3.1 數列的概念
〖考試要求〗
理解數列的概念，了解數列通項公式的意義；了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項，能熟練應用關系式：
.
〖雙基回顧〗
1、數列：
⑴定義： ；或者 .
⑵表示方法： ；或者 ；或者 .
2、數列的分類：
⑴按項數的多少分：
①有窮數列――
②無窮數列――
⑵按相鄰項間的大小關系分：
①遞增數列―― ②遞減數列――
③常數數列―― ④擺動數列――
3、設數列{an}的前n項和為Sn=a1＋a2＋…＋an，則當 時，an＝Sn?Sn?1.
〖知識點訓練〗
1、根據已知條件寫出下列數列的前5項：
⑴Sn＝n2＋1；
⑵a1＝1，an＋1＝an＋
；
⑶a1＝1，a
2、數列{an}中，an=n2－7n＋6，那么150是其第 項.
3、已知an＋2＝an＋1＋an，a1＝1，a2＝2，bn＝
，則數列{bn}的前4項依次為
.
〖典型例題分析〗
1、根據已知條件寫出下列數列的一個通項公式：
⑴2
，4
，6
，8
，…，an＝
；
⑵1
，4
，7
，10
，…，an＝
；
⑶1，
，2，
，…，an＝
；
2、已知數列{an}的通項公式為an＝
⑴0.98是不是它的項？ ⑵判斷此數列的單調性.
3、設數列{an}中，Sn=－4n2＋25n＋1
(1)求通項公式； (2)求a10＋a11＋a12＋…＋a20的值； (3)求Sn最大時an的值.
*4、在數列{an}中，其前n項和Sn＝
.試問數列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數；若沒有，說明理由.
〖課堂小結〗
1、求數列的通項公式的常用方法有：觀察法、遞推法、疊加(乘)法、歸納法.
2、由Sn求an時要注意分n＝1和n＞1兩種情況.
3、判定數列{an}的單調性考查的是an＋1與an的大小關系.
〖課堂練習〗
1、數列{an}中，Sn=nn，那么a4=……………………………………………………………………（ ）
（A）256 （B）229 （C）27 （D）7
2、數列{an}中，an=
，如果它的前n項之和為3，那么n=………………………（ ）
（A）16 （B）15 （C）8 （D）3
3、數列1，0，1，0，1，0，……的一個通項公式為 ；
數列1，0，－1，0，1，0，－1，0，……的一個通項公式為 ；
4、數列{an}中，a1=1，
，那么它的前4項為 .
〖能力測試〗 姓名 得分
1、數列3，7，13，21，31，…，的一個通項公式是…………………………………………………（ ）
（A）an＝4n－1 （B）an＝ n2＋n＋1 （C）an＝2＋n－n2＋n （D）an＝n(n＋1)(n－1)
2、若數列的前四項為2，0，2，0，則這個數列的通項公式不能是……………………………………（ ）
（A）an＝1＋(－1)n－1 （B）an＝1－cosnp
（C）an＝2sin2
（D）an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
3、以下通項公式中，不是2，4，8，…通項公式的是………………………………………………（ ）
（A）an=2n
(B)an=n2－n＋2 （C）an=2n
（D）
4、已知a0＝1，a1＝3，
?an－1an＋1＝(－1)n (n∈N)，則a3＝……………………………………（ ）
（A）33 （B）21 （C）17 （D）10
5、數列
中，有序數對(a，b)可以是……………………………………（ ）
（A）(21，－1) （B）(16，－1) （C）(－
，
) （D）(，－)
6、若數列{an}的前n項和Sn＝n2－2n＋3，則此數列的前三項依次是………………………………（ ）
（A）－1，1，3 （B）2，1，3 （C）6，1，3 （D）2，1，6
7、已知a1＝1，an＋1＝1＋，則a5＝ .
8、數列{2+log2
}的第10項是
.
9、已知數列{an}的前n項和Sn滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則其通項公式為 .
10、已知數列{an}的前n項和Sn，求通項公式an：
⑴Sn＝5n2＋3n； ⑵Sn＝
－2；
11、數列{an}的前n項的和為Sn=n2＋pn，數列{bn}的前n項的和為
n=3n2－2n，
⑴如果a10=b10，求p之值
⑵取{bn}中的奇數項按照原來順序構成數列{cn}，求cn的表達式.
3.2 等差數列
〖考試要求〗
理解等差數列的概念以及推導等差數列通項公式的方法思想；掌握等差數列和公式并能加以靈活應用.
〖雙基回顧〗
1、定義：
2、通項公式：
⑴
⑵
3、前n項之和
：
⑴
⑵
4、數a、b的等差中項：
〖知識點訓練〗
1、等差數列－5，－9，－13，…，的第 項是－401；
2、已知{an}為等差數列，若a1＝3，d＝
，an＝21，則n＝ ；
3、已知{an}為等差數列，若a10＝
，d＝
，則a3＝ .
〖典型例題〗
1、判斷下列數列是否是等差數列：
⑴an =3n＋5.
⑵an =3n2.
⑶數列{an}滿足Sn＝2n2＋3n.
2、在等差數列{an}中，
⑴若a59＝70，a80＝112，求a101.
⑵若ap＝q，aq＝p (p≠q)，求ap＋q.
⑶若a12＝23，a42＝143，an＝263，求n之值.
3、四個數成等差數列，它們的平方和為94，第一個數與第四個數的積比第二個數與第三個數的積少18，求此四個數.
4、等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0.
⑴求公差d的取值范圍；
⑵指出S1、S2、S3、…、S12中哪一個最大，為什么？
5、在數列{an}中，an＝11－2n.
⑴求Sn；
⑵設bn＝|an|，求{bn}的前n項之和Tn.
〖課堂小結〗
1、掌握下列法則：{an}為等差數列
；
2、要靈活應用等差、等比數列的通項公式（即廣義通項公式）；
3、三個數成等差可設它們為：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；
四個數成等差(比)可設它們為：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
〖能力測試〗
1、已知數列
是等差數列，則使
為等差數列的數列是……………………………………（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2、已知等差數列
中，
，公差d＝2，其中第一個正數項是………………………（ ）
（A）第11項 （B）第12項 （C）第13項 （D）第14項
3、在等差數列{an}中，d≠0，當n＞1時，則a1an＋1與a2an的大小關系是…………………………（ ）
（A）a1an＋1＞a2an （B）a1an＋1＜a2an （C）a1an＋1＝a2an （D）無法確定
4、在100和500之間能被9整除的所有數的和是…………………………………………………（ ）
（A）13266 （B）12699 （C）13832 （D）14500
5、設{an}是公差為－2的等差數列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
（A）－78 （B）－82 （C）－148 （D）－182
6、等差數列{an}的公差d＝，且S100＝145，則a1＋a3＋a5＋…＋a99等于………………………（ ）
（A）52.5 （B）72.5 （C）60 （D）85
7、在等差數列{an}中，a5＋a10＋a15＋a20＝20，則S24＝ .
8、在兩個不等正數a，b之間插入n個數，使它們與a、b組成等差數列{an}，公差為d1，再插入m個數，使它們與a、b組成等差數列{bn}，公差為d2，則
= .
9、已知b是a、c的等差中項，
的等差中項，如果a＋b＋c=33，求此三數.
10、 一項數為偶數的等差數列，奇數項之和為24，偶數項之和為30，若最后一項比第一項大
，求此數列的首項、公差、及項數.
3.3 等比數列
〖考試要求〗
理解等比數列的概念以及推導等比數列通項公式的方法思想；掌握等比數列的和公式并能加以靈活應用.
〖雙基回顧〗
1、定義：
2、通項公式：
⑴
⑵
3、前n項和公式：
⑴
⑵
4、數a、b的等比中項及其條件：
〖知識點訓練〗
1、在等比數列{an}中a2＝2， a5＝54，則q＝ ；
2、在等比數列{an}中a5＝1， an＝256，q＝2，則n＝ .
3、公差不為0的等差數列第二、三、六項成等比數列，則公比等于 .
4、已知數列lgx＋lgx2＋lgx3＋…＋lgx10＝110，求lgx＋lg2x＋lg3x＋…＋ lg10x＝ .
5、已知
是等比數列，且an＞0,若a
6、方程2x2＋7x＋1=0的兩根的等差中項為 ；等比中項為 .
〖典型例題〗
1、在等比數列{an}中，
⑴a
⑵a
*⑶q=2，a
⑷在等比數列{an}中，S4＝1，S8＝3，則a17＋a18＋a19＋a20.
⑸已知等比數列{an}的公比是q=，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，求a1＋a2＋a3＋…＋a100.
2、已知數列{an}的前n項和滿足
，求此數列的通項公式.
3、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .
4、已知等比數列{an}的公比q>1，是它的前n項之和，
是它的前n項倒數和，并且
，求滿足不等式>的最小自然數.
5、正項等比數列{an}的項數為偶數，它的所有項之和等于它的偶數項和的4倍，第2、4項之積是3、4項和的9倍.⑴求a1及q；⑵問{lgan}的前幾項和最大？
〖課堂練習〗在等比數列{an}中，
1、a5－a1＝15，a4－a2＝6，則a3＝ .
2、在等比數列{an}中，已知a3＝1，S3＝4，求a1、q.
〖課堂小結〗
1、{an}為等比數列
2、要靈活應用等比數列的廣義通項公式.
3、三個數成等比可設它們為：a，aq，aq2或a/q，a，aq；
四個數成等比可設它們為： a/q3，a/q，aq，aq3；
4、運用等比數列和公式時，一定得注意q的取值.
〖能力測試〗
1、若a、b、c成等比數列，則函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的個數是…………………（ ）
（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）0個或2個
2、下列四個命題：
①公比q＞1的等比數列的各項都大于1；②公比q＜0的等比數列是遞減數列；③常數列是公比為1的等比數列； ④{lg2n}是等差數列而不是等比數列
正確的個數是……………………………………………………………………………………（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3、數列{an}的前n項之和為Sn=an－1，那么此數列是……………………………………………（ ）
（A）等比數列 （B）等差數列 （C）等比或等差數列 （D）等比不是等差數列
4、已知數列{an}的通項公式為an＝22n－1，則該數列的前5項的和為……………………………（ ）
（A）62
（B）
（C）
（D）682
5、一個數列{ an }是遞增的等比數列，公比是q，則該數列的……………………………………（ ）
（A）q＞1 （B）a1＞0，q＞1
（C）a1＜0，q＜1 （D）a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1
6、一個數列{an}中，a1=15，a45=90，如是等差數列，則a60= ；如是等比數列，則a60= .
7、等比數列中，an＋2＝an，則實數公比q＝ 、an＋3＝an，則實數公比q＝ .
8、三數成等差數列，它們的和等于15，如果它們分別加上1，3，9就成為等比數列，求這三個數.
9、在3和2187之間插入若干個正數，使所有數組成等比數列，且插入的這些正數之和為1089，求插入的這些正數各是多少？
10、如果一個三角形的三邊成等比數列，求公比q的取值范圍.
3.4 等差等比數列綜合應用
〖考試要求〗
掌握運用等差(比)數列中的常用思想方法（定義法、遞推法、倒序相加法、錯位相減法等）.
〖課前預習〗
1、下列說法正確的是…………………………………………………………………………………（ ）
（A）數列
中，若
，（q為常數，n∈N），則是等比數列
（B）等比數列
中，若m，n，p成等差數列，且m，n，p∈N則
（C）lg2，lgm，lg8是成等差數列，則2，m，8成等比數列且m＝±4
（D）
是a，b，c成等比數列的充要條件
2、數列
的前項n和
則
的值為……………………………………………（ ）
（A）1100 （B）112 （C）988 （D）114
3、等差數列共有2n+1項，所有奇數項的和為132，所有偶數項的和為120，則n＝………………（ ）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）不確定
4、數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋n－1，則它的通項公式是…………………………………………（ ）
（A）an＝4n－1 （B）an＝4n－2 （C）
（D）
5、在等差數列{an}中，已知a3:a5＝3:4，則S9:S5的值是…………………………………………（ ）
（A）27:20 （B）9:4 （C）3:4 （D）12:5
6、在等比數列{ an }中，an ＝2´3 n－1，則該數列中前n個偶數項的和等于…………………………（ ）
（A）3 n－1 （B）3(3 n－1) （C）(9 n－1) （D）
(9 n－1)
7、若
，
，
成等差數列，則x的值為 .
8、
.
〖典型例題〗
1、一個數列{an}中，當n為奇數時，an=5n+1，當n是偶數時，an=
，求此數列的前2n項之和.
2、方程
=0的四個根組成一個首項為的等差數列，則|m－n|=…（ ）
(A)1
(B) (C) (D)
3、數列{an}滿足：
，并且a1≠a2.⑴求實數p之值；⑵求證{an}是A.P
4、已知數列
是等差數列，
⑴求證：數列
也是等差數列；
⑵若
，求這兩個數列、
的通項公式.
5、設{an}是等差數列，bn＝
，已知b1＋b2＋b3＝
，b1b2b3＝，
⑴求證：數列{bn}是等比數列； ⑵求等差數列{an}的通項an.
6、若兩個等差數列{an}與{bn}的前n項和之比為Sn:S¢n＝(4n＋1):(9n＋3)，求a20:b20.
7、數列{an}、{bn}分別是等比數列、等差數列，滿足ai＞0，bj＞0，b2-b1＞0，是否存在常數k，使：
是常數？
〖能力測試〗
1、若{an}是等比數列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差數列，則q等于……………………（ ）
（A）1或2 （B）1或－2 （C）－1或2 （D）－1或－2
2、若等差數列{an}單調遞增，且a3＋a6＋a9＝12，a
（A）n－2 （B）－n＋16 （C）n－2 或－n＋16 （D）n－2
3、等比數列{an}中，已知對任意正整數n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則
等于（ ）
（A）(2n－1)2
（B）(2n－1) （C）4n－1
（D）(4n－1)
4、已知數列的通項為
若要使此數列的前n項和最大，則n的值為…………（ ）
（A）12 （B）13 （C）12或13 （D）14
5、已知數列1，1，2，…，它的每一項由一個等比數列和一個首項為0的等差數列對應項相加而得到，那么這個數列的前10項的和為………………………………………………………………（ ）
（A）467 （B）557 （C）978 （D）1068
6、正數a、b的乘積ab是a4＋a2b2與b4＋a2b2的一個等比中項，則ab的…………………………（ ）
（A）最大值為
（B）最小值為
（C））最大值為
（D）最小值為
7、在等差數列{an}中，如果a6＋a9＋a12＋a15＝20，則S20＝ .
8、已知數列{an}是等比數列，首項a1＝8，令bn＝log2an，若數列{bn}的前7項的和S7最大，且S7≠S8，求數列{an}的公比q的取值范圍.
*9.已知函數
*10、一個公差不為零的等差數列{an}共有100項，首項為5，其第1、4、16項分別為正項等比數列{bn}的第1、3、5項.
⑴求{an}的各項的和S；
⑵若{bn}的末項不大于
，求{bn}項數的最大值N；
⑶記{an}前項和為Sn，{bn}前項和為Tn，問是否存在自然數m，使Sm＝TN？
3.5 特殊數列求和
〖考試要求〗
掌握等差數列與等比數列前n項和公式，并能夠應用這些知識解決一些簡單的問題.
〖學習指導〗
1、掌握倒序求和法與錯位相減法。
2、記住一些常見結論并且會應用之，學會分析通項的結構并且對通項進行分拆。
〖知識點訓練〗
1、記住下列結論：
⑴1＋2＋3＋…＋n= ；⑵1＋3＋5＋…＋(2n－1)= ；
2、求和：
⑴
=
.
⑵
= .
〖典型例題〗
1、求和：S=1－2＋3－4＋…＋
n.
2、求和：S=1+
*3、
4、求和：
4、⑴求數列：1，1＋2，1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋n，…的前n項之和
*⑵求數列：1，2＋3，4＋5＋6，7＋8＋9＋10，…的通項公式及前n項之和
5、如果0＜n＜100并且n∈N，求S=
的最小值.
〖課堂練習〗
1、求和：
*2、求分母為3，包含在整數m與n之間的所有不可約的分數之和.
〖能力測試〗
1、數列：1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…的前n項之和為…………………………………（ ）
(A)2n－1 (B)2n+1－n－2 (C)2n+1－n (D)2n+1－1
2、數列{an}中，an= (－1)n－1(4n－3)，那么它的前100項之和為……………………………………（ ）
(A)200 (B)－200 (C)400 (D)－400
3、數列{an}中，前n項之和Sn=1－5＋9－13＋17－21＋…+(－1)n－1(4n－3)，則S15＋S22－S31= .
4、如果數列{an}的前n項之和為Sn=3＋2n，那么
=
.
5、如果數列{an}中，an=
，求前n項之和Sn.
6、如果an=12＋22＋…＋n2，求數列
的前n項之和.
7、函數
⑴求
⑵設a1=1，an=-
，求數列{an}的通項公式
⑶求和S=
.
3.6 等差等比數列應用題
〖考試要求〗
能運用等差(比)數列知識解決相關的實際應用問題..
〖學習指導〗
1、等差數列應用題一般是解決增加或減少相同數量的問題；等比數列應用題一般是解決增加或減少相同百分率的問題，轉化為數學問題之后，運算量偏大，所列的方程不是高次方程就是指對數方程，有時還要涉及到對數、近似計算（二項式定理）的問題。解決實際問題的關鍵是闖過閱讀理解這一關。
2、請閱讀課本第一冊（上）P124―125，P133―136，了解關于銀行存款計算.
〖典型例題〗
1、用分期付款的方式購買價格為1150元的冰箱，如果購買時先付150元，余款分20次付完。以后每月付50元加上欠款的利息。如果月利息為1%，那么第10個月要付多少錢，總共要付多少錢？
2、某林場的樹木以每年25%的增長率生長，計劃從今年起每年冬季砍伐相同數量的木材，并且還要實現20年后木材儲量翻兩番.問每年的砍伐量應為現在木材總量的多少？（lg2＝0.3）
3、某漁業公司今年初用98萬元購進一艘魚船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起包括維修費在內每年所需費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元.
(Ⅰ)該船捕撈幾年開始盈利？
(Ⅱ)該船捕撈若干年后，處理方案有兩種，問哪一種方案合算？為什么？
⑴當年平均利潤最大時以26萬元的價格賣出；
⑵當盈利總額達到最大時以8萬元價格賣出；
4、某縣有土地1萬畝，其中有70%的沙漠，從今年起進行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠地，同時原有綠地的4%又被變為沙漠，設從今年起第n年有綠地an萬畝.
⑴求數列{an}的通項公式；
⑵至少經過幾年，綠化面積可以超過60%
*5、某工廠A車間現有職工30人，平均每年可創產值a萬元(a為正常數)，為了適應市場經濟的發展需要，計劃對A車間人員進行裁減.據評估，在生產條件不變的情況下，裁減1人時，留崗職工平均每人每年創造產值增加5%；在一定范圍內，裁減n+1個人時比裁減n人時，留崗職工平均每人每年創造產值增加5%(n∈Ｎ*)，為使全年創造的總產值最大，A車間應裁員多少人?
〖能力測試〗
1、某產品成本不斷下降，若每隔三年價格要降低25%，現在價格是640元，則12年后的價格是（ ）
（A）270元
一、選擇題（60分）
1、已知數列{an}的前n項之和Sn=2n2－3n＋1，那么a4＋a5＋…＋a10=………………………（ ）
（A）139 （B）171 （C）150 （D）161
2、等差數列{an}中，已知d=－2，a1＋a4＋…＋a31=50，那么a2＋a5＋…＋a32=………………（ ）
（A）27 （B）28 （C）－27 （D）－28
3、在等比數列{an}中，
，則a3＋a5=……………………………………（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4、已知數列{an}是等比數列n∈N*，那么下列結論正確的是…………………………………（ ）
（A）an?an+1＞0 （B）an?an+2＞0
（C）an?an+1?an+4＞0 （D）an?an+2?an+4＞0
5、已知6，a，b，48成等差數列，6，c，d，48成等比數列，那么a＋b＋c＋d=……………（ ）
（A）60 （B）70 （C）80 （D）90
6、等差數列{an}中，a1＋a4＋a7=15，a3＋a6＋a9=3，那么S9=……………………………………（ ）
（A）18 （B）27 （C）36 （D）45
7、等差數列{an}中，an＜0，
＋
＋
（A）－9 （B）－11 （C）－13 （D）－15
8、等差數列中，a30=50，a50=30，那么a80=………………………………………………………（ ）
（A）0 （B）80 （C）－20 （D）20
9、如果數列{
}的前n項之和為10，那么n=……………………………………（ ）
（A）11 （B）99 （C）120 （D）121
10、在等比數列{an}中，Sn=3n－1，那么a12＋a22＋…＋an2=……………………………………（ ）
（A）9n－1 （B）3n－1
（C）
（D）
(3n－1)
11、等差數列中，S13=39，那么a7=………………………………………………………………（ ）
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
12、等差數列{an}的第一、二、五項依次成等比數列，則此等差數列的公差為首項的…………（ ）
（A）3倍 （B）2倍 (C）－2倍 （D）2或者0倍
二、填空題（16分）
13、等差數列{an}中，前n項之和為Sn=2n2－13n，那么當Sn最小時， n= .
14、x、y是正數，x，a，b，y成等差，x，m，n，y成等比，則
的取值范圍是
.
15、在等比數列{bn}中，S4=4，S8=20，那么S12= .
16、現有200根相同的鋼管，要求把它們堆放成正三角形垛并且使得剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余鋼管的根數= .
三、解答題（74分）
17、如果數列{an}的前n項之和為Sn=－n2＋3n－4，求其通項公式.
18、在等比數列{an}中，a3=3，S3=9，求其公比.
19、有四個實數，前3個成等比數列，它們的積為216，后3個數成等差數列，它們的和為12，求此四數.
20、已知
，等差數列{
}中，
.
⑴求實數m；
⑵求此數列的通項公式；
⑶求
之值.
21、一種化工產品的單價隨純度的提高而提高。某化學公司計劃要用單價為A元/千克的原料100千克進行提純，每次提純后產品的總價值按照如下方法計算：每提純一次，產品的重量減少2%，單價是提純前的1.3倍，在此基礎上每提純一次，需要扣除加工費是本次提純前總價值的7.4%.
⑴問第一次提純后的總價值為多少元？
⑵求使此產品總價值翻一番的最小提純次數n（參考數據：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
22、是否存在一個實數等比數列{an}，同時滿足：
⑴a3、a4是方程x2－4x＋
=0的根；
⑵至少存在一個自然數m，使
，
，
＋
成等差數列？
如果存在，求出通項公式，如果不存在，說明理由！
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com