山東省曲阜師大附中2009屆高三高考模擬
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）兩部分，第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。滿分150分。考試用時120分鐘。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷（共60分）
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號、準考證號填寫在答題卡和試卷規定的位置。
2．第I卷共2頁。答題時，考生須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。在試卷上作答無效。
參考公式：
球的體積公式：
，其中
是球的半徑。
錐體的體積公式：
，其中S是錐體的底面積。h是錐體的高。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若將復數
表示為
是虛數單位）的形式，則
等于
A．0
B．
2．已知集合
，則
等于
A．
B．
C．
D．
3．設
是等差數列
的前
項和，若
，則
=
A．1
B．
4．如圖，程序框圖所進行的求和運算是
A．
B．
C．
D．
5．下圖是某學校舉行的運動會上，七位評委為某體操項目
打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低
分后，所剩數據的平均數的方差分別為
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，4
6．函數
的零點一定位于區間
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
7．函數
的圖象如右圖所示，
則函數
的圖像大致是
8．已知函數
，給出下列四個命題：
①若
則
； ②
的最小正周期是2
；
③在區間
上是增函數； ④的圖象關于直線
其中真命題是
A．①②④ B．①③ C．②③ D．③④
9．若
、是兩條不同的直線，
是三個不同的平面，則下列命題中為真命題的是
A．若
，則
B．若
則
C．若
，
，則
D．若
，則
10．在
中，已知
、
、
成等比數列，且
，則
A．
B．
C．3
D．-3
11．已知圓
關于直線
對稱，則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
12．若函數為奇函數，且在
內是增函數，又
則
的解集為
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
注意事項：
第Ⅱ卷共2頁。考生必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目的指定答題區域內作
答，填空題請直接寫答案，解答題應寫出文字、證明過程或演算步驟。在試卷上作答無效。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。
13．拋物線
的焦點坐標是__________。
14．已知正方體外接球的體積是
，則正方體的棱長等于__________。
15．已知
則二項式
展開式中含
項的系數是_____。
16．設
，若
是
的充分不必要條件，則
的取值范圍是__________。
三、解答題：本大題共6小題，共74分。
17．（本小題滿分12分）
已知
中，角A、B、C的對邊分別為、、，且滿足
。
（1）求角B大小；
（2）設
，求
的最小值。
18．（本小題滿分12分）
已知數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意的
滿足關系式
。
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列
的通項公式是
，前項和為
，
求證：對于任意的正數，總以后
。
19．（本小題滿分12分）
某出版社準備舉行一次高中數學新教材研討會，會征求對新教材的使用意見，邀請50名使用不同版本教材的一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
蘇教版
北師大版
人數
20
15
10
5
（1）從這50名教師中隨機選出2名教師發言，求兩人所用教材版本相同的概率；
（2）若從使用人教版教材的教師中選出2名發言，設使用人教A版的教師人數為
，求
隨機變量的分布列及其數學期望。
20．（本小題滿分12分）
已知一四棱錐
的三視圖如下，E是則棱PC上的動點。
（1）求四棱錐的體積；
（2）不論點E在何位置，是否都有
？請證明你的結論；
（3）若E點為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小。
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓
的右焦點為
，上頂點為
為
上任一點，
是圓
的一條直徑，若與
平行且在
軸上的截距為
的直線
恰好與圓
相切。
（1）求橢圓的離心率；
（2）若
的最大值為49，求橢圓的方程。
22．（本小題滿分14分）
設函數
（I）當
時，求的極值；
（Ⅱ）當
時，求的單調區間；
（Ⅲ）當
時，對于任意正整數，在區間
上總存在
個數
使得
成立，試問：正整數是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由。
曲阜師范大學附中2009年高三模擬
一、選擇題（每小題5分，共60分）
BDACC ACDDB AA
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．
； 14．
15．―192 16．
三、解答題（共74分）
17．解:（I）由正弦定理
,有
代入
得
即
（Ⅱ）
由
得
所以，當
時，
取得最小值為0
18．解：（I）由已知得
故
即
故數列
為等比數列，且
由當
時，
所以
（Ⅱ）
所以
19．解：（I）從50名教師隨機選出2名的方法為
=1225，選出2人使用教材版本相同的方法數
故2人使用版本相同的概率為
。
（Ⅱ）
的分布為
0
1
2
20．解（I）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐
的底面是邊長為1的正方形，
側棱
底面
，且
，
（Ⅱ）不論點E在何位置，都有
證明：連結
是正方形，
底面，且
平面，
又
平面
不論點
在何位置，都有
平面
不論點E在何位置，都有。
（Ⅲ）以
為坐標原點，
所在的直線為
軸建立空間直角坐標系如圖：
則
從而
設平面
和平面
的法向量分別為
，
由法向量的性質可得：
令
則
設二面角
的平面角為
，則
二面角的大小為
。
21．解：（1）由題意可知直線
的方程為
，
因為直線與圓
相切，所以
，即
從而
（2）設
，則
，
又
（
①當
時，
，解得
，
此時橢圓方程為
②當
時，
，解得
，
當
，故舍去
綜上所述，橢圓的方程為
22．解：（I）依題意，知
的定義域為（0，+
）
當
時，
令
，解得
。
當
時，
；當
時，
又
所以的極小值為2-2
，無極大值。
（Ⅱ）
；
令，解得
。
（1）若
令，得
令，得
（2）若
，
①當
時，
，
令，得
或；
令，得
②當
時，
③當
時，得
，
令，得或
令，得
綜上所述，當
時，的遞減區間為
，遞增區間為
當時，的遞減區間為
；遞增區間為
當時，遞減區間為
當時，的遞減區間為
，遞增區間為
（Ⅲ）當
時， 
，
由
，知
時，
依題意得：
對一切正整數成立
令
，則
（當且僅當時取等號）
又
在區間
單調遞增，得
，
故
又
為正整數，得
當
時，存在
，對所有
滿足條件。
所以，正整數的最大值為32。
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