重慶市萬州區2009屆高三第一次診斷性
數 學（文科）
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.全卷共三個大題，22個小題，滿分150分，考試時間為120分鐘.
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在答題卷上.
2．第I卷每小題選出答案后，用筆填寫在答題卷上“第I卷答題欄”對應題目的答案欄內.不能答在試題紙上.
3．第II卷各題一定要做在答題卷限定的區域內.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互獨立，那么P(A?B)＝P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
第I卷（選擇題，共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把所選答案的番號填在答題卷的相應位置上.
1.函數
的定義域是（ ）
(A) R
(B)
(C)
(D)
2.三角函數式
的值等于（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.設
、
是直角坐標系內的兩條直線.已知命題甲：“直線、的傾斜角相等”，命題乙：“直線與平行”，則命題甲是命題乙的（ ）
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)不充分也不必要的條件
4.不等式
的解的集合是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D)
5.若
，
，且
，則向量
與
的夾角是（ ）
(A) 30° (B) 60° (C) 45° (D) 75°
6.函數
的反函數是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
7.在下列五個圖所表示的正方體中，能夠得到AB⊥CD的是（ ）
(A)①② (B)①②③ (C)①②③④ (D)①②③④⑤
8.某國代表隊要從6名短跑運動員中選4人參加2008北京奧運會的4×
(A)24種 (B)72種 (C)144種 (D)360種
9.設
為橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，若已知
，且
，則橢圓的離心率為（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
10.數列
滿足
，若
，則
的值為（ ）
(A) 
(B)
(C)
(D)
11.已知函數
，并且當
時，
，則
的圖象的交點個數為（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
12.
設
，已知
，
，那么
的取值范圍為
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）把答案填在答題卷的相應位置上.
13.設全集
，S的子集
.
那么
等于
.
14.如果在
的展開式中的各項系數之和為128，那么在此展開式中含
的項的系數是
.
15.若直線
始終平分圓
的圓周，則
的最大值是
.
16.對任意兩個實數
，定義一種運算“
”如下：
，那么函數
的值域為
.
三、解答題（本大題共6小題，共74分）把解答題答在答題卷限定的區域內.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.（本題滿分13分）
甲、乙兩顆衛星同時監測臺風，根據長期經驗得知，甲、乙預報臺風準確的概率分別為0.8和0.75.求：
(1) 在同一次預報中，甲、乙兩衛星只有一顆預報準確的概率；
(2) 若甲獨立預報4次，至少有3次預報準確的概率.
18.（本題滿分13分）
設函數
，其中向量
，
(1)求函數
的最小正周期和單調遞增區間；
(2)當
時，求函數的值域.
19.（本題滿分12分）
在等比數列
中，
，并且
(1)求
以及數列的通項公式；
(2)設
，求當
最大時
的值.
20.（本題滿分12分）
設函數
為奇函數，導函數
的最小值為-12，函數
的圖象在點P
處的切線與直線
垂直.
(1)求a，b，c的值；
(2)求的各個單調區間，并求在
[-1, 3]時的最大值和最小值.
21.（本題滿分12分)
已知是定義域為[－3，3]的函數，并且設
，
，其中常數c為實數.
(1)求
和
的定義域；
(2)如果和兩個函數的定義域的交集為非空集合，求c的取值范圍；
(3)當在其定義域內是奇函數，又是增函數時，求使
的自變量
的取值范圍.
22.（本題滿分12分）
已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經過坐標原點，并且兩條漸近線與以點
為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個焦點與點A關于直線
對稱.
(1)求雙曲線C的漸近線和雙曲線的方程；
(2)設直線
與雙曲線C的左支交于P、Q兩點，另一直線
經過
及線段PQ的中點N，求直線在
軸的截距
的取值范圍.
高2009級第一次診斷性考試（文科）數學
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1～5 D A B D C 6～
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13.
； 14.21 ；
15.
； 16.
.
三、解答題（本大題共6小題，共74分）
17.（本題滿分13分）
解：(1)甲、乙兩衛星各自預報一次，記“甲預報準確”為事件A，“乙預報準確”為事件B.則兩衛星只有一顆衛星預報準確的概率為：
… 4分
= 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 …………6分
答：甲、乙兩衛星中只有一顆衛星預報準確的概率為0.35 ………7分
(2) 甲獨立預報3次，至少有2次預報準確的概率為
…………10分
＝
＝0.896
………………………12分
答：甲獨立預報3次，至少有2次預報準確的概率為0.896. ……… 13分
18.（本題滿分13分）
解：(1)∵
…………………2分
＝
＝
……………6分
∴函數
的最小正周期
…………………7分
又由
可得：
的單調遞增區間形如：
……9分
(2) ∵
時，
，
∴
的取值范圍是
………………11分
∴函數的最大值是3，最小值是0
從而函數的是
…………13分
19.（本題滿分12分）
解：(1) ∵
∴由已知條件可得：
，并且
，
解之得：
，
……………3分
從而其首項
和公比
滿足：
………5分
故數列
的通項公式為：
……6分
(2) ∵
數列
是等差數列，
…………………………8分
∴
＝
＝
=
…………………10分
由于
，當且僅當
最大時，
最大.
所以當最大時，
或6 …………………………12分
20.（本題滿分12分）
解：(1) ∵
為奇函數 ∴
………2分
∵
，導函數
的最小值為-12 ∴
……3分
又∵直線
的斜率為
，
并且
的圖象在點P
處的切線與它垂直
∴
，即
∴
……………6分
(2) 由第(1)小題結果可得：
……………9分
令
，得
……………10分
∵
，
，
∴在
[-1, 3]的最大值為11，最小值為-16. ………12分
21.（本題滿分12分）
解：(1) ∵函數
有意義的充要條件為
，即是 
∴函數的定義域為
…………3分
∵函數
有意義的充要條件為：
∴函數的定義域為
…………5分
(2)∵由題目條件知
∴
，
…………………7分
∴c的取值范圍是：[－5, 5] …………………8分
(3) 
即是
∵是奇函數，∴
………………9分
又∵函數的定義域為
，并且是增函數
∴ 
………………11分
解之得
的取值范圍是：
=
…………12分
22.（本題滿分12分）
解：(1) 設雙曲線的漸近線方程為
，即
，
∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑
∴
∴雙曲線的漸近線的方程為：
……………2分
又設雙曲線的方程為：
，則
∵雙曲線的漸近線的方程為，且有一個焦點為
∴
，
………………4分
解之得：
，故雙曲線的方程是：
……………5分
(2) 聯立方程組
，消去
得：
（*）…………6分
∵直線與雙曲線C的左支交于兩點，方程（*）兩根
、
為負數，
∴
…………8分
又∵線段PQ的中點
坐標滿足
，
……9分
∴直線
的方程為：
，
即是
，
直線在軸的截距
……………………11分
又∵時，
的取值范圍是：
∴直線的截距
的取值范圍是
……12分
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