2009年安徽省數學高考模擬卷一
第一卷 選擇題（共60分）
1． 如圖，一個簡單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖是邊長為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，則其體積是( )．
A． B . C. D .
2．已知集合，，則＝
A． B． C． D．
3．設等差數列的公差為2，前項和為，則下列結論正確的是
A． B．
C． D．
4． 已知，則的值為
A． B． C．或 D．
5．二面角為，A,B是棱上的兩點，AC,BD分別在半平面內，且，則的長為
A． B． C． D．
6．如果隨機變量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，則P（－1＜ξ≤1）等于
A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）
C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）
7．已知滿足約束條件，則的最小值是
A． B． C． D．
8. 某電視臺連續播放6個廣告，三個不同的商業廣告，兩個不同的奧運宣傳廣告，一個公益廣告，要求最后播放的不能是商業廣告，且奧運宣傳廣告與公益廣告不能連續播放，兩個奧運宣傳廣告也不能連續播放，則不同的播放方式有
A．48種 B．98種 C．108種 D．120種
9．在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：
人體的脂肪含量百分比和年齡
年齡
23
27
39
41
45
49
50
53
56
58
60
脂肪
9．5
17．8
21．2
25．9
27．5
26．3
28．2
29．6
31．4
33．5
35．2
通過計算得到回歸方程為，利用這個方程，我們得到年齡37歲時體內脂肪含量為20.90%，那么數據20.90%的意義是：
A 某人年齡37歲，他體內脂肪含量為20.90%；
B 某人年齡37歲，他體內脂肪含量為20.90%的概率最大；
C 某人年齡37歲，他體內脂肪含量的期望值為20.90%；
D 20.90%是對年齡為37歲的人群中的大部分人的體內脂肪含量所作出的估計；
10． 設a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線與的位置關系是( )．
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
11．若的方差為3，則的標準差為 ( )
A．12 B． C．16 D．4
12．經過橢圓的右焦點任作弦，過作橢圓右準線的垂線，垂足為，則直線必經過
第二卷 非選擇題（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.將答案填在題中的橫線上
13．若框圖所給的程序運行的結果為S=132，那么判斷框中
應填入的關于k的判斷條件是 .
14． 已知函數反函數的圖象恒過定點，則點在直線上，若則的最小值為 ．
15．已知體積為的正三棱錐的外接球的球心為O，滿足,則三棱錐外接球的體積為 ．
16．以下四個關于圓錐曲線的命題中
①過圓內一點（非圓心）作圓的動弦，則中點的軌跡為橢圓；
②設、為兩個定點，若，則動點的軌跡為雙曲線的一支；
③方程的兩個根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④無論方程表示的是橢圓還是雙曲線，它們都有相同的焦點。
其中真命題的序號為 . （寫出所有真命題的序號）.
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知，且對任意實數x恒成立.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數的單調增區間.
18．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，四邊形為菱形，，為中點，為中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小.
19．（本小題滿分12分）已知A,B是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，
非零向量滿足．
（Ⅰ）求證：直線經過一定點；
（Ⅱ）當的中點到直線的距離的最小值為時，求的值．
20．（本小題滿分12分）
有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應的五個數字組成，編碼規則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數字按相同的次序排成一組成.
第一排
明文字符
A
B
C
D
密碼字符
11
12
13
14
第二排
明文字符
E
F
G
H
密碼字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密碼字符
1
2
3
4
設隨機變量ξ表示密碼中不同數字的個數.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列和它的數學期望.
21．（本小題滿分13分）已知 ，其中
（Ⅰ）求使在上是減函數的充要條件；
（Ⅱ）求在上的最大值；
（Ⅲ）解不等式．
22. （本小題滿分13分）
已知點列滿足：（其中）。
（Ⅰ）若，（），求的表達式；
（Ⅱ）點B，記（），且有成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）設⑵中的數列｛｝的前n項和為，試證：。
一、BDCBA，BDCDC，BB
二、13． 14．8； 15．； 16． ③④
三、17、
解：（Ⅰ）
……………2分
由題意知對任意實數x恒成立，
得，
………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由，解得
所以，的單調增區間為……………………12分
18、
解：（Ⅰ）證明取SC的中點R，連QR, DR.。
由題意知：PD∥BC且PD=BC;
QR∥BC且QP=BC,
QR∥PD且QR=PD。
PQ∥PR,又PQ面SCD,PQ∥面SCD. …………6分
（Ⅱ）法一：
…………12分
（Ⅱ）法二：以P為坐標原點，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，則S（），B（）,C（），Q（），
面PBC的法向量為（）,設為面PQC的法向量，
由
COS
…………12分
19、解
設A,B兩點的坐標為（）、（）則
（Ⅰ）經過A、B兩點的直線方程為
由得：
令得：
從而
（否則，有一個為零向量）
代入（1）得
始終經過這個定點 …………………（6分）
（Ⅱ）設AB中點的坐標為（），則
又
即
AB的中點到直線的距離d為：
因為d的最小值為 ……………（12分）
20、解：（Ⅰ）密碼中不同數字的個數為2的事件為密碼中只有兩個數字，注意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數字作為密碼.
…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意可知，ξ的取值為2，3，4三種情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排總含有數字1，第二排總含有數字2則密碼中只可能取數字1，2，3或1，2，4.
若
（或用求得）. ………………………………………………8分
的分布列為：
ξ
2
3
4
p
……………………………………………12分
21、
（Ⅰ）
時，，即
當時，
即
在上是減函數的充要條件為 ………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時為減函數，的最大值為；
當時，
當時，當時
即在上是增函數，在上是減函數，時取最大值，最大值為
即 ………………（9分）
（Ⅲ）在（Ⅰ）中取，即
由（Ⅰ）知在上是減函數
，即
，解得：或
故所求不等式的解集為[ ……………（13分）
22、
解：：⑴
，
，即為的表達式。 （6分）
⑵，，又（）
要使成立，只要，即，
即為所求。
⑶
故有
（13分）
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