準考證號 姓名
（在此卷上答題無效）
絕密★啟用前
2008年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷l至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．
3．考試結束，監考員將試題卷、答題卡一并收回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)＝P(A)?P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么 V＝πR3
n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
Pn(k)＝CP (1一P)
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在復平面內，復數對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定義集合運算：．設，則集合的所有元素之和為
A．0 B．2 C．3 D．6
3．若函數的值域是，則函數的值域是
A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，]
4．＝
A． B．0 C．－ D．不存在
5．在數列中，，則＝
A． B． C． D．
6．函數在區間(，)內的圖象大致是
A B C D
7．已知是橢圓的兩個焦點．滿足?＝0的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
8．(1＋)6(1＋)10展開式中的常數項為
A．1 B．46 C．4245 D．4246
9．若，且，則下列代數式中值最大的是
A． B． C． D．
10．連結球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于2、4，M、N分別為AB、CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：
①弦AB、CD可能相交于點M ②弦AB、CD可能相交于點N
③MN的最大值為5 ④MN的最小值為l
其中真命題的個數為
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．電子鐘一天顯示的時間是從00∶00到23∶59，每一時刻都由四個數字組成，則一天中任一時刻顯示的四個數字之和為23的概率為
A． B． C． D．
12．已知函數，若對于任一實數，與的值至少有一個為正數，則實數的取值范圍是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
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2008年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
理科數學
第Ⅱ卷
注意事項：
第Ⅱ卷2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把答案填在答題卡上．
13．直角坐標平面內三點，若為線段的三等分點，則?＝ ．
14．不等式≤的解集為 ．
15．過拋物線的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸左側)，則＝ ．
16．如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點．如果將容器倒置，水面也恰好過點 (圖2)．有下列四個命題：
A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B．將容器側面水平放置時，水面也恰好過點
C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好
經過點
D．若往容器內再注入升水，則容器恰好能裝滿
其中真命題的代號是 ．(寫出所有真命題的代號) ．
三．解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中．a、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，
a＝2，tan＋tan＝4，sin B sin C＝cos2．求A、B及b、c．
18．（本小題滿分12分）
因冰雪災害，某柑桔基地果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施．若實施方案一，預計第一年可以使柑桔產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產量為第一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案二，預計第一年可以使柑桔產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產量為第一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令表示方案實施兩年后柑桔產量達到災前產量的倍數．
（1）寫出ξ1、ξ2的分布列；
（2）實施哪種方案，兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大?
（3）不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產量達不到、恰好達到、超過災前產量，預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大?
19．（本小題滿分12分）
等差數列各項均為正整數，，前項和為，等比數列中，，且，是公比為64的等比數列．
（1）求與；
（2）證明：＋＋……＋＜．
20．（本小題滿分12分）
正三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且長度均為2．分別是的中點，是的中點，過的一個平面與側棱或其延長線分別相交于，已知．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的大小．
21．（本小題滿分12分）
設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點(，0)．
（1）過點作直線的垂線，垂足為，試求△的重心所在的曲線方程；
（2）求證：三點共線．
22．（本小題滿分14分）
已知函數＝＋＋，x∈(0，＋∞)．
（1）當時，求的單調區間；
（2）對任意正數，證明：．
2008年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
A
D
C
D
A
C
C
B
1．.因所以對應的點在第四象限，
2．.因，
3．.令，則，
4．.
5. . ，，…，
6．D. 函數
7． .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則
又,所以
8．. 常數項為
9. A.
10．. 解：①③④正確，②錯誤。易求得、到球心的距離分別為3、2，若兩弦交于，則⊥，中，有，矛盾。當、、共線時分別取最大值5最小值1。
11. . 一天顯示的時間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.
12．. 解：當時，顯然不成立
當時，因當即時結論顯然成立；
當時只要即可
即
則
二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。
13. 14. 15. 16. B、D
13. 由已知得,則
14．
15.
16． 解：真命題的代號是： BD 。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經過點P，故B正確；C的錯誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點P將露出水面。
三. 解答題：本大題共6小題，共74分。
17.解：由得
∴ ∴
∴，又
∴
由得
即 ∴
由正弦定理得
18.解：（1）的所有取值為
的所有取值為,
、的分布列分別為：
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產量超過災前產量這一事件，
,
可見，方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大
（3）令表示方案所帶來的效益，則
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以
可見，方案一所帶來的平均效益更大。
19．解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，
，
依題意有①
由知為正有理數，故為的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
20．解 ：（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，
則∥平面，所以∥。
又是的中點，所以⊥，則⊥。
因為⊥，⊥，
所以⊥面，則⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，連。因為⊥平面，
根據三垂線定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，則∥，則是的中點，則。
設，由得，，解得，
在中，，則，。
所以，故二面角為。
解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則
所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知設
由與共線得:存在有得
同理:
設是平面的一個法向量,
則令得
又是平面的一個法量
所以二面角的大小為
（3）由（2）知，，，平面的一個法向量為。
則。
則點到平面的距離為
21．證明：（1）設，由已知得到，且，，
從而,解得
因此的方程為：
同理的方程為：
又在上，所以，
即點都在直線上
又也在直線上,所以三點共線
（2）垂線的方程為：，
由得垂足，
設重心
所以 解得
由 可得即為重心所在曲線方程
22．解：、當時，，求得 ，
于是當時，；而當 時，．
即在中單調遞增，而在中單調遞減．
（2）.對任意給定的，，由 ，
若令 ，則 … ① ，而 … ②
（一）、先證；因為，，，
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再證；由①、②式中關于的對稱性，不妨設．則
（?）、當，則，所以，因為 ，
，此時．
（?）、當 …③，由①得 ,，，
因為 所以 … ④
同理得 … ⑤ ，于是 … ⑥
今證明 … ⑦, 因為 ，
只要證 ，即 ，也即 ，據③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得 ．
綜上所述，對任何正數，皆有．
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