云南省2009年曲靖一中高考沖刺卷
數學理科（三）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中．只
1．設集合
，則
A．（1，2] B．[0，+
）
C．
D．[0，2]
2．設
是實數，且
是純虛數，則
A．
B．
C．
D．3
3．若
，則
A．
B．
C．
D．
4．若
，且
，則
A．
B．
C．或
D．
5．在等差數列
中，有
，則此數列的前13項之和為
A．24 B．
6．設曲線
在點
處的切線與直線
垂直，則
A．2 B． C．
D．1
7．若直線
與函數
分別相交于相鄰的
、
兩點，則
的最大值為
A．
B．
C．
D．
8．設偶函數
在
上為減函數，且
，則不等式
解集
為
A．
B．
C．
D．
9．若函數
的圖象與函數
的圖象關于
對稱，則
A．
B．
C．
D．
10．若直線
通過點
，則
A．
B．
C．
D．
11．已知四棱柱
的底面為正方形，側棱與底面邊長相等，
在底面
內的射影為正方形的中心，則
與底面所成角的正弦值等于
A．
B．
C．
D．
12．將正方體的各面涂色，任何相鄰兩個面不同色，現在有5種不同的
顏色，并且涂好了過頂點
的3個面的顏色，那么其余的3個面的涂色的方案共有
A．15種 B．14種 C．13種 D．12種
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．若
的展開式中前三項的系數成等差數列，則展開式中
項的系數為
（用數字作答）．
14．若
，且當
時．恒有
，則以、
為坐標的點
所
形成的平面區域的面積是 ．
15．設焦點在
軸上的雙曲線
的右準線與兩條漸近線交于、
兩點，右焦點
為
，且
，則雙曲線的離心率
．
16．
垂直于
所在的平面，
，當的
面積最大時，點到直線
的距離為
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
若函數
．
（1）求函數的單調遞減區間；
（2）已知
的三邊、、
對應角為、、
，且三角形的面積為
，若
，求
的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）
因金融危機，某公司的出口額下降，為此有關專家提出兩種促進出口的方案，每種方案都需要分兩年實施．若實施方案一，預計第一年可以使出口額恢復到危機前的1．0倍、0．9倍、0．8倍的概率分別為0．3、0．3、0．4；第二年可以使出口額為第一年的1．25倍、1．0倍的概率分別是0．5、0．5．若實施方案二，預計第一年可以使出口額恢復到危機前的1．2倍、l．0倍、0．8倍的概率分別為0．2、0．3、0．5；第二年可以使出口額為第一年的1．2倍、1．0倍的概率分別是0．4、0．6．實施每種方案第一年與第二年相互獨立．令
（
=1，2）表示方案實施兩年后出口額達到危機前的倍數。
（1）寫出、
的分布列；
（2）實施哪種方案，兩年后出口額超過危機前出口額的概率更大?
（3）不管哪種方案，如果實施兩年后出口額達不到、恰好達到、超過危機前出口額，預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元，問實施哪種方案的平均利潤更大?
19．（本小題滿分12分）
四棱錐
中，底面為矩形，側面
為正三角形，
為的中點．
（1）證明：
平面；
（2）求二面角
的大小．
20．（本小題滿分12分）
已知、、均為正整數，且
，等差數列的首項為，公差為，等比數列
的首項為，公比為，且
，在數列和中各存在一項
與
，使得
，又
．
（1）求、的值；
（2）求數列
中的最小項，并說明理由．
21．（本小題滿分12分）
橢圓的中心為坐標原點
，焦點在
軸上，焦點到相應準線的距離以及離心率均為
，直線
與軸交于點
，與橢圓交于相異兩點、，且
．
（1）求橢圓方程；
（2）若
，求
的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
已知函數
，其中為常數．
（1）當
時，
恒成立，求的取值范圍；
（2）求
的單調區間．
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．B 9．C 10．B
11．A 12．C
1．
，所以選B．
2．
，所以選D．
3．
，所以選
．
4．
或
，所以選C．
5．
，所以選C．
6．
，切線斜率
，所以選D．
7．觀察圖象
．所以選D．
8．化為
或
，所以選B．
9．
與
關于
對稱,
，所以選C．
10．直線
與橢圓
有公共點
，所以選B．
11．如圖，設
，則
，
,
,從而
，因此
與底面所成角的正弦值等于
．所以選A．
12．分類涂色① 只用3種顏色，相對面同色，有1種涂法；②
用4種顏色，有
種涂法；③ 用五種顏色，有
種涂法．共有13種涂法．所以選C．
二、
13．7．由
或
（舍去），
項的余數為
．
14．依題設
，又
，點
所形成的平面區域為邊長為1的正方形，其面積為1．
15．
，由
，得
．
16．
．
如圖，可設
，又
，
．
當
面積最大時，
．點到直線
的距離為
．
三、
17．（1）
由
得
，
的單調遞減區間為
．
（2）
．
18．（1）
的所有取值為0．8，0．9，1．0，1．125，1．25，其分布列為
0．8
0．9
1．0
1．125
1．25
0．2
0．15
0．35
0．15
0．15
的所有取值為0．8，0．96，1．0，1，2，1．44，其分布列為
0．8
0．96
1．0
1．2
1．44
0．3
0．2
0．18
0．24
0．08
（2）設實施方案一、方案二兩年后超過危機前出口額的概率為
，
，則
∴實施方案二兩年后超過危機前出口額的概率更大．
（3）方案一、方案二的預計利潤為
、
，則
10
15
20
0．35
0．35
0．3
10
15
20
0． 5
0．18
0．32
∴實施方案一的平均利潤更大
19．（1）設
與
交于點
．
從而
，即
，又
，且
平面
為正三角形，
為
的中點，
，且
，因此，
平面
．
（2）
平面，∴平面
平面又
，∴平面平面
設
為
的中點，連接
，則
，
平面，過點作
，連接
，則
．
為二面角
的平面角．
在
中，
．
又
．
20．（1）由
，得
，則
又
為正整數，
，故
．
（2）
∴當
或
時，
取得最小值
．
21．（1）由
得
∴橢圓
的方程為：
．
（2）由
得
，
又
設直線
的方程為：
由
得
由此得
． ①
設與橢圓的交點為
，則
由
得
，整理得
，整理得
時，上式不成立，
②
由式①、②得
或
∴
取值范圍是
．
22．（1）由
得
令
，則
當
時，
在
上單調遞增．
的取值范圍是
．
（2）
則
① 當
時，
是減函數．
時，
是增函數．
② 當
時，
是增函數．
綜上；當時，增區間為
，，減區間為
；
當時，增區間為
．
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