一元二次方程專題復習（一）
【課標要求】
1. 了解一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
2. 掌握一元二次方程的四種解法，并能靈活運用.
3. 掌握一元二次方程根的判別式，并能運用它解相應問題.
4. 掌握一元二次方程根與系數的關系，會用它們解決有關問題.
5. 會解一元二次方程應用題.
【知識梳理】
1．靈活運用四種解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法：直接開平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
x=
(b2
注意：掌握一元二次方程求根公式的推導；主要數學方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。
2．根的判別式及應用(△=b2
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值范圍。
3．根與系數的關系(韋達定理)的應用：韋達定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2，則x1+x2=―
，x1?x2=
。
(1)已知一根求另一根及未知系數；
(2)求與方程的根有關的代數式的值；
(3)已知兩根求作方程；
(4)已知兩數的和與積，求這兩個數；
(5)確定根的符號:(x1，x2是方程兩根)。
應用韋達定理時，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時，一般把求作方程的二次項系數設為1，即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系數的值時，需使二次項系數a≠0，同時滿足△≥0;求代數式的值，常用整體思想，把所求代數式變形成為含有兩根之和x1+x2，兩根之積x1x2的代數式的形式，整體代入。
4．一元二次方程的應用：解應用題的關鍵是把握題意，找準等量關系，列出方程。最后還要注意求出的未知數的值，是否符合實際意義。
【中考主要考點】
①利用一元二次方程的意義解決問題
②用整體思想對復雜的高次方程或分式方程進行變形（換元法）
③考查配方法（主要結合函數的頂點式來研究）
④一元二次方程的解法
⑤一元二次方程根的近似值
⑥建立一元二次方程模型解決問題
⑦利用根的判別式求方程中的字母系數的值和利用根與系數關系求代數式的值
⑧與一元二次方程相關的探索或說理題
⑨與其他知識結合，綜合解決問題
一元二次方程的定義、解法
Ø 要點、考點聚焦
1. 加深理解一元二次方程的有關概念及一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
2.熟練地應用不同的方法解方程；直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法；并體會“降冪法”在解方程中的含義.（其中配方法很重要）
Ø 課前熱身
1. 當a__________時，方程ax2＋3x＋1＝0是一元二次方程.
2. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一個根，則方程的另一根為__________.
3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.
4. 若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，則方程必有一根為_______.
5. 用配方法解方程x2-4x+2=0,則下列配方正確的是( )
A (x-2)2=2 B (x+2)2=
Ø 典型例題解析
1、關于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，求a的取值范圍___________.
2、已知：關于x的方程x2－6x＋m2－
3、用配方法解方程2x2-x-1=0
【課時訓練】
1、關于
的一元二次方程
的一個根是0，則
的值為（ ）
A、
B、
C、或
D、
2、解方程
的最適當的方法（ ）
A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法
3、若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、k____________時，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是關于x的一元二次方程.
5、已知方程
，則代數式
_________.
6、解下列方程：
（1）(x－1)2＝4 (2)x2－2x－3＝0 (3)2t2－7t－4＝0（用配方法）
一元二次方程根的判別式
Ø 要點、考點聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況：
(1)當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；(2)當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；
(3)當Δ＜0時，方程無實數根.
2.一元二次方程根的判別式的性質反用也成立，即已知根的情況，可以得到一個等式或不等式，從而確定系數的值或取值范圍．
Ø 課前熱身
1.(2008年?西寧市)若關于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. (2008年?南通市)若關于x的方程x2+(2k-1)x+k2-
=0有兩個相等的實數根，則k=
.
3.( 2007巴中市）一元二次方程
的根的情況為（ ）
A. 有兩個相等的實數根 B. 有兩個不相等的實數根C. 只有一個實數根 D. 沒有實數根
4、(2007湖北天門）已知關于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。請你為m選取一個合適的整數，當m=________時，使得到的方程有兩個不相等的實數根；
Ø 典型例題解析
【例1】 已知關于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當m為何非負整數時：
(1)方程只有一個實數根；(2)方程有兩個相等的實數根；(3)方程有兩個不等的實數根.
【例2】 已知a，b，c是三角形的三條邊，
求證：關于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0沒有實數根
【課時訓練】
1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情況為（ ）
A. 有兩個相等的實數根 B. 有兩個不相等的實數根
C. 只有一個實數根 D. 沒有實數根
2、（2007安徽蕪湖）已知關于x 的一元二次方程
有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（
）
A. m＞－1 B. m＜－2 C. m ≥0 D. m＜0
3、一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是________.
4、求證：關于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有兩個不相等的實數根。
中考試題
來做
一、填空題
1、關于x的方程
是一元二次方程，則m的取值范圍是 ____.
2、若b（b≠0）是關于x的方程
的根，則2b＋c的值為 .
3、方程x2-3x+1=0的根的情況是_______________________________.
4、寫出一個既能直接開方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.
5、在實數范圍內定義一種運算“
”，其規則為
,根據這個規則，方程
的解為_________________.
6、如果關于x的一元二次方程
有兩個實數根，則k的取值范圍是_____________。
7、設
是一元二次方程
的兩個根，代數式
的值為___________.
8、
是整數，已知關于x的一元二次方程
只有整數根，則=__________.
二、選擇題
1、關于
的方程
的根的情況是（ ）
A、有兩個不相等的實數根 B、有兩個相等的實數根
C、無實數根 D、不能確定
2、已知方程
有一個根是
，則下列代數式的值恒為常數的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、方程
的解是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 無實數根
4、若關于x的一元二次方程
沒有實數根，那么k的最小整數值是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D. 
5、如果是一元二次方程
的一個根，
是一元二次方程
的一個根，那么的值是（ ）
A、1或2
B、0或
C、
或
D、0或3
6、設m是方程
的較大的一根，n是方程
的較小的一根，則
（ ）
A. 
B. 
C. 1
D. 2
三、解答題
1、用配方法解下列方程：
2、已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有兩個相等的實數根，求k值，并求出方程的根。
3、已知a，b，c是△ABC的三條邊長，且方程（a2＋b2）x2－2cx＋1＝0有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀。
4、 已知關于x的一元二次方程x2－2mx－
（1）求證：原方程恒有兩個實數根。
（2）若方程的兩個實數根一個小于5，另一個大于2，求m的取值范圍。
5、方程
的較大根為a，方程
的較小根為b，求
的值.
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