西安中學
師大附中
高2009屆第二次模擬考試
高新一中
長安一中
數學試題（理科）
命題人：西安中學 薛黨鵬
審題人：長安一中 岳建良
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分,考試時間120分鐘.
第I卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題：本大題共12小題
每小題5分，共60分
在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．集合
，
，則
=
A.
B.
C.
D.
2. 函數y＝8sin4xcos4x的最小正周期是
A.2π B.4π C. D.
3． ＝
A. i
B.－i
C.
D.－
4. 下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A.
B. 
C. 
D. 
5. 若
，則標準正態總體在區間（―3，3）內取值的概率為
A．0.9987 B．
6. 已知
是兩條不同直線，
是三個不同平面，下列命題中正確的是
A．
B．
C．
D．
7. 
A. 
B
D. 
8.若雙曲線
的離心率為2,則雙曲線
的離心率為
A．
B．
C．2
D．
9. 設
，則下列不等式中成立的是
A．
B．
C．
D．
10．設
為
所在平面內一點，且
，則
的面積與的面積之比為
A．
B．
C．
D．
11. 從圓
外一點
向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為
A．
B．
C．
D．
12. 已知
為定義在
上的可導函數,且
對于
恒成立,則
A. 
,
B. 
,
C. ,
D.,
第II卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分
把答案填在題中橫線上
13.已知正數
、
滿足
，則
的最小值為________.
14. 表面積為
的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 ．
15. 二項式
的展開式中的常數項為________.(結果用數值作答).
16. 如果一個函數的圖象關于直線
對稱,則稱此函數為自反函數. 使得函數
為自反函數的一組實數
的取值為________
三、解答題：本大題共6小題，共74分
解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．（本題滿分12分）已知函數
.
（Ⅰ）在所給的坐標紙上作出函數
的圖象(不要求寫出作圖過程).
（Ⅱ）令
，
.求函數
的圖象與軸交點的橫坐標.
18. (本題滿分12分) 按照新課程的要求, 高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動(以下簡稱活動). 該校高2010級一班50名學生在上學期參加活動的次數統計如圖所示．
（I）求該班學生參加活動的人均次數
；
（II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率
．
（III）從該班中任選兩名學生，用
表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望
．
（要求：答案用最簡分數表示）
19．（本題滿分12分）如圖所示，在矩形
中，
，點
是
的中點，將
沿
折起到
的位置，使二面角
是直二面角.
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值.
21. （本題滿分12分）已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線y=
x2的焦點，離心率等于
.直線
與橢圓Γ交于
兩點.
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
(Ⅱ) 橢圓Γ的右焦點
是否可以為
的垂心？若可以,求出直線的方程；若不可以,請說明理由.
21.（本題滿分12分）設函數
的定義域為
，記函數
的最大值為
.
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）已知
,試求實數
的取值范圍.
22. （本題滿分14分）已知正項數列
滿足對一切
,有
，其中
.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ) 求證: 當
時, 
.
西安中學
師大附中
高2009屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數學答題紙（理科）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題:(本大題共4小題，每小題4分，共16分)
13. , 14. . 15. . 16. .
三、解答題:(本大題共6小題，共74分)
17.（Ⅰ）
（Ⅱ）
18. （Ⅰ）
（Ⅱ）
19. （Ⅰ）
（Ⅱ）
20. （Ⅰ）
（Ⅱ）
21. （I）
(II)
22. （Ⅰ）
（Ⅱ）
西安中學
師大附中
高2009屆第二次模擬考試
高新一中
長安一中
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
B
D
A
D
D
A
B
A
二.填空題
13. 
.; 14. 
; 15. 15;
16. 
,
可以填寫任意實數
三、解答題
17．（Ⅰ）
(Ⅱ)
由
得
,從而
,即 
.所以,函數
與
軸交點的橫坐標為
.
12分
18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．
（I）該班學生參加活動的人均次數為
=
． 3分
（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為
．
6分
（III）從該班中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件
，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件
，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件
．易知
；
8分
.
10分
的分布列：
0
1
2
的數學期望：
．
12分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′
面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分
（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC
垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，
∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中，
。∴
，
即二面角D′―BC―E的正切值為
.
12分
法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，則
設平面BEC的法向量為
；平面D′BC的法向量為
由
.取
∴
。
∴二面角D′―BC―E的的正切值為.
20. (Ⅰ）設C方程為
，則b = 1.
∴橢圓C的方程為
…………………………………………………6分
（Ⅱ）假設存在直線
,使得點
是
的垂心.易知直線
的斜率為
，從而直線的斜率為1.設直線的方程為
，代如橢圓的方程，并整理可得
.設
，則
，
.于是
解之得
或
.
當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當
時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意. 所以，當且僅當直線的方程為
時, 點是的垂心. 12分
21. （Ⅰ）注意到當
時, 直線
是拋物線
的對稱軸，分以下幾種情況討論.
(1) 當a>0時，函數y=
, 
的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由<0知在
上單調遞增，∴
.
(2)當a=0時，
, ,∴
. 3分
(3)當a<0時,函數y=, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若
，即
則
4分
若
，即
,則
5分
若
，即
,則.
6分
綜上有
7分
（Ⅱ）當
時，
，所以， g(a)在
上單調遞增，于是由g(a)的不減性知
等價于
或
解之得
或
.所以，
的取值范圍為
.
12分
22.(Ⅰ)對一切
有
，即 
, 
(
) 4分
由
及
兩式相減,得: 
∴
是等差數列,且
,
.
8分
說明:本小題也可以運用先猜后證(數學歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得3分,證明給5分.
(Ⅱ) 由,知
,因此,只需證明
.
10分
當
或
時,結論顯然成立.當
時,
所以,原不等式成立. 14分
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