廣東省揭陽市2008年高中畢業班高考調研測試
數學試題(理科)
本試卷共4頁，21小題，滿分150分�？荚囉脮rl20分鐘。
注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔�？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式.files/image002.gif)
，其中.files/image004.gif)
是錐體的底面積，.files/image006.gif)
是錐體的高．
如果事件.files/image008.gif)
、.files/image010.gif)
互斥，那么.files/image012.gif)
．
如果事件、相互獨立，那么.files/image014.gif)
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。
1．若.files/image016.gif)
（i為虛數單位），則使.files/image018.gif)
的.files/image020.gif)
值可能是
A．0 B．.files/image022.gif)
C．.files/image024.gif)
D．.files/image026.gif)
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2．設全集U=R，A=.files/image030.gif)
，則右圖中陰
影部分表示的集合為
A．.files/image032.gif)
B．.files/image034.gif)
C．.files/image036.gif)
D．.files/image038.gif)
3．下列函數中，在區間.files/image040.gif)
上為增函數且以.files/image042.gif)
為周期的函數是
A．.files/image044.gif)
B． .files/image046.gif)
C． .files/image048.gif)
D．
.files/image050.gif)
4．在等比數列.files/image052.gif)
中，.files/image054.gif)
則.files/image056.gif)
.files/image008.gif)
．3
.files/image010.gif)
．.files/image060.gif)
.files/image062.gif)
．3或
.files/image065.gif)
．.files/image067.gif)
或.files/image069.gif)
.files/image071.gif)
5. 一個算法的程序框圖如下圖所示，若該程序輸出的結果為.files/image073.gif)
，則判斷框中應填入的條件是
A..files/image075.gif)
B..files/image077.gif)
C. .files/image079.gif)
D.
.files/image081.gif)
6．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為.files/image083.gif)
，得2分的概率為.files/image085.gif)
，不得分的概率為.files/image087.gif)
（、、.files/image091.gif)
），已知他投籃一次得分的數學期望為2（不計其它得分情況），則.files/image093.gif)
的最大值為
A．.files/image095.gif)
B．.files/image097.gif)
C．.files/image099.gif)
D．.files/image101.gif)
7．若不等式組.files/image103.gif)
表示的平面區域是一個三角形，則.files/image105.gif)
的取值范圍是
Ａ．.files/image107.gif)
或.files/image109.gif)
Ｂ． Ｃ．.files/image112.gif)
Ｄ．
8．設.files/image115.gif)
是定義在正整數集上的函數，且滿足：“當.files/image117.gif)
成立時，總可推 出.files/image119.gif)
.files/image121.gif)
成立”．那么，下列命題總成立的是
Ａ．若.files/image123.gif)
成立，則當.files/image125.gif)
時，均有.files/image127.gif)
成立
Ｂ．若.files/image129.gif)
成立，則當.files/image131.gif)
時，均有成立
Ｃ．若.files/image134.gif)
成立，則當.files/image136.gif)
時，均有.files/image138.gif)
成立
Ｄ．若.files/image140.gif)
成立，則當.files/image142.gif)
時，均有.files/image144.gif)
成立
.files/image146.gif)
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9. 統計某校1000名學生的數學會考成績，得到樣
本頻率分布直方圖如右圖示，規定不低于60分為
及格，不低于80分為優秀，則及格人數是 ；
優秀率為 。
10．從編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十個形狀大小相同的球中，任取3個球，則這3個球編號之和為奇數的概率是________.
11．直角坐標系.files/image148.gif)
中，.files/image150.gif)
分別是與.files/image152.gif)
軸正方向同向的單位向量．在直角三角形ABC中，若.files/image154.gif)
，.files/image156.gif)
，且∠C=90°則.files/image158.gif)
的值是
;
12．已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結論的編號）．
.files/image160.gif)
①矩形；
②不是矩形的平行四邊形；
③有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；
④每個面都是等腰三角形的四面體；
⑤每個面都是直角三角形的四面體．
13．(坐標系與參數方程選做題) 極坐標系中，曲線.files/image162.gif)
和.files/image164.gif)
相交于點.files/image166.gif)
，則.files/image168.gif)
＝
；
.files/image170.gif)
14．(不等式選講選做題)若.files/image172.gif)
的最小值為3,
則實數.files/image174.gif)
的值是________.
15. （幾何證明選講選做題）如圖，PA切.files/image176.gif)
于點A，割線
PBC經過圓心O，OB=PB=1, OA繞點O逆時針旋轉60°到OD，
則PD的長為 .
三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
.files/image178.jpg)
如圖某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A、B，觀察對岸的點C,測得.files/image180.gif)
，.files/image182.gif)
,且.files/image184.gif)
米。
（1）求.files/image186.gif)
；
（2）求該河段的寬度。
17. （本小題滿分14分）
.files/image188.gif)
在三棱錐.files/image190.gif)
中，.files/image192.gif)
,.files/image194.gif)
.
(1) 求三棱錐的體積；
(2) 證明:.files/image196.gif)
;
(3) 求異面直線SB和AC所成角的余弦值。
18．（本小題滿分14分）
設動點.files/image198.gif)
到定點.files/image200.gif)
.files/image202.gif)
的距離比它到.files/image204.gif)
軸的距離大1，記點.files/image206.gif)
的軌跡為曲線.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設圓.files/image209.gif)
過.files/image212.gif)
，且圓心在曲線上，.files/image214.gif)
是圓在軸上截得的弦，試探究當運動時，弦長.files/image217.gif)
是否為定值？為什么？
.files/image218.gif)
19．（本小題12分）
如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝
（1） 要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（2） 若|AN| .files/image220.gif)
（單位：米），則當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．
20．（本小題滿分14分）
已知數列.files/image222.gif)
滿足.files/image224.gif)
，且.files/image226.gif)
。
（1）求數列的通項公式；
(2) 證明.files/image228.gif)
；
（3）數列是否存在最大項？若存在最大項，求出該項和相應的項數；若不存在，說明理由。
21.（本小題滿分14分）
已知二次函數.files/image230.gif)
.
（1）若.files/image232.gif)
，試判斷函數.files/image234.gif)
零點個數；
(2)若對.files/image236.gif)
且.files/image238.gif)
，.files/image240.gif)
，試證明.files/image242.gif)
，使.files/image244.gif)
成立。
(3)是否存在.files/image246.gif)
，使同時滿足以下條件①對.files/image249.gif)
，且.files/image251.gif)
；②對.files/image253.gif)
,都有.files/image255.gif)
。若存在，求出.files/image257.gif)
的值，若不存在，請說明理由。
2007年揭陽市高中畢業班高考調研測試
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．
一．選擇題：BBDC DDAD
1．將各選項代入檢驗易得答案選B.
2．.files/image259.gif)
，圖中陰影部分表示的集合為.files/image261.gif)
,選B.
3．由函數以.files/image042.gif)
為周期，可排除A、B，由函數在.files/image040.gif)
為增函數，可排除C,故選D。
4．.files/image263.gif)
或.files/image265.gif)
.files/image267.gif)
或.files/image060.gif)
，故選C。
.files/image270.gif)
5．該程序的功能是求和.files/image272.gif)
,因輸出結果.files/image274.gif)
，故選D.
6．由已知得.files/image276.gif)
即.files/image278.gif)
.files/image280.gif)
，故選D.
7．如圖：易得答案選A.
8．若.files/image123.gif)
成立，依題意則應有當.files/image282.gif)
時，均有.files/image127.gif)
成立，故A不成立,
若.files/image129.gif)
成立，依題意則應有當.files/image284.gif)
時，均有成立，故B不成立,
因命題“當.files/image117.gif)
成立時，總可推 出.files/image119.gif)
.files/image121.gif)
成立”．.files/image286.gif)
“當.files/image288.gif)
成立時，總可推出.files/image290.gif)
成立”．因而若.files/image134.gif)
成立，則當.files/image292.gif)
時，均有.files/image138.gif)
成立 ，故C也不成立。對于D，事實上.files/image140.gif)
.files/image294.gif)
，依題意知當.files/image142.gif)
時，均有.files/image144.gif)
成立，故D成立。
二．填空題：9.800、20％；10. .files/image296.gif)
；11. 3；12. ①③④⑤；13. .files/image298.gif)
；14. 2或8；15. .files/image300.gif)
9. 由率分布直方圖知，及格率＝.files/image302.gif)
＝80％，
及格人數＝80％×1000＝800，優秀率＝.files/image304.gif)
％.
10．解一：任取3個球有C.files/image306.gif)
種結果，編號之和為奇數的結果數為C.files/image308.gif)
C.files/image310.gif)
+ C.files/image312.gif)
=60，故所求概率為.files/image314.gif)
.
解二：十個球的編號中，恰好有5個奇數和5個偶數，從中任取3個球，3個球編號之和為奇數與3個球編號之和為偶數的機會是均等的，故所求概率為.
11．由平面向量的坐標表示可得：.files/image316.gif)
.files/image318.gif)
.files/image320.gif)
由.files/image322.gif)
，得.files/image324.gif)
.
12．由三視圖知該幾何體是底面為正方形的長方體，
顯然①可能，②不可能，③④⑤如右圖知都有可能。
13．在平面直角坐標系中，曲線.files/image162.gif)
和.files/image164.gif)
分別表示圓.files/image326.gif)
和直線.files/image328.gif)
，易知.files/image168.gif)
＝
14． 由.files/image331.gif)
，得.files/image333.gif)
或8
.files/image335.gif)
15．解法1：∵PA切.files/image176.gif)
于點A，B為PO中點，
∴AB=OB=OA, ∴.files/image337.gif)
,∴.files/image339.gif)
,在△POD中由余弦定理
得.files/image341.gif)
=.files/image343.gif)
∴.files/image345.gif)
.
解法2：過點D作DE⊥PC垂足為E，∵，∴.files/image347.gif)
,可得.files/image349.gif)
,.files/image351.gif)
,在.files/image353.gif)
中，∴.files/image355.gif)
三．解答題：
16．解：（1）.files/image357.gif)
.files/image359.gif)
.files/image361.gif)
.files/image363.gif)
------------------------4分
（2）∵.files/image180.gif)
，.files/image182.gif)
∴.files/image365.gif)
,
由正弦定理得：.files/image367.gif)
∴.files/image369.gif)
------------6分
如圖過點B作.files/image371.gif)
垂直于對岸，垂足為D,則BD的長就是該河段的寬度。
在.files/image373.gif)
中，∵.files/image375.gif)
,.files/image377.gif)
------------8分
∴.files/image379.gif)
＝.files/image381.gif)
.files/image383.gif)
（米）
∴該河段的寬度.files/image385.gif)
米。---------------------------12分
17．(1)解：∵.files/image192.gif)
∴.files/image387.gif)
且.files/image389.gif)
,
∴.files/image391.gif)
平面.files/image393.gif)
------------ ----------------2分
.files/image188.gif)
在.files/image395.gif)
中， .files/image397.gif)
,
.files/image399.gif)
中，.files/image401.gif)
∵.files/image403.gif)
,
∴.files/image405.gif)
.--------------4分
(2)證法1：由（1）知SA=2, 在.files/image407.gif)
中，.files/image409.gif)
---6分
∵.files/image411.gif)
,∴.files/image196.gif)
-------------------8分
證法2：由（1）知平面，∵.files/image413.gif)
面，
∴.files/image416.gif)
,∵.files/image418.gif)
,.files/image420.gif)
,∴.files/image422.gif)
面.files/image424.gif)
又∵.files/image426.gif)
面，∴
(3) 解法1：分別取AB、SA、 BC的中點D、E、F，
連結ED、DF、EF、AF，則.files/image429.gif)
,
∴.files/image431.gif)
（或其鄰補角）就是異面直線SB和AC所成的角----------10分
.files/image433.gif)
∵.files/image435.gif)
在.files/image437.gif)
中，.files/image439.gif)
∴.files/image441.gif)
,
在.files/image443.gif)
中，.files/image445.gif)
在△DEF中，由余弦定理得.files/image447.gif)
.files/image449.gif)
∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為.files/image451.gif)
-------------------------14分
解法2：以點A為坐標原點，AC所在的直線為y軸建立空間直角坐標系如圖
則可得點A(0,0,0),C(0,1,0),B.files/image453.gif)
.files/image455.gif)
∴.files/image457.gif)
設異面直線SB和AC所成的角為.files/image020.gif)
則.files/image460.gif)
∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為。
18．解：（1）依題意知，動點.files/image206.gif)
到定點.files/image200.gif)
.files/image202.gif)
的距離等于到直線.files/image464.gif)
的距離，曲線.files/image062.gif)
是以原點為頂點，為焦點的拋物線………………………………2分
.files/image467.gif)
∵.files/image469.gif)
∴.files/image471.gif)
∴ 曲線方程是.files/image474.gif)
………4分
（2）設圓的圓心為.files/image476.gif)
，∵圓.files/image209.gif)
過.files/image212.gif)
，
∴圓的方程為 .files/image479.gif)
……………………………7分
令.files/image481.gif)
得：.files/image483.gif)
設圓與.files/image204.gif)
軸的兩交點分別為.files/image486.gif)
，.files/image488.gif)
方法1：不妨設.files/image490.gif)
.files/image492.gif)
，由求根公式得
.files/image494.gif)
，.files/image496.gif)
…………………………10分
∴.files/image498.gif)
又∵點在拋物線上，∴.files/image500.gif)
，
∴ .files/image502.gif)
，即.files/image217.gif)
＝4--------------------------------------------------------13分
∴當運動時，弦長為定值4…………………………………………………14分
〔方法2：∵.files/image504.gif)
，.files/image506.gif)
∴.files/image508.gif)
.files/image510.gif)
又∵點在拋物線上，∴， ∴ .files/image512.gif)
.files/image514.gif)
∴當運動時，弦長為定值4〕
19.解：設AN的長為x米（x >2）
∵.files/image516.gif)
，∴|AM|＝.files/image518.gif)
∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝.files/image520.gif)
------------------------------------- 4分
（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ，
∵x >2，∴.files/image522.gif)
，即（3x－8）（x－8）> 0
∴.files/image524.gif)
即AN長的取值范圍是.files/image526.gif)
----------- 8分
（2）令y＝，則y′＝.files/image528.gif)
-------------- 10分
∵當.files/image530.gif)
，y′< 0，∴函數y＝在.files/image532.gif)
上為單調遞減函數，
∴當x＝3時y＝取得最大值，即.files/image534.gif)
（平方米）
此時|AN|＝.files/image536.gif)
米
---------------------- 12分
20．解：（1）由.files/image224.gif)
得.files/image538.gif)
----------------------------------------1分
由一元二次方程求根公式得.files/image540.gif)
.files/image542.gif)
---------------------------3分
∵.files/image226.gif)
∴.files/image545.gif)
---------------------------------------------4分
(2) ∵
∴.files/image547.gif)
.files/image549.gif)
＝.files/image551.gif)
------------------------------------------------------------6分
∵.files/image553.gif)
.files/image555.gif)
∴.files/image228.gif)
------------------------------------------------------------------------8分
（其它證法請參照給分）
（3）解法1：∵
∴.files/image558.gif)
.files/image560.gif)
.files/image562.gif)
＝-------------------------------------------------10分
∵.files/image564.gif)
,∴.files/image566.gif)
∴.files/image568.gif)
，∵
∴.files/image571.gif)
即.files/image573.gif)
∴數列.files/image222.gif)
有最大項，最大項為第一項.files/image575.gif)
。---------- -14分
〔解法2：由知數列各項滿足函數.files/image577.gif)
∵.files/image579.gif)
當.files/image581.gif)
時，.files/image583.gif)
∴當時.files/image586.gif)
，即函數在.files/image588.gif)
上為減函數
即有
∴數列有最大項，最大項為第一項。]
21．解：
（1）.files/image590.gif)
.files/image592.gif)
.files/image594.gif)
---------------2分
當.files/image596.gif)
時.files/image598.gif)
，函數.files/image234.gif)
有一個零點；--------------3分
當.files/image600.gif)
時，.files/image602.gif)
，函數有兩個零點。------------4分
（2）令.files/image604.gif)
，則
.files/image606.gif)
.files/image608.gif)
，
.files/image610.gif)
.files/image612.gif)
在.files/image614.gif)
內必有一個實根。即.files/image242.gif)
，使.files/image244.gif)
成立。------------8分
（3）
假設.files/image257.gif)
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且.files/image616.gif)
∴.files/image618.gif)
.files/image620.gif)
.files/image622.gif)
-------------------------10分
由②知對.files/image253.gif)
,都有.files/image255.gif)
令得.files/image625.gif)
.files/image627.gif)
.files/image629.gif)
同步練習冊答案
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