2009年西安市高中三年級第三次質量檢測試題
數學（文）
說明：①本試題分第I卷（選擇題）第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。
②本試題滿分為150分，考試時間為120分鐘。
③本題（卷）共4頁。1―2頁選擇題，3―4頁為非選擇題。
④請考生務必在答題卡上答題，考試結束后，監考老師只收答題卡。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、互相獨立，那么
如果事件在一次實驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復實驗中恰好發生
次概率
。
正棱錐、圓錐的側面積公式
錐側
其中
表示底面周長，
表示斜高或母線長
球的體積公式
其中
表示球的半徑
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．定義集合
，
之間的
運算為：
，若
，則集合
中的元素個數是
A．4
B．
2．
是
的
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件
3．將函數
的圖象按照
平移后，所得圖象對應的函數表達式為
A．
B．
C．
D．
4．已知非零向量
不共線，且
，則實數k的值為
A．2
B．
C．
D．
5．一炮彈在某處爆炸，在處聽到爆炸聲的時間比在處晚
，現測得、兩地相距
為
軸，以線段的中垂線為
軸建立直角坐標系，則爆炸點所在的曲線方程為
A．
B．
C．
D．
6．已知函數
的反函數是
，則函數的圖象是
A B C D
7．圓
在點
處的切線方程為
A．
B．
C．
D．
8．若
的二項展開式中
的系數為
，則
A．2 B．1
C．3
D．
9．已知數列
為等差數列，且
，則
的值為
A．
B．
C．
D．
10．頂點在同一球面上的正四棱柱
中，
，則
兩點間的球面距離為
A．
B．
C．
D．
11．已知函數
，且
則
等于
A．0
B．
12．對于集合
，稱
為開集，當且僅當任意
，存在正數
，使得
，已知集合
，
，則
A．是開集，
不是開集
B．不是開集，是開集
C．和都是開集
D．和都不是開集
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題有4個小題，每小題4分，共16分；把答案填在答題卡橫線上。
13．函數
的定義域為____________。
14．若實數
滿足不等式組
，則
的最大值為__________。
15．某班級要從6名男生、4名女生中選派6人參加某次社區服務，要求女生甲、乙要么都參加、要么都不參加，同時要求至少有一名女生參加，那么不同的選派方案種數為_________（用數字作答）
16．設
、
是兩個實數，給出下列條件：①
；②
③
④
；⑤
。其中能腿出“、中至少有一個數大于
三、解答題：本大題共6個小題，滿分74分，解答時要求寫出必要的文字說明或推演步驟。
17．（本小題滿分12分）
在
中，已知內角
，邊
，設內角
，的面積為
（I）求函數
的解析式和定義域；
（Ⅱ）求的最大值。
18．（本題滿分12分）
一對外國夫婦攜帶有白化病遺傳基因，已知他們生出的小孩患有白化病的概率為
，不患此病的概率為
他們生的孩子是男孩或女孩的概率均為，現在已知該夫婦有三個孩子。
（I）求三個孩子是同性別的且都患病的概率
（結果用最簡分數表示）；
（Ⅱ）求三個孩子中有兩個是患病男孩，一個是患病女孩的概率
（結果用最簡分數表示）；
19．（本題滿分12分）
如圖，正三棱柱
中，
是
的中點，
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值。
20．（本題滿分12分）
已知函數
在
處取得極值
（I）討論
和
是函數
的極大值還是極小值；
（Ⅱ）過點
作曲線的切線，求此切線方程。
21．（本題滿分12分）
設直線
與橢圓
相切。
（I）試將
用
表示出來；
（Ⅱ）若經過動點
可以向橢圓引兩條互相垂直的切線，
為坐標原點，求證：
為定值。
22．（本題滿分14分）
已知各項全不為零的數列的前
項和為
，
（I）求證：數列為等差數列；
（Ⅱ）若
，求證：當
時，
2009年西安市高三年級第三次質量檢測試題
數學（文）
第I卷（共60分）
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
A
A
D
A
C
B
A
A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．
14．3 15．97 16．③
三、解答題（共74分）
17．（本小題滿分12分）
（I）
的內角和
。
，
（Ⅱ）
當
即
時，
取最大值
18．（本題滿分12分）
記A：該夫婦生一個小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個小孩是不患病女孩，則
（I）
（Ⅱ）該夫婦所生的前兩個是患病男孩，后一個患病女孩的概率為
，所以
19．（本題滿分12分）
解法一：（I）證明：連接
，設
，連接DE
三棱柱
是正三棱柱，且
，
四邊形
是正方形，
∴E是的中點，又
是
的中點，
∴
∵
平面
平面
，
∴
平面
（Ⅱ）解：在平面
內作
于點
，在面
；內作
于
連接
。
∵平面
平面，∴
平面，
∵
是在平面上的射影，
∴
是二面角
的平面角
設
在正中，
在
中，
在
中，
從而
所以，二面角的平面角的余弦值為
解法二：建立空間直角坐標系
，如圖，
（I）證明：連接
設
，連接
，設
則
平面平面
平面
（Ⅱ）解：∵
設
是平面的法向量，則
，且
故
，取
，得
；
同理，可求得平面
的法向量是
設二面角的大小為
，則
所以，二面角的平面角的余弦值為
20．（本題滿分12分）
（I）
，依題意，
，即
解得
令
，得
或
列表可得：
1
+
0
―
0
+
遞增
極大
遞減
極小
遞增
所以，
是極大值；
是極小值
（Ⅱ）曲線方程為
點
不在曲線上，
設切點為
，則點
的坐標滿足
因
，故切線的方程為
注意到點在切線上，有
化簡得
，解得
21．（本題滿分12分）
（I）將
代入
得
，整理得
由
得
，故
（Ⅱ）當兩條切線的斜率都存在而且不等于
時，設其中一條的斜率為k，
則另外一條的斜率為
于是由上述結論可知橢圓斜率為k的切線方程為
①
又橢圓斜率為的切線方程為
②
由①得
由②得
兩式相加得
于是，所求P點坐標
滿足
因此，
當一條切線的斜率不存在時，另一條切線的斜率必為0，此時顯然也有
所以
為定值。
22．（本題滿分14分）
（I）由
知
當
時，
，化簡得
①
以
代替得
②
兩式相減得
則
，其中
所以，數列
為等差數列
（Ⅱ）由
，結合（I）的結論知
于是，
所以，原不等式成立
其他解法參照以上評分標準評分
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