上海市閔行區2008學年第二學期高三年級質量調研考試
數學試卷（文理科）
考生注意：
1．答卷前，考生務必在答題紙上將學校、班級、考號、姓名等填寫清楚．
2．本試卷共有21道題，滿分150分，考試時間120分鐘．
一. 填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，考生應在答題紙上相應編號的空格內
直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分．
1．方程
的解
.
2．（理）若直線
經過點
，且法向量為
，則直線的方程是
（結果用直線的一般式表示）.
（文）計算
.
3．（理）若函數
則
.
（文）若
，則
.
4．（理）若
是偶函數，則實數
.
（文）若直線經過點，且法向量為，則直線的方程是
（結果用直線的一般式表示）.
5．（理）在極坐標系中，兩點的極坐標分別為
、
，
為極點，則
面積為
.
（文）若
，則函數
的最大值為
.
6．（理）無窮數列
的各項和為 .
（文）若是偶函數，則實數 .
7．根據右面的框圖，該程序運行后輸出的結果為 .
8．（理）已知地球半徑為
公里，位于赤道上兩點
、
分別在東經
和
上，則、兩點的球面距離為
公里（
取3.14，結果精確到1公里）.
（文）已知一個圓柱的側面展開圖是邊長為4的正方形，則該圓柱的體積為 .
9．（理）一個袋子里裝有外形和質地一樣的5個白球、3個綠球和2個紅球，將它們充分混合后，摸得一個白球計1分，摸得一個綠球計2分，摸得一個紅球計4分，記隨機摸出一個球的得分為
，則隨機變量的數學期望
.
（文）在航天員進行的一項太空試驗中，先后要實施
道程序，則滿足程序只能出現在最后一步，且程序和程序
必須相鄰實施的概率為
.
10．（理）若關于
的方程
在
上有解，則實數
的取值范圍是 .
（文）若關于的方程
在
上有解，則實數的取值范圍是 .
11．（理）對于任意
，不等式
恒成立，則實數
的范圍為 .
（文）對于任意，不等式
恒成立，則實數的最小值為 .
12．（理）通過研究函數
在實數范圍內的零點個數，進一步研究可得
在實數范圍內的零點個數為
.
（文）通過研究方程
在實數范圍內的解的個數，進一步研究可得函數
在實數范圍內的零點個數為
.
二. 選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，選對得4分，答案代號必須填在答題紙上．注意試題題號與答題紙上相應編號一一對應，不能錯位.
13．（理）“
”是“
”的
[答]（ ）
(A) 充分非必要條件. (B) 必要非充分條件.
(C) 充要條件. (D) 既非充分也非必要條件.
（文）“”是“
”的
[答]（ ）
(A) 充分非必要條件. (B) 必要非充分條件.
(C) 充要條件. (D) 既非充分也非必要條件.
14．（理）若
，且
，則
的取值范圍是 [答]（ ）
(A) 
.
(B) 
. (C) 
. (D) 
.
（文）若，且
，則
的最大值是
[答]（ ）
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5.
15．函數
圖像上的動點
到直線
的距離為
，點到
軸的距離為
，則
[答]（ ）
(A) 5. (B)
.
(C)
.
(D) 不確定的正數.
16．（理）已知橢圓
（
為參數）上的點到它的兩個焦點
、
的距離之比
，且
，則
的最大值為[答]（ ）
(A) 
. (B) 
. (C) 
. (D) 
.
（文）橢圓
上的點到它的兩個焦點、的距離之比，且，則的最大值為 [答]（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應的區域內寫出必要的步驟．
17.（本題滿分12分）
（理）已知
的最大值為2，求實數
的值．
（文）已知
的最大值為2，求實數的值．
18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．
（理）在長方體
中，
，
，
，點
在棱
上移動.
（1）探求
等于何值時，直線
與平面
成
角；
（2）點移動為棱中點時，求點到平面
的距離．
（文）如圖幾何體是由一個棱長為2的正方體與一個側棱長為2的正四棱錐
組合而成.
（1）求該幾何體的主視圖的面積；
（2）若點是棱
的中點，求異面直線與
所成角的大小（結果用反三角函數表示）.
19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．
課本中介紹了諾貝爾獎，其發放方式為：每年一次，把獎金總金額平均分成6份，獎勵在6項（物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫學、和平）為人類作出了最有益貢獻的人.每年發放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎金數逐年遞增.資料顯示:1998年諾貝爾獎發獎后基金總額已達
萬美元，假設基金平均年利率為
.
（1）請計算：1999年諾貝爾獎發獎后基金總額為多少萬美元？當年每項獎金發放多少萬美元（結果精確到1萬美元）？
（2）設
表示為第(
)年諾貝爾獎發獎后的基金總額(1998年記為
),試求函數的表達式.并據此判斷新民網一則新聞 “2008年度諾貝爾獎各項獎金高達168萬美元”是否與計算結果相符，并說明理由.
20.（本題滿分17分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分7分．
（理）斜率為1的直線過拋物線
的焦點，且與拋物線交于兩點、.
（1）若
，求
的值；
（2）將直線按向量
平移得直線，
是上的動點，求
的最小值．
（3）設
，
為拋物線上一動點，是否存在直線，使得被以
為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.
（文）斜率為1的直線過拋物線
的焦點，且與拋物線交于兩點、．
（1）求的值；
（2）將直線按向量
平移得直線，是上的動點，求的最小值．
（3）設
，為拋物線上一動點，證明：存在一條定直線：
，使得被以為直徑的圓截得的弦長為定值，并求出直線的方程．
21.（本題滿分17分）（理）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分．第3小題根據不同思維層次表現予以不同評分．
對于數列
（1）當滿足
（常數）且
（常數），
證明：為非零常數列.
（2）當
滿足
（常數）且
（常數），
判斷是否為非零常數列，并說明理由.
（3）對（1）、（2）等式中的指數進行推廣,寫出推廣后的一個正確結論,并說明理由.
（文）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分7分．第3小題根據不同思維層次表現予以不同評分．
對于數列
（1）當滿足（常數）且（常數），
證明：為非零常數列.
（2）當滿足（常數）且（常數），
判斷是否為非零常數列，并說明理由.
（3）對（1）、（2）等式中的指數進行推廣,寫出推廣后的一個正確結論（不用說明理由）.
閔行區2008學年第二學期高三年級質量調研考試
一、填空題：（每題5分）
1. 
； 2. 理：
、文：
； 3. 理：0、文：0；
4.理：0、文：； 5.理：
；文：40； 6.理：
、文：0；
7. 
；
8.理：
、文：
； 9.理：
、文：
；
10.理：
、文：
； 11.理：
、文：0； 12.理：當
為大于3的偶數時，個零點；當為大于或等于3的奇數時，
個零點、文：個零點.
二、選擇題：（每題4分）13. ； 14. 
； 15. ； 16.
三、解答題：
17.（本題滿分12分）
(理) 解：按行列式展開可得：
(3分)
(6分)
，(9分)
從而可得：
．(12分)
(文) 解：按行列式展開可得
(3分)
(6分)
由題意得： 
(9分) 
．(12分)
18.（本題滿分14分）
（理）解：（1）法一：長方體中，因為點E在棱AB上移動，所以
平面，從而
為直線與平面所成的平面角，(3分)
中，
. (6分)
法二：以為坐標原點，射線DA、DC、DD1依次為x、y、z軸,建立空間直角坐標系，則點
，平面的法向量為
，設
，得
，(3分)由
，得
，故
(6分)
（2）以為坐標原點，射線DA、DC、DD1依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則點
，
， 
，
從而
，
，
(3分)
設平面
的法向量為
，由
令
， (5分)
所以點到平面的距離為
. (8分)
（文）解：（1）畫出其主視圖（如下圖），
可知其面積
為三角形與正方形面積之和.
在正四棱錐中，棱錐的高
， (2分)
. (6分)
（2）取
中點
，聯結
，
則
為異面直線與所成角. (2分)
在
中，
，
又在正四棱錐中，斜高為
， (4分)
由余弦定理可得 
(6分)
所以
，異面直線與所成的角為
. (8分)
19.（本題滿分14分）
解：（1）由題意知：1999年諾貝爾獎發獎后基金總額為
萬美元； (3分)
每項獎金發放額為
萬美元； (6分)
（2）由題意知：
，
，
所以， 
（）. (5分)
2007年諾貝爾獎發獎后基金總額為
2008年度諾貝爾獎各項獎金額為
萬美元，
與168萬美元相比少了34萬美元，計算結果與新聞不符. (8分)
1千萬瑞典克朗怎么換成美元成了，137，154，168萬美元？
20.（本題滿分17分）
（理）
解：（1）設
，時，直線：
代入中
可得：
（2分）
則
，由定義可得：
. （4分）
（2）直線：
，代入中，可得：
則
，
，設
，
則
即
（2分）
由
（4分）
則
當
時，的最小值為
．
（6分）
（3）假設滿足條件的直線存在，其方程為，
設的中點為
，與以為直徑的圓相交于點、
，設
的中點為
，
則
，點的坐標為
．
，
，
（2分）
，
．
（5分）
令
，得
，此時
為定值，
故滿足條件的直線存在，其方程為
，即拋物線的通徑所在的直線．
（7分）
（文）（1）設，直線：代入中
可得：
（2分）
則，由定義可得：.
（4分）
（2）由（1）可設
，
則
即
（2分）
由，
，
（4分）
則
當
時，的最小值為
．
（6分）
（3）設的中點為，與以為直徑的圓相交于點、，
設的中點為，則，點的坐標為
．
，
，
（2分）
，
．
（5分）
令
，得
，此時
為定值，
故滿足條件的直線存在，其方程為
，即拋物線的通徑所在的直線． （7分）
21.（本題滿分17分）
（理）解：（1）（法一）
當
時，
，所以
；
當
時，
是一常數，矛盾，所以為非零常數列； （4分）
（法二）設
，則有：
，
即
所以
，解得
.由此可知數列為非零常數列； （4分）
（2）記
，由（1）證明的結論知： 
為非零常數列.
（2分）
顯然，為非零常數列時，不一定為非零常數列,如:非常數數列
（為大于
的正常數）和常數列
為非零常數）均滿足題意要求. （5分）
（3）根據不同思維層次表現予以不同評分．
僅推廣到3次方或4次方的結論或者是特殊次方的結論 （結論1分，解答1分）
滿足
（常數）且
（常數），則當為奇數時，必為非零常數列；當為偶數時，不一定為非零常數列.
事實上，記
，由（1）證明的結論知：
為非零常數列，即
為非零常數列.所以當為奇數時，為非零常數列；當為偶數時，不一定為非零常數列.
（結論2分，解答2分）
或者：設
，即
，則
,即
對一切
均為常數，則必有
，即有
，當為奇數時，
，當為偶數時，
或者
.
滿足（常數）且
（常數），且
為整數，
當均為奇數時，必為非零常數列；否則不一定為常數列.
事實上，條件（正常數）可以轉化為
（常數），整個問題轉化為，結論顯然成立.
（結論3分，解答3分）
或者：設,即，當為奇數時，有
,則
，即
對一切均為常數，則必有，即有，則，當為偶數時，如反例：
,它既滿足次方后是等差數列，又是（不管為奇數還是偶數）次方后成等比數列，但它不為常數列.
滿足（常數）且（常數）,為有理數，
, 則必為非零常數列；否則不一定為常數列.
證明過程同
（結論4分，解答3分）
滿足（常數）且（常數），且為實數，,
是不等于1的正數數列，則必為非零且不等于1的常數列；否則不一定為常數列.
事實上，當，為實數時，條件同樣可以轉化為,記，由第（1）題的結論知：
必為不等于1的正常數數列，也即為不等于1的正常數數列，
，從而也是不等于1的正常數數列.
（結論5分，解答3分）
（文）解：（1）（法一） （2分）
當時，，所以；
當時，是一常數，矛盾，所以為非零常數列； （5分）
（法二）設，則有：，
即
（2分）
所以，解得.由此可知數列為非零常數列； （5分）
（2）記，由（1）證明的結論知： 為非零常數列.
（2分）
顯然，為非零常數列時，不一定為非零常數列,如:非常數數列（為大于的正常數）和常數列為非零常數）均滿足題意要求. （5分）
（3）根據不同思維層次表現予以不同評分．
僅推廣到3次方或4次方的結論或者是特殊次方的結論
（結論1分）
滿足（常數）且（常數），則當為奇數時，必為非零常數列；當為偶數時，不一定為非零常數列.
事實上，記，由（1）證明的結論知：為非零常數列，即為非零常數列.所以當為奇數時，為非零常數列；當為偶數時，不一定為非零常數列.
（結論3分）
或者：設，即，則,即對一切均為常數，則必有，即有，當為奇數時，，當為偶數時，或者.
滿足（常數）且（常數），且為整數，
當均為奇數時，必為非零常數列；否則不一定為常數列.
事實上，條件（正常數）可以轉化為（常數），整個問題轉化為，結論顯然成立.
（結論5分）
或者：設,即，當為奇數時，有,則，即對一切均為常數，則必有，即有，則，當為偶數時，如反例：,它既滿足次方后是等差數列，又是（不管為奇數還是偶數）次方后成等比數列，但它不為常數列.
滿足（常數）且（常數）,
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