桓臺一中階段性測試理科數學試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，把正確的選項的代號涂在答題卡上。
1、已知復數Z=1+i，則
A、-2i B、2i C、1-i D、1+i
2、已知隨機變量
服從正態分布N（3，a
），則P（<3）等于
A、
B、
C、
D、
3、已知拋物線x=4ay，則焦點到其準線的距離為
A、a
B、
4、函數
的最小正周期和最大值分別為
（A） 
，1
（B） ，
（C）
，1
（D） ，
5、若
是第二象限的角，則下列四個值中，恒小于零的是
A、sin
B、sin C、cos2
D、tan2
6、已知m，n是兩條不同的直線，a，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：
①、若m⊥a，n⊥β，m⊥n，則a⊥β； ②、若m∥a，n∥β，m⊥n，則a∥β；
③、若m⊥a，n∥β，m⊥n，則a∥β； ④、若m⊥a，n∥β，a∥β，則m⊥n；
其中正確命題的個數為：A、1 B、2 C、3 D、4
7、若實數
滿足
,則
關于
的函數的圖象大致是( ).
8、命題“對任意的
，
” 的否定是
（A）不存在， （B） 存在，
（C） 存在，
（D）
對任意的，
9、設數列
是首項為1公比為3的等比數列，把中的每一項都減去2后，得到一個新數列
，的前n項和為Sn，對任意的n∈N+，下列結論正確的是
A、
=3
且
B、=3-2且
C、=3
且
D、=3
且
10、已知平面直角坐標系，xoy中，△OFP面積為2
，且
，設4<t<4
，則向量
的夾角的取值范圍是
A、（
，
） B、（
，
） C、（，
） D、（，
）
11、已知函數f（x）的定義域是[-2，+∞）且f（4）=f（-2）=1， 
的導數，且y=
的圖象如圖所示，則平面區域
所圍成的面積是
A、2 B、4 C、5 D、8
12、位于坐標原點的一個質點
按下述規則移動：質點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是. 質點移動五次后位于點
的概率是
（A） 
（B）
（C）
（D）
二、填空題：本大題有4個小題，每小題4分，共16分
13、某工廠生產了某種產品6000件，它們來自甲、乙、丙3條生產線，為檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，若從甲、乙、丙三條生產線抽取的個體數分別為a、b、c，且a、b、c構成等差數列，則乙生產線生產了_____________件產品。
14、若方程lnx-6+2x=0的解為xo，則滿足不等式m≤xo的最大整數m是___________。
15、與直線
和曲線
都相切的半徑最小的圓的標準方程是__________________。
16、已知某個幾何體的三視圖如圖（正視圖中弧線為半圓），根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積為_____________cm3。
三解答題
17．（本小題滿分12分）
已知函數f（x）=2sin（+x）―cos2x-1，x ∈R
（1）求f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）設p：
，q：ㄏf（x）-mㄏ<3，若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍。
18．（本題滿分12分）
如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且
，G是EF的中點.
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B―AC―G的平面角的正弦值
19.（本小題滿分12分）
甲、乙兩運動員進行射擊訓練,已知他們擊中的環數都穩定在7,8,9,10環,且每次射擊成績互不影響.根據以往的統計數據, 甲、乙射擊環數的頻率分布條形圖如下:
若將頻率視為概率,回答下列問題:
（Ⅰ）求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上(含9環)的概率;
（Ⅱ）若甲、乙兩運動員各自射擊1次, 表示這2次射擊中擊中9環以上(含9環)的次數,求的分布列及數學期望
.
20（本小題滿分12分）
已知函數
.
（Ⅰ）寫出函數
的定義域，并求其單調區間；
（Ⅱ）已知曲線
在點
處的切線是
，求
的值.
21（本小題滿分12分）
已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在
軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線
與橢圓相交于
兩點（不是左右頂點），且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點. 求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標.
一選擇題
CDDAB BBCCC BB
二填空題
13、2000 14、2 15、
16、8+π
17解：（1）∵（x）=2sin
（
+x）×
cos2x－1=1-cos（
+2x）－
cos2x－1
=sin2x－cos2x=2sin（2x－
）…………………3分
∴T=π……………………………………………………………4分
由2kπ－≤2x－≤2kπ得 kπ－
≤x≤kπ+
π（k∈Z）
即f（x）單調增區間為[kπ－，kπ+
]（k∈Z）………………6分
（2）若p成立，即x∈[
，]時，2x－∈[
，
]，f（x）∈[1，2]，……8分
由ㄏf（x）-mㄏ< 3=>m－3<f（x）<m+3………………………………… 9分
∵p是q的充分條件，
∴ m-3<1 m+3>2，解得-1<m<4，即m的取值范圍是（-1，4）…………… 12分
18. 解:（Ⅰ）設事件
表示甲運動員射擊一次,恰好擊中9環以上(含9環),則
.
……………….3分
甲運動員射擊3次均未擊中9環以上的概率為
.
…………………5分
所以甲運動員射擊3次,至少有1次擊中9環以上的概率為
.
………………6分
(Ⅱ)記乙運動員射擊1次,擊中9環以上為事件
,則
…………………8分
由已知
的可能取值是0,1,2.
…………………9分
;
;
.
的分布列為
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………10分
所以
故所求數學期望為
.
………………………12分
19.解法一（幾何法）
（1）證明：正方形ABCD
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，
∴CB⊥面ABEF ∵AG，GB
面ABEF， ∴CB⊥AG，CB⊥BG
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點，
∴AG=BG=
，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG ∵CG∩BG=G，
∴AG⊥平面CBG 面AG面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC.…4分
（2）解：如圖，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，
且交于GC，在平面BGC內作BH⊥GC，
垂足為H，則BH⊥平面AGC，
∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角
∴Rt△CBG中
又BG=，∴
……8分
（3）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC， 作BO⊥AC，垂足為O，連結HO，
則HO⊥AC，∴∠BOH為二面角B―AC―G的平面角在Rt△ABC中，
在Rt△BOH中，
即二面角B―AC―G的平面角的正弦值為
.
……12分
[方法二]（向量法）
解法：以A為原點，AF所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，AD所在直線為z軸建立直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）證明：略
（2）由題意可得
，
， 設平面AGC的法向量為
，
由
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量
， 得
∴二面角B―AC―G的的平面角的正弦值為.
20. （Ⅰ）函數
的定義域為：
.
…………………………1分
∵
, ∴
.
令
，則
.
……………3分
當
在上變化時，
的變化情況如下表
+
0
-
ㄊ
極大值
ㄋ
∴函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是. …………6分
（Ⅱ）由題意可知：
，
…………………7分
曲線在點
處的切線的斜率為
. …8分
∴切線方程為：
.
……………9分
∴
.
∴
.
……………10分
∵切線方程為
, ∴
. ∴
.
∴曲線在點處的切線的斜率
. ………12分
21. 解：（1）由題意設橢圓的標準方程為
，
由已知得：
，
∴
，
，∴
∴橢圓的標準方程為
（2）設
、
，
聯立
得
又
，
因為以
為直徑的圓過橢圓的右頂點
，
∴
，即
．
∴
∴
∴
解得：
，且均滿足
．
當
時，
得方程為
，直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當
時，得方程為
，直線過定點（
，0），
所以直線過定點，定點坐標為（，0）．
22（本小題滿分12分）
設Sn是數列
的前n項和，且
．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列
使
，求的通項公式；
（3）設
，且數列
的前n項和為Tn，試比較Tn與
的大小．
解：（1）∵，∴
，
于是an＋1＝Sn＋1－Sn＝（2 an＋1－2）－（2 an－2），即an＋1＝2an. …………2分
又a1＝S1＝2 a1－2, 得a1＝2. …………3分
∴是首項和公比都是2的等比數列，故an＝2n.
…………4分
(2) 由a1b1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a1＝2得b1＝3. …………5分
當
時，
，
∴
.
…………7分
∵an＝2n，∴bn＝2n＋1（）.
…………8分
∴
…………10分
（3）
. …………12分
.
…………14分
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