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第十六單元 排列、組合、二項式定理和概率
一.選擇題
(1) 從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則則不同的選擇方案 ( )
A．300種 B．240種 C．144種 D．96種
(2) 北京《財富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為 ( )
A．
B．
C．
D．
(3) 
的展開式中，含x的正整數次冪的項共有 ( )
A．4項 B．3項 C．2項 D．1項
(4)某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單, 開演前又增加了兩個新節目. 如果將這兩個新節目插入原節目單中, 那么不同插法的種數為 ( )
A．42
B．
(5) 設直線的方程是
，從1，2，3，4，5這五個數中每次取兩個不同的數作為A、B的值，則所得不同直線的條數是 ( )
A．20 B．19 C．18 D．16
(6)從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 ( )
A． 140種 B． 120種 C． 35種 D． 34種
(7) 四棱錐的八條棱代表8種不同的化工產品，由公共點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是危險的，沒有公共點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是安全的，現打算用編號為①、②、③、④的4個倉庫存放這8種化工產品，那么安全存放的不同方法種數為 ( )
A．96
B．
(8) 將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數為( )
A．70 B．
(9)四面體的頂點和各棱中點共10個點, 在其中取4個不共面的點, 則不同的取法共有( )
A． 150種 B． 147種 C． 144種 D． 141種
(10) 從數字１，２，３，４，５中，隨機抽取３個數字（允許重復）組成一個三位數，其各位數字之和等于９的概率為 ( )
Ａ． 
Ｂ． 
Ｃ． 
Ｄ． 
二.填空題
(11)若
, 則n的值為
.
(12) 一臺X型號自動機床在一小時內不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺這中型號的自動機床各自獨立工作,則在一小時內至多2臺機床需要工人照看的概率是 .
(13) 若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為 ..
(14) 某班共有40名學生，其中只有一對雙胞胎，若從中一次隨機抽查三位學生的作業，則這對雙胞胎的作業同時被抽中的概率是 (結果用最簡分數表示).
三.解答題
(15) 從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數，試問：
①能組成多少個沒有重復數字的七位數？
②上述七位數中三個偶數排在一起的有幾個？
③在①中的七位數中，偶數排在一起、奇數也排在一起的有幾個？
④在①中任意兩偶然都不相鄰的七位數有幾個？
(16) 從1到100的自然數中, 每次取出不同的兩個數, 使它的和大于100, 則不同的取法有多少種.
(17) 袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是
，從B中摸出一個紅球的概率為p．
(Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，共摸5次．
(i)恰好有3次摸到紅球的概率；
(ii)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率．
(Ⅱ) 若A、B兩個袋子中的球數之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是
，求p的值．
(18) 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是
和
。假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響。
（Ⅰ）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；
（Ⅱ）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；
（Ⅲ）假設兩人連續兩次未擊中目標，則停止射擊。問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？
一選擇題:
1.B
[解析]: 甲、乙兩人不去巴黎游覽，故4人中選1人去巴黎游覽有：
種情況，
去倫敦、悉尼、莫斯科游覽分別有
種情況，
則不同的選擇方案共有：4×5×4×3=120種
2.A
[解析]: 先從14名志愿者挑選12名參加接待工作，再從12人中依次挑選早、中、晚三班各4人，則開幕式當天不同的排班種數為
=
3.B
[解析]: 展開式的通項為
故含x的正整數次冪的項即6
（
）為整數的項
共有3項，即r=0或r=6或r=12
4.C
[解析]: 方法一： 分2種情況：（1）增加的兩個新節目相連，（2）增加的兩個新節目不相連；故不同插法的種數為
方法二：7個節目的 全排列為
，兩個新節目插入原節目單中, 那么不同插法的種數為
5.C
[解析]: 從1，2，3，4，5這五個數中每次取兩個不同的數作為A、B的值，取法數為
，而當
時所得直線重合，故所得不同直線為－2=18（條）
6.D
[解析]: 從反面考慮，7人任意選4人的 方法數減去全選男生的 方法數即為所求
故既有男生又有女生的不同的選法共有
7.B
[解析]: 8種化工產品分4組，
對應于四棱錐沒有公共點的8條棱分4組，
只有2種情況，
如圖，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）
或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）
那么安全存放的不同方法種數為
2
=48
8.A
[解析]: 不同分組方法的種數為
9.D
[解析]: 從10個點中任取4個點有
種取法，其中4點共面的 情況有三類。第一類，取出的 4個點位于四面體的 同一個面上，有4
種；第二類，取任一條棱上的 3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4頂點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同的 取法共有－4－6－3=141種
10.D
[解析]: 從數字１，２，３，４，５中，隨機抽取３個數字（允許重復）組成一個三位數，共有53=125個。
若各位數字之和等于９，則可取的數字組合有5種，分別為1、3、5；2、3、4；1、4、4；2、2、5；3、3、3；共有19個數，故所求概率為。
二填空題:
11. 7
[解析]: 若，則
，故n－3=4, n=7
12. 0.9728
[解析]: 考慮反面簡單些，至多2臺機床需要工人照看的概率:
13. 
[解析]: 若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為
14. 
[解析]: 某班共有40名學生，其中只有一對雙胞胎，若從中一次隨機抽查三位學生的作業，則這對雙胞胎的作業同時被抽中的概率是
三解答題
(15) 解：①分步完成：第一步在4個偶數中取3個，可有
種情況；
第二步在5個奇數中取4個，可有
種情況；
第三步3個偶數，4個奇數進行排列，可有
種情況，
所以符合題意的七位數有
個．
②上述七位數中，三個偶數排在一起的有個．
③上述七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有
個．
④上述七位數中，偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空檔，共有
個．
說明；對于有限制條件的排列問題，常可分步進行，先組合再排列，這是乘法原理的典型應用．
(16) 解: 從1,2,3,…,97,98,99,100中取出1, 有1+100>100, 取法數1個;
取出2, 有2+100>100,2+99>100, 取法數2個;
取出3, 取法數3個; …,
取出50, 有50+51>100, 50+52>100, …,50+100>100, 取法有50個.
所以取出數字1至50, 共得取法數N1=1+2+3+…+50=1275.
取出51, 有51+52>100, 51+53>100, …,51+100>100, 共49個;
取出52, 則有48個; …,
取出100, 只有1個.
所以取出數字51至100(N1中取過的不在取), 則N2=49+48+…+2+1=1225.
故總的取法有N=N1+N2=2500個.
(17) 解：(Ⅰ)（?） 
（?）
.
(Ⅱ)設袋子A中有
個球，袋子B中有
個球，
由
，得
(18) 解: （Ⅰ）記“甲連續射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A1，
由題意，射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，
故P（A1）=1- P（
）=1-
=
。
答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率為；
(Ⅱ) 記“甲射擊4次，恰好擊中目標2次”為事件A2，
“乙射擊4次，恰好擊中目標3次”為事件B2，則
，
，
由于甲、乙設計相互獨立，
故
。
答：兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率為
；
（Ⅲ）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A3，
“乙第i次射擊為擊中” 為事件Di，（i=1，2，3，4，5），則A3=D5D4
，且P（Di）=
，
由于各事件相互獨立，
故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）
=×××（1-×）
=
，
答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是。
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