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應(yīng)用性問(wèn)題的解法

1.內(nèi)容概要：

高考對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)踐能力的考查要求是：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能閱讀、理解對(duì)問(wèn)題進(jìn)行陳述的材料；能夠?qū)λ�提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類(lèi)，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表述、說(shuō)明。

解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力的高層次表現(xiàn)，反映出考生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。從2000年新課程的試卷，突出新增加的向量，概率，導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的應(yīng)用性。但是應(yīng)用題的范圍是很廣泛的，除以概率為模型之外，建立函數(shù)，數(shù)列，三角，曲線(xiàn)等模型解決實(shí)際問(wèn)題也應(yīng)該成為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。要想掌握好高考試題中應(yīng)用問(wèn)題的求解,重點(diǎn)在于提高整理分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù),抽象概括出數(shù)學(xué)模型的能力和數(shù)學(xué)中的綜合推理演算的能力.

2.典例精析：

類(lèi)型一：函數(shù)應(yīng)用題

例1：（2008年湖北卷理科）

水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于的近似函數(shù)關(guān)系式為

（Ⅰ）該水庫(kù)的蓄求量小于50的時(shí)期稱(chēng)為枯水期.以表示第1月份（）,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期?   全 品高考網(wǎng)

（Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取計(jì)算）.

分析：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力.

解析：（Ⅰ）①當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得,

解得，或，又，故.

②當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得,

解得，又,故.

綜合得,或；

故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個(gè)月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

當(dāng)t變化時(shí)，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

-

V(t)

極大值

由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e²+50-108.52(億立方米).

故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米

類(lèi)型二：數(shù)列應(yīng)用題

例2：（2007年安徽卷理科）

某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a₁（1＋r）^a－1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a₂（1＋r）^a－2，……，以T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.

（Ⅰ）寫(xiě)出T_n與T_n－1（n≥2）的遞推關(guān)系式；

（Ⅱ）求證：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一個(gè)等比數(shù)列，｛B_n｝是一個(gè)等差數(shù)列.

分析：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力、考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

解析：（Ⅰ）我們有．

（Ⅱ），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得

  ，                       ①

在①式兩端同乘，得

               ②

②①，得

                     ．

即．

如果記，，

則．

其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

類(lèi)型三：其他類(lèi)型的應(yīng)用題

例3：（2008年湖南卷理科）

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀(guān)測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線(xiàn)行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;

（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷

它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

解:  （I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.

（II）解法一   如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,

BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線(xiàn)l的斜率k=,直線(xiàn)l的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E（0，-55）到直線(xiàn)l的距離d=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二:  如圖所示，設(shè)直線(xiàn)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.

過(guò)點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線(xiàn)BC的距離.

在Rt中，PE=QE?sin

=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

3、知識(shí)整合

1．求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：

（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出主要關(guān)系；

（2）、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題；

（3）、求解：化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；

（4）、評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證.

2．在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類(lèi)型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.

Ⅰ．函數(shù)模型  函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著的最優(yōu)化問(wèn)題，常常可歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法去解決.

    ⑴ 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型；

⑵ 運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識(shí)處理所得的函數(shù)模型.

Ⅱ．?dāng)?shù)列模型  在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，諸如增長(zhǎng)率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問(wèn)題，即通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)列模型來(lái)解決.在解應(yīng)用題時(shí)，是否是數(shù)列問(wèn)題一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律    

Ⅲ．幾何模型  諸如航行、建橋、測(cè)量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問(wèn)題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求解.

4、跟蹤練習(xí)

1.因液化氣燃燒后不產(chǎn)生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對(duì)大氣無(wú)污染，或者說(shuō)非常小.為減少汽車(chē)尾氣對(duì)城市空氣的污染，促進(jìn)城市的健康發(fā)展，某市決定對(duì)出租車(chē)進(jìn)行使用液化氣替代汽油的工作.請(qǐng)根據(jù)以下條件：①當(dāng)前汽油價(jià)格為2.8元/升，一升汽油大約能跑12千米；②當(dāng)前液化氣價(jià)格為3元/千克，一千克液化氣平均可跑15~16千米；③一輛出租車(chē)平均日行程200千米。

       （Ⅰ）說(shuō)明使用液化氣比使用汽油更經(jīng)濟(jì)（即省錢(qián)）;  

       （Ⅱ）假設(shè)出租車(chē)改裝液化氣設(shè)備需5000元，請(qǐng)問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間省出的錢(qián)可以等于引進(jìn)設(shè)備的錢(qián)。

2. 通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散，設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t（分鐘）的變化規(guī)律（f(t)越大，表明學(xué)生注意力越集中），經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析得知：

   （1）講課開(kāi)始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？

   （2）講課開(kāi)始后5分鐘與講課開(kāi)始后25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？

   （3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？

3. 某公司全年的利潤(rùn)為元,其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給位職工,獎(jiǎng)金分配方案如下:首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小,由1到排序,第一位職工得獎(jiǎng)金元,然后再將余額除以,發(fā)給第二位職工,按此方案將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工,并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

(1) 設(shè)為第位職工所得獎(jiǎng)金額,試求并用.(不必證明)

(2) 證明,并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義;,

4. 關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案：

方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運(yùn)營(yíng)。據(jù)測(cè)算，每年可收入760萬(wàn)元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開(kāi)始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬(wàn)元，以后逐年遞增20萬(wàn)元。

方案乙：從明年起開(kāi)始投資6000萬(wàn)元進(jìn)行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力。港口改造需用時(shí)4年，在此期間邊改造邊運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，開(kāi)始改造后港口第一年的收入為320萬(wàn)元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增長(zhǎng)50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上。

（1）      從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)多少年，方案乙能收回投資（累計(jì)總收益為正數(shù)）？

（2）      從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)多少年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲？

（收益＝收入－投資）

5. 學(xué)校決定對(duì)教學(xué)樓部分房間配制現(xiàn)代化的電了教學(xué)設(shè)備，并對(duì)其兩種電子裝置配一個(gè)外殼，現(xiàn)有A種電子裝置45臺(tái)，B種電子裝置55臺(tái)，需用用到兩種規(guī)格的薄金屬板：甲種薄金屬板每張面積2m²，可做A、B的外殼分別為3個(gè)和5個(gè)，乙種薄金屬板每張面積3m²，可做A、B的外殼分別為6個(gè)，求兩種薄金屬板各用多少?gòu)垼�才能使用料總的面積最小．

6. 艦A在艦B正東6公里處,艦C在艦B北偏西30°的4公里處.某時(shí)刻某海洋動(dòng)物在P處發(fā)出信號(hào),信號(hào)傳播速度為1公里/秒. A艦接到信號(hào)4秒后, B, C艦同時(shí)接到信號(hào).問(wèn)從A艦觀(guān)察P點(diǎn)的方位角是多少?(方位角:從指北方向按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角)P與A艦的距離是多少?

【練習(xí)題參考解答】

1. (Ⅰ）設(shè)出租車(chē)行駛時(shí)間為天，所耗費(fèi)的汽油費(fèi)為W元，耗費(fèi)的液化氣費(fèi)為W′元，

則由題意可知

即所以使用液化氣比使用汽油省錢(qián)。

（Ⅱ）①設(shè)  解得

 ②設(shè)   解得

    所以，若改裝液化氣，則一年半到兩年左右的時(shí)間省出的錢(qián)可以等于引進(jìn)設(shè)備的錢(qián).

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是減函數(shù),在時(shí)是增函數(shù),所以有最小值.

2. 解：（1）當(dāng)，是增函數(shù)，且；，是減函數(shù)，且.所以，講課開(kāi)始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘.

（2），故講課開(kāi)始25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開(kāi)始后5分鐘更集中.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，

  （3）令，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間28.57－4=24.57＞24，所以，經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題.

3. (Ⅰ) 解法1.

,   ,

.

由此而得, .

解法2. ,

  于是,  ,    ,

兩式相減,   ,

從而         ,

(Ⅱ)  

所以 .此不等式表明工作業(yè)績(jī)?cè)胶?分配越高,體現(xiàn)了按勞分配,按優(yōu)分配的原則.

4. 解：（1）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)。

在方案乙中，前4年的總收入為

    =2600<6000,                      

故n必定不小于5，則由

    2600+320´1.5⁴(n-4)>6000，                    

解得 n>6,故n的最小值為7，

答: 從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)7年，方案乙能收回投資。 

（2）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y₁,y₂萬(wàn)元，則

y₁=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n²+720n,  

當(dāng)n≤4時(shí)，則y₁>0,y₂<0,可得y₁>y₂.         

當(dāng)n³5時(shí)，y₂=2600+320´1.5⁴(n-4)-6000=1620n-9880，

令y₁<y₂,可得1620n-9880>-10n²+720n,

即   n(n+90)>998,  

由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值為10.

答：從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)10年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲。

5. 解：設(shè)用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，則可做A種產(chǎn)品外殼3x＋6y個(gè)，B種產(chǎn)品外殼5x＋6y個(gè)，由題意可得

所有的薄金屬板的總面積是 z＝2x＋3y．

可行性區(qū)域如圖所示的陰影部分，其中l₁：3x＋6y＝45；　l₂：5x＋6y＝55，l₁與l₂的交點(diǎn)為A(5，5)，因目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y在可行域上的最小值在區(qū)域邊界的A(5，5)處取得，此時(shí)z的最小值為2?5＋3?5＝25．即甲、乙兩種板各5張，能保證制造A、B的兩種外殼的用量，同時(shí)又能使用料總面積最小．

6.解：以A,B所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖).

  A為(3,0), B為(－3,0), C為(－5,2),

  由題意知|PB|－|PA|=4,且|PB|=|PC|,

  ∴點(diǎn)P為以A, B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線(xiàn)靠近A點(diǎn)的一支與線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn).

雙曲線(xiàn)的a=2,c=3,∴b²=5,方程為 =1(x≥2),

BC的中點(diǎn)D(－4,),斜率為k=－,

∴BC的垂直平分線(xiàn)方程為x－y+7=0.

將y²=(x+7)²代入=1得

11x²－56x－256=0,

由x≥2,解得x=8,y=5.

交點(diǎn)P為(8,5).∴∠x(chóng)AP=60°,|PA|=10,

∴從A艦觀(guān)察P點(diǎn)的方位角是30°, P與A艦的距離是10公里.