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數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（Ⅰ）設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，其中a1=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.
（20）（本小題滿分12分）
某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科
目B的考試.已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目成績均合格方可獲得證
書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試
成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
（Ⅰ）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（Ⅱ）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E.
（21）（本小題滿分12分）
如圖、橢圓的一個焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動，值有,求a的取值范圍.
（22）（本小題滿分14分）
已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x1
（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記f(x)在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為bx令an=ln(1+n)-bx.
（Ⅲ）如果對一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅳ）求證：
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）
數(shù) 學(xué)（理工類）
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
(1)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
解：由得,且（純虛數(shù)一定要使虛部不為0）
(2)設(shè)集合,,那么“mA”是“mB”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解：由得,可知“”是“”的充分而不必要條件
(3)設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若,則數(shù)列前7項(xiàng)的和為
A.63 B.64 C.127 D.128
解：由及｛an｝是公比為正數(shù)得公比，所以
(4)函數(shù),若，則的值為
A.3 B.0 C.-1 D.-2
解：為奇函數(shù)，又
故即.
(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是
A. B. C. D.
解：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，
(6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為 A. B.
C. D.
解：連與交與O點(diǎn),再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成角.
，，
(7)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為
A.14 B.24 C.28 D.48
解：6人中選4人的方案種，沒有女生的方案只有一種，
所以滿足要求的方案總數(shù)有14種
(8)若實(shí)數(shù)x、y滿足 則的取值范圍是
A.(0,1) B. C.(1,+) D.
解：由已知，，又，故的取值范圍是
(9)函數(shù)的圖象按向量 平移后，得到函數(shù)的圖象，
則m的值可以為
A. B. C.－ D.－
解：,而的圖象按向量 平移后
得到,所以，故可以為.
(10)在△ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c,若,則角B的值為
A. B. C.或 D. 或
解： 由得即
,又在△中所以B為或
(11)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3) B. C.(3,+) D.
解：如圖，設(shè)，，當(dāng)P在右頂點(diǎn)處，
∵，∴
另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意前者可以取到等號成立,因?yàn)榭梢匀c(diǎn)一線. 也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。
(12) 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么圖象可能是
解：從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在處斜率相同,可以排除B答案,再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢,可明顯看出的導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以驗(yàn)證y=g(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，增加越來越快.
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
（13）若,則 (用數(shù)字作答)
解：令，令得
所以
(14) 若直線與圓 （為參數(shù)）沒有公共點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
解：圓心為，要沒有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑可得
，即，
（15）若三棱錐的三個側(cè)圓兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是
解：依題可以構(gòu)造一個正方體,其體對角線就是外接球的直徑.
,
（16）設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、 ∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：
①整數(shù)集是數(shù)域； ②若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；
③數(shù)域必為無限集； ④存在無窮多個數(shù)域.
其中正確的命題的序號是 .（把你認(rèn)為正確的命題的序號填填上）
解：①對除法如不滿足，所以排除，
②取,對乘法, ③④的正確性容易推得。
（17）（本小題滿分12分）
已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n＝1，且A為銳角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)的值域.
解：（Ⅰ） 由題意得
由A為銳角得
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
所以
因?yàn)閤∈R，所以，因此，當(dāng)時，f(x)有最大值.
當(dāng)時，有最小值-3,所以所求函數(shù)的值域是
（18）（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小；
（Ⅲ）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由.
解法一：
（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD,
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.
因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以O(shè)B＝，
在Rt△POA中，因?yàn)锳P＝，AO＝1，所以O(shè)P＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
所以異面直線PB與CD所成的角是.
（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.
設(shè)QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時.
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，
由(Ⅱ)知
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).
則所以即，
取x0=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).
設(shè)由，得
解y=-或y=(舍去)，此時，
所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時.
（19）（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為，其中.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)的圖象上，求證：點(diǎn)也在的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.
解：(Ⅰ)證明： 因?yàn)樗裕?/p>
由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,
， 又
所以，是的等差數(shù)列
所以,又因?yàn)?所以,
故點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.
(Ⅱ)解:,令得.
當(dāng)x變化時,?的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
注意到,從而
①當(dāng),此時無極小值；
②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時無極大值；
③當(dāng)既無極大值又無極小值.
（20）（本小題滿分12分）
某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科
目B的考試。已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目成績均合格方可獲得證
書。現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試
成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
（Ⅰ）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（Ⅱ）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E.
解：設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件，“科目A補(bǔ)考合格”為事件；“科目B第一次考試合格”為事件，“科目B補(bǔ)考合格”為事件
(Ⅰ)不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為,注意到與相互獨(dú)立，
則.
答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為.
(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得
故
答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.
（21）（本小題滿分12分）
如圖、橢圓的一個焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動，值有,求a的取值范圍.
解：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點(diǎn)，
因?yàn)椤鱉NF為正三角形，
所以,
因此，橢圓方程為
(Ⅱ) 設(shè)
(?)當(dāng)直線 AB與x軸重合時，
(?)當(dāng)直線AB不與x軸重合時，
設(shè)直線AB的方程為：
整理得
所以
因?yàn)楹阌校訟OB恒為鈍角.
即恒成立.
又，所以對恒成立，
即對恒成立,當(dāng)時，最小值為0，
所以， ,
因?yàn)椋?
解得或(舍去)，即,
綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.
（22）（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為令
①如果對一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
②求證：
解：
（I）因?yàn)椋院瘮?shù)定義域?yàn)椋摇?/p>
由得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
由<0得，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.
(II) 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以
則.
①
>
又lim,
因此，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.
② 由① 知
因?yàn)閇]2
所以＜(nN*),
則＜
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