第11講 數列問題的題型與方法
數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏。有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現。本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法。
近幾年來，高考關于數列方面的命題主要有以下三個方面；（1）數列本身的有關知識，其中有等差數列與等比數列的概念、性質、通項公式及求和公式。（2）數列與其它知識的結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合。（3）數列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大。
一、知識整合
1．在掌握等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題；
3．培養學生善于分析題意，富于聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．
二、方法技巧
1．判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。
(2)通項公式法：
①若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數列；
②若 ，則為等比數列。
(3)中項公式法：驗證中項公式成立。
2. 在等差數列中,有關的最值問題――常用鄰項變號法求解：
(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.
(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
3.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
三、注意事項
1．證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明 或而得。
2．在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便，而一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。
3．注意與之間關系的轉化。如：
= ， =．
4．數列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數列極限的概念和性質，離不開數學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．
5．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．
四、例題解析
例1．已知數列{a}是公差d≠0的等差數列，其前n項和為S．
(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設l與l的夾角為θ，
證明：(1)因為等差數列{a}的公差d≠0，所以
Kpp是常數(k=2，3，…，n)．
(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．
例2．已知數列中，是其前項和，并且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
⑶求數列的通項公式及前項和。
分析：由于{b}和{c}中的項都和{a}中的項有關，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑．
解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②
由①和②得，數列{b}是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3?2．
當n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式．
綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．
說明：1．本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。
2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用．
例3．（04年浙江）設數列{an}的前項的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數列{an}為等比數列。
解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.
(Ⅱ)當n>1時,
得所以是首項,公比為的等比數列.
例4、（04年重慶）設a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求數列{bn}的通項公式，(2)求數列{nan}的前n項的和Sn。
解：（I）因
故{bn}是公比為的等比數列，且
（II）由
注意到可得
記數列的前n項和為Tn，則
例5．在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列。
⑴求點的坐標；
⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。
⑶設，等差數列的任一項，其中是中的最大數，，求的通項公式。
解：（1）
（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：
把代入上式，得，的方程為：。
，
=
（3），
T中最大數.
設公差為，則，由此得
說明：本例為數列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關鍵在于算出及求數列的公差。
例6．數列中，且滿足
⑴求數列的通項公式；
⑵設，求；
⑶設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為，
由題意得，.
（2）若，
時，
（3）
若對任意成立，即對任意成立，
的最小值是，的最大整數值是7。
即存在最大整數使對任意，均有
說明：本例復習數列通項，數列求和以及有關數列與不等式的綜合問題。.
五、強化訓練
（一）用基本量方法解題
1、（04年浙江）已知等差數列的公差為2，若a1,a3,a4成等比數列，則a2= （B ）
A －4 B －6 C －8 D －10
（二）用賦值法解題
2、（96年）等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（C ）
A 130 B 170 C 210 D 260
3、（01年）設{an}是公比為q的等比數列， Sn是{an}的前n項和,若{Sn}是等差數列，則q=__1_
4、設數列{an}的前項的和Sn= （對于所有n1），且a4=54,則a1=__2___
（三）用整體化方法解題
5、（00年）已知等差數列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有（C ）
A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=51
6、（02年）若一個等差數列的前3項和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列的項數為（A）
A 13 B 12 C 11 D 10
7、（03年上海）在等差數列{an}中a5=3，a6=-2,a4+a5+…+a10=-49
（四）用函數方法解題
8、（04年天津）已知數列{an},那么“對任意的nN+,點Pn(n ,an)都在直線y=x+1上”是“{an}為等差數列”的（ B）
A必要條件 B 充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
9、（99年上海）已知等差數列{an}滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是{an}的前n項和，Sn取得最大值，則n=___9______.
10、（01年上海）已知數列{an}中an=2n-7,(nN+),++--+=_153___
（五）用遞推方法解題
11、（03年全國）設{an}是首項為1的正項數列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通項公式是__1/n
12、（04年全國）已知數列{an}滿足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1 (n>1),則{an}的通項an=______a1=1;an=n2
13、（04年北京）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
已知數列是等和數列，且，公和為5，那么的值為__3___，這個數列的前n項和的計算公式為__當n為偶數時，；當n為奇數時，
14. （04年全國）已知數列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。
(1)求a3,a5； （2）求{an}的通項公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.
{an}的通項公式為：
當n為奇數時，an=
當n為偶數時，
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