2009年福建省龍巖市普通高中畢業班單科質量檢查數學(理科)試題
（考試時間：120分鐘；滿分：150分）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共８頁．
參考公式：
樣本數據x1，x2，…，xn的標準差：
s=
，其中
為樣本平均數 ；
柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；
錐體體積公式：V=
Sh，其中S為底面面積，h為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中R為球的半徑.
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一
1. 已知i是虛數單位，實數
滿足
，則
的值為
（ �。�
A.－1 B.
2.
計算
的結果是
（ ）
A. 
B.
C.
D.
3. 對某校400名學生的體重（單位：
）進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則
學生體重在60以上的人數為
（ �。�
A. 200
B. 100
C. 40
D. 20
4. 右邊的程序運行后，輸出的結果為
（ �。�
A. 13，7
B. 7，4
C. 9，7
D. 9，5
5. 已知橢圓
的焦點分別為
、
，
，
離心率為
．過的直線交橢圓于A、B兩點，則
的周長為 （ �。�
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
6. 已知函數
，將
的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，
縱坐標不變，再將所得圖象向右平移
個單位，得到函數
的圖象，則
的解
析式為 （ ）
A. 
B.
C.
D.
.
7. 下列說法正確的是 （ �。�
A. 函數
的圖象的一條對稱軸是直線
B. 若命題P：“存在
，
”，則命題P的否定：“任意，
”C. 若
，則
D.
“
”是“直線
與直線
互相垂直”的充要條件
8. 設
、
是兩條不同直線，
、
、
是三個不同平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
②若
，
，，則
③若
，
，則 ④若
，
，則
其中正確命題的序號是 （ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
9. 對任意兩個正整數m、n定義某種運算+：
，則集合
N
中元素的個數為 （ �。�
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
10. 把正整數按一定的規則排成了如圖所示的三角形數表．設
（i，j∈N*）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數，如
＝8．
若＝2009，則i與j的和為（ ）
A. 105 B. 106
C. 107 D. 108
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，請把正確答案填在后面橫線上．
11. 袋中有3個黑球，1個紅球．從中任取2個，取到一個黑球得0分，取到一個紅球得2
分，則所得分數
的數學期望
.
12. 已知二項式
的展開式中的常數項為15，則實數
為
.
13. 設向量a,b滿足| a－b |=2，| a |=2，且a－b與a的夾角為
，則| b |=
.
14. 已知函數
是定義在R上的奇函數，當x
0時，
. 若
，
則實數m的取值范圍是 .
15. 對任意正整數，定義的雙階乘
如下：
當為偶數時，
；
當為奇數時，
.
現有四個命題：
①（2009�。。�?（2008�。。�=2009��； ② 2008?2008！！=2009！�。� 2008！！；
③ 2009��！的個位數字為5； ④（a+b）!! = a!!+b!!（a、b
N*）
其中所有正確命題的序號是 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16.（本小題滿分13分）
已知
，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，
，求cos的值.
17.（本小題滿分13分）
如圖，在體積為1的三棱柱
中，側棱
底面
，
，
，
為線段
上的動點.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）當
為何值時，二面角
的
大小為？
18. (本小題滿分13分)
近段時間我國北方嚴重缺水, 某城市曾一度取消洗車行業. 時間久了，車容影響了市容市
貌. 今年該市決定引進一種高科技產品污水凈化器，允許洗車行開始營業，規定洗車行必須購買這種污水凈化器，使用凈化后的污水(達到生活用水標準)洗車. 污水凈化器的價格是每臺90萬元，全市統一洗車價格為每輛每次8元. 該市今年的汽車總量是80000輛，預計今后每年汽車數量將增加2000輛.洗車行A經過測算，如果全市的汽車總量是x，那
么一年內在該洗車行洗車的平均輛次是
，該洗車行每年的其他費用是20000元. 問：
洗車行A從今年開始至少經過多少年才能收回購買凈化器的成本？
（注：洗車行A買一臺污水凈化器就能滿足洗車凈水需求）
19.（本小題滿分13分）
已知拋物線C:
上橫坐標為4的點到焦點的距離為5.
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設
，
是拋物線C上任意兩點，且
（
，且為常數）. 過弦AB的中點
M作垂直于
軸的直線交拋物線于點D，連結AD、BD
得到
，求證：的面積為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過弦AD、BD的中點作垂直于
軸的直線依次交拋物線于點E、F，連結AE、DE和BF、
DF，得到
和
，并按此方法繼續下去. 若設
,
，
是第n次操作時得到的
個三角形面積
的和，記
，求證：
.
20.（本小題滿分14分）
設函數
（
R）.
（Ⅰ）當
時，求的極值；
（Ⅱ）當
時，求的單調區間；
（Ⅲ）當
時，對于任意正整數n，在區間
上總存在m+4個數
使得
成立，試問：正整數m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由.
21. 本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換
已知矩陣P=
，Q=
，若矩陣PQ對應的變換把直線
變為直線
，求、
的值.
（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數方程
已知直線
的極坐標方程是
．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，橢圓Ｃ的參數方程是
（
為參數），求直線和橢圓Ｃ相交所成弦的弦長．
（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
已知實數
滿足
，
，求證：
.
2009年龍巖市普通高中畢業班單科質量檢查
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.
1. B 2. C 3. B 4.C 5.D 6.A 7. B 8. A 9. C 10. C
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.
11. 1 12. 
13.
2 14. 
15.
①③
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 本題主要考查三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考查學生的運算求解能
力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）因為
，
兩邊同時平方得
.
………………………………………（4分）
又
，
所以
.
………………………………………（6分）
（Ⅱ）因為，
，
所以
，得
.
又
,知
. …………………（9分）
. ………………………………………（13分）
17. 本題主要考查線線位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）證明：連結
，
側棱
底面ABC，
，又
.
平面
.
又
平面，
. ………（3分）
，
四邊形為正方形，
.
， 
平面
.
又
平面，
. …………（6分）
（Ⅱ）
.
平面
.
又
， 
.
如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系-xyz，設AP=x，則
、
、
、
.
知面
的一個法向量為
， ……（9分）
設面
的一個法向量為
，
，
.
由
得
令
， 
………（11分）
依題意：
=
解得
（不合題意，舍去），
時，二面角
的大小為
. …………（13分）
18．本題主要考查數列與不等式等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，
考查應用意識. 滿分13分.
解：設第一年（今年）的汽車總量為
，第n年的汽車總量為
，則
，
…
.
數列
構成的首項為80000，公差為2000的等差數列，
. ………………………（4分）
若洗車行A從今年開始經過n年可以收回購買凈化設備的成本. 則（
）
-20000n≥900000，………………………（8分）
整理得，
因為
，所以 
.
答：至少要經過6年才能收回成本. …………………………………………（13分）
19．本題主要考查直線與拋物線的位置關系、等比數列求和等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分
解：（Ⅰ）依題意得：
，解得
.
所以拋物線方程為
. ………………………………………………（3分）
（Ⅱ）若
，即直線AB垂直于x軸，不防設
，
由
又由拋物線對稱性可得：
.
又
，得 
，故S△ABD=
. …………………………（4分）
若
，設直線AB方程：
，
由方程組
消去
得：
.（※）
依題意可知：
.
由已知得
，
. ……………………………………（5分）
由
，得
，
即
，整理得
.
所以
. …………………………………………（6分）
中點
，
所以點
，
依題意知
.
又因為方程（※）中判別式
，得
.
所以
，又
，
所以
.
又
為常數，故
的面積為定值. …………………………………（9分）
（Ⅲ）依題意得：
…，
.
故
…
＜
. ………………………………（13分）
注：本題第（Ⅱ）問另解，參照本標準給分；第（Ⅲ）問若用定積分證明，同樣給分.
20. 本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數
性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）依題意，知
的定義域為
.
當
時，
，
.
令
，解得
.
當
時，
；當
時，
.
又
，
所以的極小值為
，無極大值 . …………………………（3分）
（Ⅱ）
.
令，解得
. …………………………（4分）
若
，令，得；令，得 .
若
，
①當
時，
，
令，得
或；
令，得
.
②當
時，
.
③當
時，得
，
令，得或
；
令，得
.
綜上所述，當時，的遞減區間為
，遞增區間為
.
當
時，的遞減區間為
；遞增區間為
.
當時，遞減區間為.當時，的遞減區間為
，遞增區間為
. …………………………（9分）
（Ⅲ）當
時，
，
由
，知
時，
. 
，
.
依題意得：
對一切正整數成立. ……………（11分）
令
，則
（當且僅當
時取等號）.
又
在區間
單調遞增，得
，
故
，又
為正整數，得
，
當
時，存在
，
，
對所有
滿足條件.
所以，正整數的最大值為32. …………………………………（14分）
21. （1）本題主要考查矩陣乘法與變換等基本知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思
想. 滿分7分.
解：PQ＝
，
PQ矩陣表示的變換T：
滿足條件
.
所以
………………………（3分）
直線
任取點
，則點
在直線
上，
故
，又，得
所以
………………………………………（7分）
（2）本題主要考查直線極坐標方程和橢圓參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.
解：由題意知直線和橢圓方程可化為：
， ①
． ② …………………………（２分）
①②聯立，消去
得：
，解得
，
．
設直線與橢圓交于A、B兩點，則
．
故所求的弦長為
． &n
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