
故所求PC與AB所成角的余弦值為
………6分
（2）連結AP，∵二面角E-AB-C是直二面角，且AC⊥AB
∴∠BAP即為所求二面角的平面角，即∠BAP=300……8分
在RtΔBAF中，tan∠ABF=，∴∠ABF=600，
故BF⊥AP， ………………………………………10分
又AC⊥面BF，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC………12分
另解：分別以AB、AC、AF為x、y、z軸建立直角坐標系，
則
，
∴
而
，
∴
故異面直線PC與AB所成的角的余弦值為
（2）分別設平面ABC和平面PAC的法向量分別為
，P點坐標設為
，則
而
，則由
得
且
∴
，
再由
得
∴
，
，
而
∴
，即
BF⊥AP，BF⊥AC∴BF⊥平面PAC
19．解：（1）當0<x≤10時，
……2分
當x >10時，
…………4分
…………………………………5分
（2）①當0<x≤10時，由
當
∴當x=9時，W取最大值，且
……9分
②當x>10時，W=98
當且僅當
…………………………12分
綜合①、②知x=9時，W取最大值.
所以當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝生產中獲利最大.……13分
20．
解: （I）
,依題意有:
,…………………2分
即
,
,由
(也可寫成閉區間)……………4分
（2）
(1)
函數
的圖象與直線
的交點的個數問題可轉化為方程(1)的解的個數問題.
令
則
…………………………5分
①
6分
②
……………………9分
③
∴
的極大值為
∴
的圖象與
軸只有一個交點.…………………………………12分
綜上所述: 
;
.……………13分
21．解：（1）
B（0，-b）
,即D為線段FP的中點.
∴ 
……………………………2分
,即A、B、D共線.
而 
∴
,得
,
∴
………………………………………5分
（2）∵=2,而
,∴
,故雙曲線的方程為
………①
∴B、的坐標為(0,-1)…………………………………………………………6分
假設存在定點C（0，
）使
為常數
.
設MN的方程為
………………②
②代入①得
………………………………………7分
由題意得:
得:
……8分
設M、N的坐標分別為(x1,y1) 、(x2,y2)
…………………………………………………………9分
而=
=
=
=,…………………………10分
整理得:
對滿足的
恒成立.
∴
且
解得
存在
軸上的定點C(0,4),使為常數17.…………………………13分
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