2009屆北京先知文化中心模擬卷
數學試題（三）
（試卷總分150分 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）
1．設全集
，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（理）復數
的實部與虛部的和為（ ）
A．1 B．
C．
D．
2.解：
，故選B。
（文）若向量
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.不等式組
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
４．若定義在R上的函數
滿足
，且
，則可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知數列
，滿足
，則以點
、
為直徑端點的圓方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
的展開式中
的系數為
，
的展開式中
的系數為
，則（ ）
A．
為定值
B．
為定值
C．
為定值
D．
為定值
7．（理）設
，則它的值屬于兩個連續整數之間的區間是（ ）
A．
B．
C．
D．
（文）
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
8．建陵中學高一A班有學生40名，其中男生24人，B班有學生50名，其中女生30人，現從A、B兩班各找一名學生進行問卷調查，則找出的學生是一男一女的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
、
是兩條不重合的直線，
、
是兩個不重合的平面，給出下列命題：
①若
，
，則
； ②若
，，則；
③若
，
，
，則
； ④若，
，，則.
其中正確的結論的個數為（ ）個
A．1 B．2
C． 3
D．4
10．（理）設
，O為坐標原點，若A、
B、C三點共線，則
的最小值是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（文）設，O為坐標原點，且A、B、
C三點共線，若
∶
=1∶2，則，的值分別是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（理）設
是曲線
：
的焦點，
是曲線
：
與的一個交點，則
的值為（ ）
A．等于零
B． 大于零
C．小于零 D．以上三種情況都有可能
（文）設是曲線：的焦點，是曲線：與的一個交點，則
的面積為（ ）
A．1
B．3
C．5
D．以上三種情況都有可能
12．（理）
，則
…
＝（ ）．
A．
B． 
C．
D．
12．（文）在三角形ABC中，三個內角分別為A，B，C，則
=
是三角形ABC為等腰直角三形的（ ）條件。
A．充分且必要
B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分， 請把正確的答案填寫在各小題的橫線上。)
13． （理）
。
（文）
。
14．設
是偶函數，則的值為 。
15．已知函數
，
，則函數
在區間
上的最小值為 。
16．（理）已知數列對于任意的
，滿足
，
則當
時，數列的通項
，且
…
。
（文）已知數列對于任意的，滿足且
，
那么
。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．
17．（本小題滿分10分）
在△
中，角
所對的邊分別為
，
．
(I)．試判斷△的形狀；
(II)．若△的周長為16，求面積的最大值．
18（本小題滿分12分）．
中央電視臺《同一首歌》大型演唱會即將于近日在西部某市舉行，甲、乙兩人參加大會青年志愿者的選拔．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題。規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才能入選．
（Ⅰ）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．
（Ⅱ）（理）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；
（文）問：甲、乙兩人誰入選的概率大？
19．（本小題滿分12分）
如圖所示，在棱長為
的正方體
中，
、
分別為
、
的中點．
（1）求證：
//平面
；
（2）求證：
；
（3）求二面角
的正切值。
（4）（理）求三棱錐
的體積．
（文）求三棱錐
的體積．
20. （本小題滿分12分）
在等差數列
中，公差d≠0，
，
，
，
成等比數列．
(I)求數列的通項公式；
(II)（文）若數列
滿足
，其前n項和為
，求證：<1
（理）若數列
滿足
，設
為數列的前項和，
試用數學歸納法證明：
。
21（本小題滿分12分）
函數的定義域為D：
，對任意
有，有
。
（1）求
的值；（2）判斷的奇偶性并證明。
（3）（理）如果
，且在上是增函數，求的取值范圍。
22．（本題滿分12分）
（理）在直角坐標平面中，△
的兩個頂點AB的坐標分別為
兩動點
向量
（Ⅰ）求△的頂點C的軌跡；
（Ⅱ）若過點
的直線與點C的軌跡相交于E、F兩點，求
?
的取值范圍；
（Ⅲ）若
軌跡在第一象限內的任意一點，則是否存在常數λ（λ>0），使得
∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.
（文） 已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=
x2的焦點，離心率等于
。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若
=λ1
，
=λ2
，求證λ1+λ2為定值.
參 考 答 案
1.解：∵ 
或
，∴
。故選B。
2.解：
，故選B。
3.解：
，故選B。
4.解：∵，∴排除A、B，又∵，∴選D
5.解：
，，從而
，
，因此圓的方程為：
，即，故選A。
6.解：∵
，
，∴
，故選A。
7．（理）解：
，
，
∴
，故選B。
（文）解：
，故選A。
8.解：找出的學生是一男一女的概率為
，故選B。
9.解：①④正確，②③不正確，故選B。
10.解：（理）
，
。
又∵A、B、C三點共線，∴
∥
，從而
，即
，
，故選B。
（文），。
又∵A、B、C三點共線，∴∥，從而，即，
∵∶=1∶2，∴
，因而得
，故選A。
11．解（理）設
，
，從而，
，所以
，從而
，故選A。
（文）設
為雙曲線的左右焦點，則
，
，
，
又由
解得，
，所以
，故選A。
12. 解：（理）
．
∴…＝
…
．故選A。
（文）由=,只能得知三角形ABC為等腰角三形，但不能判定三角形ABC為直角三角形，所以充分性不具備。
若三角形ABC為等腰直角三形，也不一定必有=，如可以是=∠Ｃ，角B為直角，所以必要性也不具備。故選擇D。
13.解：
。
（文）
。
14.解：∵是偶函數，且定義域為
，
∴
，對于恒成立，
從而
，
，
，對于恒成立，∴
。
15.解：∵
，又∵
，
∴
，當且僅當
時，等號成立，
故
。
16.解（理）∵當
時，
，∴數列為等差數列，且公差
，
從而
，又，∴
，故當時，數列的通項；
…
。
（文）∵當時，，∴數列為等差數列，且公差，
從而，又，∴，
。
17.解：(Ⅰ)． 
，
∴
，∵
，∴
，即
，
所以此三角形為直角三角形. ……5分
(Ⅱ)．
當且僅當
時取等號，此時面積的最大值為
．
………………10分
18.解：（Ⅰ）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則
P(A)=
=
， P(B)=
．
因為事件A、B相互獨立，
∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為 
，
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 
．
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為
．
……6分
（Ⅱ）（理）依題意，甲答對試題數ξ的可能取值為0、1、2、3，則
， 
，
， 
，
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答對試題數ξ的數學期望
Eξ=
．
……12分
（文）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)==， P(B)=，
。
答：乙入選的概率大。……………………12分
19.證明：（1）連結
，在
中，、分別為
，的中點，則
……3分
（2）方法一：
……6分
方法二：以
、
、
的方向分別為、
、
軸的方向建立空間直角坐標系，
則、、
、
的坐標分別為
、
、
、
，
∴
，
，從而
，
因而
，即。
（3）∵點為的中點，且
為正方形，∴
，
又
平面，∴
，
而
，∴
平面
，
又
平面，∴
，故
為二面角的平面角，
在
中，
，
，∴
，
因而二面角的正切值為
。 ……9分
（4）（理）
且 
，
∴
即
=
=
……12分
（文），
，
。
……12分
20.解：(I)數列的公差為d，則
∵a1，a3，a7成等比數列，∴
，得d=0(舍去)或d=1
∴
。 ……5分
(Ⅱ)（文）由（Ⅰ）知
∴
＜1
……12分
（理）證明：（1）當
時，
，又
，等式成立。
（2）假設當
時，等式成立，即
，
那么，當
時，
=
，即時，等式也成立。
由（1），（2）得對一切
都有成立。 ……12分
21.解：（1）令
，有
，解得
。（文） ……5分
（理） ……3分
（2）為定義域為D上的偶函數。
證明：令
，
，解得
。
令
，
，有
，∴
。
又∵的定義域為D：關于原點對稱，∴為偶函數。 （文）……12分
（理）……7分
（3）（理）
，
。
∴
，即
①
∵在上是增函數，
∴①等價于不等式組：
或
，
或
，∴
或
，
或
。
故的取值范圍為
，或或
（理） ……12分
22．解：（理）（1）設C點的坐標為
△ABC的重心，故可得M為
又
而
整理得，
，即C點的軌跡是以
，
為焦點，實軸長為
的雙曲線但不包括兩個頂點。…………4分
（2）設
(
)
(當
時，直線
與雙曲線只有一個交點，不符合題意）
代入
①
或
或
，
或
或
，
而x1,x2是方程①的兩根，
故
的取值范圍為
……8分
（3）設
當
故猜想存在λ=2，使∠QHG=λ∠QGH總成立.
當QH不垂直x軸時，
，
。
∴
又∵2∠QGH與∠QHG同在（0，
）∪（，π）內，∴2∠QGH=∠QHG.
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立. ……12分
解：（文）（I）設橢圓C的方程為
，則由題意知b = 1.
∴橢圓C的方程為
……5分
（II）方法一：設A、B、M點的坐標分別為
易知F點的坐標為（2，0）.
∴ 
將A點坐標代入到橢圓方程中，得
去分母整理得
同理，由
可得
是方程的兩個根，
……12分
方法二：設A、B、M點的坐標分別為又易知F點的坐標為（2，0）.
顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得
又
……12分
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