2008年深圳市高三年級第一次調研考試
數學（理科） 2008.3
一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合要求的．
1.
設全集
，集合
，集合
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
復數
，
，則復數
在復平面內對應的點位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.
如圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為 （ ）
A．
B．
C．
D．
4.
設
是定義在
上的奇函數，且當
時，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
已知等差數列
的公差
，它的第1、5、17項順次成等比數列，則這個等比數列的公比是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6.
函數
的零點所在的大致區(qū)間是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7.
為調查深圳市中學生平均每人每天參加體育鍛煉時間
（單位：分鐘），按鍛煉時間分下列四種情況統(tǒng)計：①0～10分鐘；②11～20分鐘；③21～30分鐘；④30分鐘以上．有10000名中學生參加了此項活動，下圖是此次調查中某一項的流程圖，其輸出的結果是6200，則平均每天參加體育鍛煉時間在0～20分鐘內的學生的頻率是 （ ）
A．3800 B．
D．
 |
8.
如圖，已知
、
，從點
射出的光線經直線
反向后再射到直線
上，最后經直線反射后又回到
點，則光線所經過的路程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、 填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．其中13～15小題是選做題，考生只能選做兩題，若三題全答，則只計算前兩題得分．
9.
在
中，
、
分別為角
、
的對邊，若
，
，
，則邊的長等于 ．
10. 某高三學生希望報名參加某6所高校中的3所學校的自主招生考試，由于其中兩所學校的考試時間相同，因此該學生不能同時報考這兩所學校．該學生不同的報考方法種數是
．（用數字作答）
11.
在
中，兩直角邊分別為、，設
為斜邊上的高，則
，由此類比：三棱錐
中的三條側棱
、
、
兩兩垂直，且長度分別為、、
，設棱錐底面
上的高為，則 ．
12.
已知定義在區(qū)間
上的函數
的圖像如圖所示，對于滿足
的任意
、
，給出下列結論：
①
；
②
；
③
．
其中正確結論的序號是 ．（把所有正確結論的序號都填上）
13.
（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，圓
的圓心的極坐標是 ，它與方程
（
）所表示的圖形的交點的極坐標是 ．
14.
（不等式選講選做題）已知點是邊長為
的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為
、
、
，則、、所滿足的關系式為 ，
的最小值是 ．
15.
（幾何證明選講選做題）如圖，
是
的切線，切點為
，直線
與交于、兩點，
的平分線分別交直線
、
于
、
兩點，已知
，
，則
，
．
三、 解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
已知向量
，
，函數
．
（Ⅰ）求的最大值及相應的的值；
（Ⅱ）若
，求
的值．
17. （本小題滿分12分）
將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在
下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球，記
為落入袋中的小球個數，試求
的概率和的數學期望
．
18. （本小題滿分14分）
如圖所示的幾何體
中，
平面
，
∥
，
，
，
是
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
19. （本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，已知點
、
，是平面內一動點，直線、
的斜率之積為
．
（Ⅰ）求動點的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
作直線
與軌跡交于、
兩點，線段
的中點為，求直線
的斜率
的取值范圍．
20. （本小題滿分14分）
已知
，
（
），直線與函數、
的圖像都
相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求直線的方程及
的值；
（Ⅱ）若
（其中
是的導函數），求函數
的最大值；
（Ⅲ）當
時，求證：
．
21. （本小題滿分14分）
如圖，
、
、…、
（
）是曲線：
（
）上的
個點，點
（
）在軸的正半軸上，且
是正三角形（
是坐標原點）．
（Ⅰ）寫出
、
、
；
（Ⅱ）求出點
（
）的橫坐標
關于的表達式；
（Ⅲ）設
，若對任意的正整數，當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
2008年深圳市高三年級第一次調研考試
一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合要求的．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．其中13～15小題是選做題，考生只能選做兩題，若三題全答，則只計算前兩題得分．
9．
10．
11．
12．②③ 13．
，
14．
，
15．
，
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. 解：（Ⅰ）因為
，
，所以
．
因此，當
，即
（
）時，
取得最大值
；
（Ⅱ）由
及
得
，兩邊平方得
，即
．
因此，
．
17. 解：（Ⅰ）記“小球落入
袋中”為事件，“小球落入
袋中”為事件，則事件的對立事件為，而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
從而
；
（Ⅱ）顯然，隨機變量
，故
，
．
18. 
解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，
并設
，則
（Ⅰ）
，
，
所以
，從而得
；
（Ⅱ）設
是平面
的
法向量，則由
，
及
，
得
可以取
．
顯然，
為平面
的法向量．
設二面角
的平面角為
，則此二面角的余弦值
．
19. 解：（Ⅰ）依題意，有
（
），化簡得
（），
這就是動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）依題意，可設
、
、
，則有
，
兩式相減，得
，由此得點
的軌跡方程為
（
）．
設直線
：
（其中
），則
，
故由
，即
，解之得
的取值范圍是
．
20. 解：（Ⅰ）依題意知：直線
是函數
在點處的切線，故其斜率
，
所以直線的方程為
．
又因為直線與
的圖像相切，所以由
，
得
（
不合題意，舍去）；
（Ⅱ）因為
（
），所以
．
當
時，
；當
時，
．
因此，
在
上單調遞增，在
上單調遞減．
因此，當
時，取得最大值
；
（Ⅲ）當
時，
．由（Ⅱ）知：當時，
，即
．因此，有
．
21. 解：（Ⅰ）
，
，
；
（Ⅱ）依題意，得
，
，由此及
得
，
即
．
由（Ⅰ）可猜想：
（
）．
下面用數學歸納法予以證明：
（1）當
時，命題顯然成立；
（2）假定當
時命題成立，即有
，則當
時，由歸納假設及
得
，即
，
解之得
（
不合題意，舍去），
即當時，命題成立．
由（1）、（2）知：命題成立．
（Ⅲ）
．
令
（
），則
，所以在
上是增函數，故當
時，取得最小值，即當時，
．
（
，
）
，即
（）
．
解之得，實數
的取值范圍為
．
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