甘肅省皋蘭一中2009屆高三5月份模擬考試（數學）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）
1．
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果復數
，則
的展開式（按
的升冪排列）的第5項是( )
A ．35 B．
C．
D．
3.已知
為偶函數，且
，當
時，
，若
則
（ ）
A．
B．
C． D．
4．已知
，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數
的周期為
B．函數
的最小值為
C．將
的圖象向左平移
單位后得
的圖象
D．將的圖象向右平移單位后得的圖象
5．（理科）設斜率為的直線
與橢圓
交于不同的兩點。且這兩點在
軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C．
D．
（文科）若拋物線
的焦點與雙曲線
的右焦點重合，則
的值（ ）
A．4 B．
C．2 D．
6.在樣本的頻率分布直方圖中，共有
個小長方形，若其中一個小長方形的面積等于其他
個小長方形面積和的四分之一，樣本容量為
，則該小長方形這一組的頻數為( )
A．32 B．
7．
已知函數
在
上單調遞減，那么實數
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如右圖所示的幾何體ABCDEF中，ABCD是平行四邊形且AE∥CF，
六個頂點任意兩點連線能組成異面直線的對數是( )
A．36 B．28 C．39 D．20
9. 設實數滿足
，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（理科）在平面直角坐標系中，已知點
，如果動點P滿足
，
那么
的最大值是（ ）
A．
B．1 C． D．
（文科）已知
為坐標原點，點
在
內，且
，設
,則
（ ）
A． B．
C． D．
11.若
條件滿足
則
的最小值為（ ）
A．
B． C．
D．
12. 已知
在區間
上是減函數，那么
（ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）
13．不等式(x－1)|x2－2x－3|≥0的解集為_________．
14．霓紅燈的一個部位由七個小燈泡組成，如圖：○○○○○○○，每個燈泡均可亮出紅色或黃色，現設計每次變換只閃亮其中三個燈泡，且相鄰兩個不同時亮，則一共可呈現____________種不同的變換形式．(用數字作答)
15．（理科）已知
的三個頂點在同一球面上，
若球心
到平面
的距離為1，則該球的半徑
（文科）設函數
=
.
16．已知
且關于的函數
在
上有極值，則
的夾角范圍為
答題卡
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
題號
13
14
15
16
答案
三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分10分）
已知為坐標原點，
。
⑴求的單調遞增區間；
⑵若的定義域為
，值域為
，求
的值。
18.（本小題滿分12分）
從北京到西安的某三列火車正點到達的概率分別為
。求：
⑴這三列火車恰有兩列正點到達的概率；
⑵（文科）這三列火車至少有兩列誤點到達的概率。
（理科）這三列火車正點到達列數
的數學期望。
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面底面ABCD，O是BC中點，AO交BD于E。
（1）求證：；（2）求二面角的大小；
（3）求證：平面平面PAB。
20.(本題滿分12分)
設
是正數組成的數列，其前
項和為
，并且對于所有的正整數，
與
的等差中項等于與的等比中項。
(1) 求數列的通向公式；
(2)（文科）令
，求數列
的前項和。
（理科）令，求
。
21. （本小題滿分12分）
如圖，已知雙曲線C：
的右準線
與一條漸近線
交于點M，F是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點。
（I）求證：
；
（II）若
且雙曲線C的離心率
，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線
過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足
，試判斷
的范圍，并用代數方法給出證明。
22. （本小題滿分12分）
(理科)已知函數
為實常數。
⑴若在
上是單調函數，求的取值范圍；
⑵當
時，求的最小值；
⑶設各項均為正數的無窮數列
滿足
,證明：
。
（文科）已知函數
⑴若圖像上的點
處切線的斜率為，，求的極大值；
⑵若在區間
上是單調減函數，求
的最小值。
A；A；C；D；A；A； C；C；B；C（文）D（理）；C；A
13、
或
； 14、80； 15、（理）
（文）-2； 16、
；
17、解：⑴
………………………………………3分
時，由
得函數的遞增區間為
時，由
得函數的遞增區間為
…………………………………………………………………………………………………………………5分
⑵
…………………………………………………………7分
時，
得：
（舍）
時，
得
綜上，
………………………………………………………………………………10分
18、解：用
分別表示三列火車正點到達的事件，則
⑴恰有兩列火車正點到達的概率記為
,則
……………………………………………6分
⑵(文科)用
表示誤點的列數，則至少兩列誤點可表示為：
……………………………………………………………………………………12分
（理科）三列火車正點的列數分別為
。則
……………………………………………………………10分
…………………………12分
19．解：方法一：（I）證明：，
又
平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得
，即
在平面ABCD內的射影為AO， ……4分
（II）解：，且平面平面ABCD
平面PBC， 平面PBC，
為二面角P―DC―B的平面角 ……6分
是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為 …8分
（III）證明：取PB的中點N，連結CN，
①
，且平面平面ABCD，平面PBC ……10分
平面PAB 平面平面PAB ②
由①、②知平面PAB…………..10分
連結DM、MN，則由MN//AB//CD，
，
得四邊形MNCD為平行四邊形，，平面PAB．
平面PAD 平面平面PAB ……………….12分
方法二：取BC的中點O，因為是等邊三角形，
由側面底面ABCD 得底面ABCD ……1分
以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O―xyz……2分
（I）證明：，則在直角梯形中，
在等邊三角形PBC中，……3分
，即…4分
（II）解：取PC中點N，則
平面PDC，顯然，且平面ABCD
所夾角等于所求二面角的平面角 ……6分
，二面角的大小為 ……8分
（III）證明：取PA的中點M，連結DM，則M的坐標為
又
……10分
，
即
平面PAB，平面平面PAB ……12分
20．解：Ⅰ由已知得：
…………………………………………………………2分
當
解得：
……………………………………………………3分
當
時，
，帶入上式得：
配方得：
所以
……………………………………………………………5分
所以
………………………………………………7分
Ⅱ（文科）
……………………………………………………………………………………10分
…………………………………12分
（理科）
………………………………………………………………………………9分
……………………11分
…………………………………………………………12分
21．解：（I）右準線
，漸近線
，
……4分
（II）
雙曲線C的方程為：
……8分
（III）由題意可得
……9分
證明：設
，點
由
得
與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q
，得
的取值范圍是（0，1） ……12分
22．解：⑴
；
當
時，
；
令
，該二次函數的對稱軸為
當時，設，
，則
；
當時，要使
在
上是單調函數，只能為上的減函數
故函數在上滿足：
或
，解得
。綜上
………4分
⑵當時，
；
當
；當
所以
…………………………………………………4分
⑶反證法：不妨設
，由⑵知
所以
所以
所以
；
因為
時，
這與上面的結論矛盾，故
同理
……………………………………………12分
(文)解：⑴
則
，所以
……………………………3分
；由此可知
當
時，函數
單調遞增
當
時，函數單調遞減，
當時，函數取極大值
………………………………………………………………6分
⑵
在區間
上是單調減函數，
所以
在區間上恒成立，由二次函數的圖像可知：
；令
…………………………………………………9分
當直線經過交點
時，取得最小值
…………………………………12分
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