揭陽市云路中學2009屆高三數學（理科）第三次測試試題
（不等式、極坐標）2008.09.20
班級： 姓名： 座號： 評分：
第一部分 選擇題（共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、不等式
的解集為( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
2
若
，則函數
有（ ）
A 最小值
B 最大值 C 最大值
D 最小值
3 若
，則函數
的最小值為（ ）
A 
B 
C 
D 非上述情況
4. 設奇函數
在
上為增函數，且
，則不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
若
為不等式組
表示的平面區域，則當
從－2連續變化到1時，動直線
掃過中的那部分區域的面積為 （ ）
6. 設不等的兩個正數
滿足
，則
的取值范圍是（ ）
A 
B 
C 
D
7. 若
，且
, 
，則
與
的大小關系是
A 
B 
C 
D 
8. 已知
，則使得
都成立的
取值范圍是（ ）
A.（0，
） B. （0，
） C.
（0，
） D. （0，
）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題（本大題共6小題，共30分，把答案填寫在答題卡相應位置上）
9. 點M的極坐標為（－2，－
），則直角坐標是
。
10. 直線
的極坐標方程為____________________。
11.已知曲線
的極坐標方程分別為
，
，則曲線
與
交點的極坐標為
．
12. 若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數有且僅有1，2，3，則b的取值范圍為____________.
13.不等式
的解集為
．
14. 已知函數
，則不等式
的解集是
三、解答題（有6大道題，共80分，要求寫出推理和運算的過程）
15. （14分）如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的
左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為
,四周空白的寬度為
定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？
16. （12分）設a，b，c為正實數，求證：
．
17.（14分）已知函數
。
（1）作出函數
的圖像；
（2）解不等式
。
18.（12分）求函數
的最大值
19. （14分）設
（1）證明A>
;
（2）
20．（14分）A是由定義在
上且滿足如下條件的函數
組成的集合：①對任意
，都有
； ②存在常數
，使得對任意的
，都有
（1）設
，證明：
;
（2）設,如果存在
,使得
,那么這樣的
是唯一的;
（3）設,任取
,令
證明:給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式
.
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
A
B
A
B
1. A∵
∴
即
， 
，
∴
故選A；
C 
3 B 
4. D．由奇函數
可知
，而
，則
，當
時，
；當
時，
，又在
上為增函數，則奇函數在
上為增函數，
.
5 A 如圖知
是斜邊為3 的等腰直角三角形，
是直角邊為1等腰直角三角形，區域的面積
6. B 
，而
所以
，得
7. A 
，即
8. B
，所以解集為
，
又
，因此選B。
二、填空題
9. （－
，1）. 10. 
. 11. 
12. 
13. 
.
14. 
.
9. 
，
，
∴點M的直角坐標為（－，1）。
10.
11. 聯立解方程組
解得
，
即兩曲線的交點為
12. . ∴
，
13. . 
14. .依題意得
所以
，
三、解答題
15解：解法1：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000. ①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.
廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2
=18500+
當且僅當25a＝40b時等號成立，此時b=
,代入①式得a=120，從而b=75.
即當a=120，b=75時,S取得最小值24500.
故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
解法2：設廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，
其中x＞20，y＞25
兩欄面積之和為2(x－20)
,由此得y=
廣告的面積S=xy=x(
)＝x,
整理得S=
因為x－20＞0，所以S≥2
當且僅當
時等號成立，
此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=
+25,得y＝175，
即當x=140，y＝175時，S取得最小值24500，
故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
16. 證明：因為
為正實數，由平均不等式可得
即
所以
，
而
所以 
17. 解：（Ⅰ）
圖像如下：
（Ⅱ）不等式
，即
，
由
得
．
由函數圖像可知，原不等式的解集為
18.解：函數的定義域為
，且
19. （1）A
=
（2）
．
∴
20．解：對任意
,
,
,
,所以
,對任意的
，
，
，所以
0<
,令=
，
，
,所以
．
反證法:設存在兩個
使得
,
則
由
，得
，所以
，矛盾，故結論成立。
，所以
+…
．
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B
C