江蘇省揚州中學2009屆高三5月模擬考試
數學試卷
2009、5
一、填空題：
1．不等式
的解集是________.
2. 已知：
為第四象限角，且
，則
=________.
3. 已知：A=
，B=
，則A∩B=_________.
4. 直線
在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數
的值是_____.
5. 在等比數列
中，
，
，則
________.
6. 對于函數
圖象上任意兩點
,
，直線段AB必在曲線段AB的上方，則由圖象的特征可得不等式
.請分析
的圖象特征，類比上述不等式可以得到 .
7. 若AD為△ABC的角平分線，滿足AD=AB=2，
，則CD=_________.
8. 已知平面上不同的四點A、B、C、D，若
，
則△ABC是_________三角形.
9. 某醫療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把
名使用血清的人與另外名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設
：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用
列聯表計算得
，經查對臨界值表知
．
對此，四名同學做出了以下的判斷：
p：有
的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”
q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有的可能性得感冒
r：這種血清預防感冒的有效率為
s：這種血清預防感冒的有效率為
則下列結論中，正確結論的序號是 ．（把你認為正確的命題序號都填上）
（1） p∧?q ； （2）?p∧q ；
(3)（?p∧?q）∧（r∨s）； （4）(p∨?r)∧(?q∨s)
10. 橢圓
的左右焦點分別為F1 ?F2，在橢圓上存在點P，滿足
。則此橢圓的離心率e的取值范圍是
．
11. 設
，把
的圖象向右單位平移m（m>0）個單位后，圖象恰好為函數
的圖象，則m的最小值為________.
12. 已知函數
存在最小值，則實數
的取值范圍是
．
13. 設x，y均為正實數，且
，則xy的最小值為________.
14. 已知
可以表示成一個奇函數
與一個偶函數
之和，若關于
的不等式
對于
恒成立，則實數的最小值是
．
二、解答題：
15. A袋中有1張10元和1張5元的錢幣，B袋中有2張10元和1張5元的錢幣，從A袋中任取一張錢幣與B袋任取一張錢幣互換，這樣的互換進行了一次后：
求（1）A袋中10元錢幣恰是一張的概率；
（2）A袋中10元錢幣至少是一張的概率.
16. 已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是
、邊長為 的菱形，又
，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN//平面PMB；
（2）證明：平面PMB
平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．
17. 已知
的面積為
，且滿足
，設
和
的夾角為
．
(1)求的取值范圍；
(2)求函數
的最大值與最小值．
18. 已知直線l1：x＋my－m－2＝0與x軸交于點A，直線l2：mx－y
(1)求證：A，M，B，O四點共圓，并寫出圓的方程；
(2)當AB與OM垂直于點P時，求證：點P與四邊形AMBO其中一邊中點的連線與對邊垂直.
19. 設n為給定的正整數，記An={x|2n<x<2n+1,且x=
（1）當n為奇數時，求An中的最大數和最小數；
（2）求An中所有元素之和.
20. 已知二次函數的二次項系數為，且不等式
的解集為
.
（1）若函數
在區間
內單調遞減，求的取值范圍；
（2）當
時，證明方程
僅有一個實數根.
（3）當x∈［0,1］時，試討論|
|≤3成立的充要條件.
命題、校對：唐一良、張福儉
江蘇省揚州中學2009屆高三5月模擬考試
附加題
選修4-1――4-4（其中1、2、3、4題任選2題解答；5、6為必做題）
1.如圖,AB為半圓直徑,D為AB上一點,分別在半圓上取點E、F,使EA＝DA,FB＝DB.過D作AB的垂線,交半圓于C.求證：CD平分EF.
2．自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等等.因此，它們和周邊環境是一種既相生又相克的生存關系.但是，如果沒有任何限制，種群也會泛濫成災.現假設兩個互相影響的種群X，Y隨時間段變化的數量分別為{an}，{bn}，并有關系式，其中a1＝1，b1＝1，試分析20個時段后這兩個種群的數量變化趨勢.
3．過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F任作一弦AB=4p，建立適當的極坐標系，求OA的極角.(O為極點)
4．已知
為正整數，用數學歸納法證明：當
時，
；
5．拋一枚均勻的骰子（骰子的六面分別有數字1、2、3、4、5、6）來構造數列
（1）求
的概率； （2）若
的概率.
6. 2條直線將一個平面最多分成4部分，3條直線將一個平面最多分成7部分，4條直線將一個平面最多分成11部分，
；4＝
，7＝
，11＝
；.
(1)
條直線將一個平面最多分成多少個部分(
)?證明你的結論；
(2)個平面最多將空間分割成多少個部分(
)?證明你的結論.
命題、校對：唐一良、張福儉
江蘇省揚州中學2009屆高三5月模擬考試
1．
2．
3．{(1，-1)}
4．12 5． 
6．
7．
8．直角
9．解析：（1）（4）．本題考查了獨立性檢驗的基本思想及常用邏輯用語．由題意，得
，
，所以，只有第一位同學的判斷正確，即：有
的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”．由真值表知（1）（4）為真命題．
10．提示：設四棱錐的兩組不相鄰的側面的交線分別為 m、n, 直線 m、n 確定了一個平面 β．作與 β 平行的平面 α, 與四棱錐的各個側面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形．而這樣的平面 α 有無數多個．
11．
12．y=-x ±
13．解：由
可化為xy =8+x+y
x，y均為正實數，
xy =8+x+y
（當且僅當x=y等號成立）
即xy-2
-8
可解得
，即xy
16故xy的最小值為16.
14．
15．解：（1）A中2張錢幣取1張，有2種情況，
B中3張錢幣取1張，有3種情況，
∴互換一次有2´3 = 6種情況，
其中10元幣恰是一張的情況有3種，
∴A袋中10元錢幣恰是一張的概率為P1 =
.答略
（2）A袋中恰有一張10元幣的概率為P1 = ；
A袋中恰有兩張10元幣的概率為P2 = 
；
∴ A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = P1 + P2
= +
= 
.
另解：. A袋中恰有0張10元幣的概率為P0
= 
，
∴A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = 1 ? P0 = .答略.
16．解：
（1）證明：取PB中點Q，連結MQ、NQ，因為M、N分別是棱AD、PC中點，所以
QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.
.
（2）
又因為底面ABCD是
、邊長為
的菱形，且M為AD中點，
所以
.
又
所以
.
（3）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離.
過點D作
于H，由（2）平面PMB
平面PAD，所以
.
故DH是點D到平面PMB的距離.
所以點A到平面PMB的距離為
.
17．解：(1)設
中角
的對邊分別為
，則由
，
可得
，所以
(2)
因為，
，所以
即當
時，
；當
時，
18．解：（1）直線l1: x＋my－m－2＝0與l2: mx－yOB，所以A，M，B，O四點共圓，且AB即圓的直徑，又A（m+2，0），B （0，1
整理得：
（2）當AB與OM垂直于點P時，由垂徑定理得點P為OM中點（1，
），不妨取OA中點Q（
，0），又m
，否則AM垂直x軸，四邊形AMBO為矩形，AB與OM不垂直，所以
，
，
，
得證.
19．解：（1）當n為奇數時，有2n+1=（2+1）（2n-1-2n-2+…-2+1）=3（2n-1-2n-2+…-2+1）
所以2n+1是最小的數；又2n+1-1=（2n+1+2）-3=2（2n+1）-3，所以2n+1-1是最大的數.
（2）由（1）知當n為奇數時，An中的各個元素組成以2n+1為首項，3為公差的等差數列，設項數為m，則2n+1-1=2n+1+3(m-1)，所以m=
，所以當n是奇數時，An中的所有元素之和為
；
當n為偶數時，n-1時奇數，由（1）可知2n-1+1是3的倍數，因此2n+2=2（2n-1+1）是3的倍數；同理，2n+1-2=2（2n-1）是3的倍數.所以當n為偶數時，An中的各個元素組成以2n+2為首項，3為公差的等差數列，設項數為m，則2n+1-2=2n+2+3(m-1)，所以m=
，所以當n是偶數時，An中的所有元素之和為
.
20．解：（1）
，∴可設
，
因而
①
=
，
∵
在區間
內單調遞減，
∴
在上的函數值非正，
由于
，對稱軸
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）.
故所求的取值范圍是
.
（2）
時，方程
僅有一個實數根，即證方程
僅有一個實數根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上遞增，在
上遞減，的極大值
，故函數的圖像與
軸僅有一個交點，∴時，方程僅有一個實數根，得證.
（3）設 
= x2+x+1,
=1，對稱軸為
，.
由題意,得
或
解出
，故使|
|≤3成立的充要條件是
附加題：
1．證明：如圖,分別過點E、F作AB的垂線,G、H為垂足,連FA、EB.易知
DB2＝FB2＝AB?HB,
AD2＝AE2＝AG?AB.
二式相減,得
DB2－AD2＝AB?(HB－AG),
或 (DB－AD)?AB＝AB?(HB－AG).
于是,DB－AD＝HB－AG,
或 DB－HB＝AD－AG.
就是DH＝GD.
顯然,EG∥CD∥FH.
故CD平分EF.2.
2．解：由上題可知
1 =
,2
=
是矩陣M=
分別對應特征值
1=1，2=4的兩個特征向量，而1與2不共線.又==3+（－2）
∴M20=
M20(32+（－2）1)=2+(－2) M201
=32202+（－2）×1201=3×420×+(-2)×120×
=
≈
答：20個時段后這兩個種群的數量都趨向于3×420.
3．證明：以F為極點，極軸與x軸正向重合建立極坐標系．
設拋物線方程
，A（ρ1，θ），B（ρ2，θ＋π），
則AB＝ρ1＋ρ2＝ = 4p，sin2θ=，θ=
4．（Ⅰ）證明：（?）當
時，原不等式成立；當
時，左邊
，右邊
，因為
，所以左邊
右邊，原不等式成立；
（?）假設當
時，不等式成立，即
，則當
時，
，
，于是在不等式兩邊同乘以
得
，
所以
．即當時，不等式也成立．
綜合（?）（?）知，對一切正整數
，不等式都成立．
5．（1）設事件
為A,則在7次拋骰子中出現5次奇數，2次偶數
而拋骰子出現的奇數和偶數的概率為p是相等的，且為
根據獨立重復試驗概率公式：
（2）若
即前2次拋骰子中都是奇數或都是偶數.
若前2次都是奇數，則必須在后5次中拋出3次奇數2次偶數，
其概率：
若前2次都是偶數，則必須在后5次中拋出5次奇數，其概率：
所求事件的概率
6．以下解答僅供參考，按學生實際解答給分.
解：(1)
條直線將一個平面最多分成
個部分(
),與（2）合并證明；
(2)個平面最多將空間分割成
個部分(
).
證明：設個
維空間可將
維空間最多分成
個部分，則只需證明
，這里∈
同步練習冊答案
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com