2009年西安市高中三年級第三次質量檢測試題
數學（理）
說明：①本試題分第I卷（選擇題）第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。
②本試題滿分為150分，考試時間為120分鐘。
③本題（卷）共4頁。1―2頁選擇題，3―4頁為非選擇題。
④請考生務必在答題卡上答題，考試結束后，監考老師只收答題卡。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、互相獨立，那么
如果事件在一次實驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復實驗中恰好發生
次概率
。
正棱錐、圓錐的側面積公式
錐側
其中
表示底面周長，
表示斜高或母線長
球的體積公式
其中
表示球的半徑
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．定義集合
，
之間的
運算為：
，若
，則集合
中的元素個數是
A．4
B．
2．已知復數
則
=
A．
B．
C．
D．
3．已知數列
為等差數列，且
，則
的值為
A．
B．
C．
D．
4．若
的二項展開式中
的系數為
，則
A．
B．
5．一炮彈在某處爆炸，在處聽到爆炸聲的時間比在處晚
，現測得、兩地相距
為
軸，以線段的中垂線為
軸建立直角坐標系，則爆炸點所在的曲線方程為
A．
B．
C．
D．
6．將函數
圖象上每個點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的
倍，得函數
的圖象，再將函數的圖象按照向量
平移，即得函數
=的圖象，再將函數的圖象上每個點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍，即得函數
+1的圖象，則向量的坐標可以為
A．
B．
C．
D．
7．已知函數
的反函數是
，則函數的圖象是
A B C D
8．已知
，則向量
在向量
上的投影為
A．
B．
C．
D．
9．若
在點
處的切線方程為
A．
B．
C．
D．
10．頂點在同一球面上的正四棱柱
中，
，則
兩點間的球面距離為
A．
B．
C．
D．
11．已知函數
，且
則
等于
A．0
B．
12．對于集合
，稱
為開集，當且僅當任意
，存在正數
，使得
，已知集合
，
，則
A．是開集，
不是開集
B．不是開集，是開集
C．和都是開集
D．和都不是開集
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題有4個小題，每小題4分，共16分；把答案填在答題卡橫線上。
13．
_______________。
14．若實數
滿足不等式組
，則
的最大值為__________。
15．某班級要從6名男生、4名女生中選派6人參加某次社區服務，要求女生甲、乙要么都參加、要么都不參加，同時要求至少有一名女生參加，那么不同的選派方案種數為_________（用數字作答）
16．
、
是兩個實數，給出下列條件：①
；②
③
④
；⑤
。其中能腿出“、中至少有一個數大于
三、解答題：本大題共6個小題，滿分74分，解答時要求寫出必要的文字說明或推演步驟，
17．（本小題滿分12分）
在
中，已知內角
，邊
，設內角
的面積為
（I）求函數
=的解析式和定義域；
（Ⅱ）求的最大值。
18．（本題滿分12分）
一對外國夫婦攜帶有白化病遺傳基因，已知他們生出的小孩患有白化病的概率為
，不患此病的概率為
他們生的孩子是男孩或女孩的概率均為，現在已知該夫婦有三個孩子。
（I）求三個孩子是同新別的且都患病的概率
（結果用最簡分數表示）；
（Ⅱ）設三個孩子中，患病男孩的人數為
，求隨機變量的分布列以及期望（結果用最簡分數表示）
19．（本題滿分12分）
如圖，正三棱柱
中，
是
的中點，
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值。
]
20．（本題滿分12分）
已知函數
在
上是增函數
（I）求實數的取值范圍；
（Ⅱ）設
其中
，求函數
的最小值。
21．（本題滿分12分）
設直線
與橢圓
相切。
（I）試將
用
表示出來；
（Ⅱ）若經過動點
可以向橢圓引兩條互相垂直的切線，
為坐標原點，求證：
為定值。
22．（本題滿分14分）
已知各項全不為零的數列的前
項和為
，
（I）求證：數列為等差數列；
（Ⅱ）若
，求證：對任意的正整數，不等式
恒成立。
2009年西安市高三年級第三次質量檢測試題
數學（理）
第I卷（共60分）
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
A
A
A
A
D
B
A
A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．
14．3 15．97 16．③
三、解答題（共74分）
17．（本小題滿分12分）
（I）
的內角和
。
，
（Ⅱ）
當
即
時，
取最大值
18．（本題滿分12分）
記A：該夫婦生一個小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個小孩是不患病女孩，則
（I）
（Ⅱ）顯然，
的取值為0，1，2，3
所以的分布列為
0
1
2
3
顯然，
，故
19．（本題滿分12分）
解法一：（I）證明：連接
，設
，連接DE
三棱柱
是正三棱柱，且
，
四邊形
是正方形，
∴E是的中點，又
是
的中點，
∴
∵
平面
平面
，
∴
平面
（Ⅱ）解：在平面
內作
于點
，在面
；內作
于
連接
。
∵平面
平面，∴
平面，
∵
是在平面上的射影，
∴
是二面角
的平面角
設
在正中，
在
中，
在
中，
從而
所以，二面角的平面角的余弦值為
解法二：建立空間直角坐標系
，如圖，
（I）證明：連接
設
，連接
，設
則
平面平面
平面
（Ⅱ）解：∵
設
是平面的法向量，則
，且
故
，取
，得
；
同理，可求得平面
的法向量是
設二面角的大小為
，則
所以，二面角的平面角的余弦值為
20．（本題滿分12分）
（I）
在
上是增函數，
在上恒成立，即
恒成立。
（當且僅當
時，等號成立），
所以
（Ⅱ）設
，則
（1）當
時，
最小值為
；
（2）當
時，最小值為
21．（本題滿分12分）
（I）將
代入
得
，整理得
由
得
，故
（Ⅱ）當兩條切線的斜率都存在而且不等于
時，設其中一條的斜率為k，
則另外一條的斜率為
于是由上述結論可知橢圓斜率為k的切線方程為
①
又橢圓斜率為的切線方程為
②
由①得
由②得
兩式相加得
于是，所求P點坐標
滿足
因此，
當一條切線的斜率不存在時，另一條切線的斜率必為0，此時顯然也有
所以
為定值。
22．（本題滿分14分）
（I）由
知
當
時，
，化簡得
①
以
代替得
②
兩式相減得
則
，其中
所以，數列
為等差數列
（Ⅱ）由
，結合（I）的結論知
于是不等式
因此，欲證原不等式成立，只需證
即
令
，則
在
上恒正，
在上單調遞增，當
時，恒有
其他解法參照以上評分標準評分
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