試卷類型：A
唐山市2008―2009學年度高三年級第一次模擬考試
文 科 數 學 試 卷
說明：
四、考試結束后，將本試卷與原答題卡一并交回．
如果事件
、
互斥，那么 球的表面積公式
其中
表示球的半徑
如果事件、相互獨立，那么
球的體積公式
其中表示球的半徑
如果事件在一次試驗中發生的概率是
，
那么
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率：
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求．
(1)等差數列
，
，
，…的第15項為（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)已知
，
，
，則
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(3)球的一個截面是半徑為3的圓，球心到這個截面的距離是4，則該球的表面積是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(4)圓
與圓
的公切線共有（ ）
(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條
(5)已知實數
，
滿足不等式組
，則
的取值范圍是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(6)函數
的反函數為（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D)
(7)已知橢圓的中心在原點，離心率
，且它的一個焦點與拋物線
的焦點重合，則此橢圓方程為（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(8)若函數
的部分圖象如圖所示，則該函數可能是（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
 |
(9)設
、
、
為三個不同的平面，
、為兩條不同的直線，在
①
，
，
； ②
，，
；
③，
，
； ④
，
，
中，是
的充分條件的為（ ）
(A) ①② (B)②④ (C)②③ (D) ③④
(10)已知函數
，則使得
的的取值范圍是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(11)已知
是第一象限的角，且
，那么
（ ）
(A) 
(B) 
(C) (D)
(10)從5種不同的水果和4種不同的糖果中各選出3種，放入如圖所示的6個不同區域（用數字表示）中拼盤，每個區域只放一種，且水果不能放在有公共邊的相鄰區域內，則不同的放法有（ ）
(A) 
種 (B) 
種 (C) 
種 (D) 
種
 |
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上．
(13)從含有50個個體的總體中一次性地抽取5個個體，假定其中每個個體被抽取的概率相等，則個體
被抽到的概率等于 。
(14)
的展開式中
的系數是
．(用數字作答)
(15)
、
(
為原點)是圓
的兩條互相垂直的半徑，
是該圓上任一點，且
，則
．
(16)如圖，直四棱柱
的底面是直角梯形，
，
，
，
，
是
的中點，則
與面
所成角的大小為
．
(17)(本小題滿分10分)
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
已知數列
的前項和為
，
（Ⅰ）求
，
；
（Ⅱ）求數列的通項公式。
(18)(本小題滿分10分)
在
中，
，
，
是
的中點，將
表示為角的函數，并求這個函數的值域．
 |
(19)(本小題滿分12分)
商家對某種商品進行促銷活動，顧客每購買一件該商品就即刻抽獎，獎勵額度如下：
獎勵等級
一等獎
二等獎
所占比例
10%
30%
獎金數（元）
100
20
一顧客購買該商品2件，求：
(Ⅰ)該顧客中獎的概率；
(Ⅱ)該顧客獲得獎金數不小于100元的概率．
(20)(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側面
是等腰三角形且垂直于底面，
，
，
、
分別是
、
的中點。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
(21)(本小題滿分12分)
已知函數
有極值點．
(Ⅰ)求
的取值范圍；
(Ⅱ)若有兩個極值點
、
，且
，求的值。
(22)(本小題滿分12分)
設
是雙曲線：
上一點，直線
方程是
(Ⅰ)判斷直線與雙曲線有幾個公共點？并說明理由；
(Ⅱ)若直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于、兩點，求證為線段的中點．
唐山市2008~2009學年度高三年級第一次模擬考試
一、選擇題:
A卷：CCABD BDCBB AA
二、填空題：
(13)
(14)
(15)
(16) 
三、解答題：
(17)解：
（Ⅰ）由
，得
， ∴
又
，即
，得
……………4分
（Ⅱ）當
時，
，
得
，即
，…………………………7分
由
知，
，
∴
，
是首項為
，公比為的等比數列，
∴
……………………………………………………10分
(18)解：
由
，知
，又
，由正弦定理，有
，∴
，
，……3分
∴
……………6分
…………9分
∵
，
， ∴
，
故所求函數為
，函數的值域為
……………12分
（19）解：
記顧客購買一件產品，獲一等獎為事件
，獲二等獎為事件
，不獲獎為事件
，則
，
，
（Ⅰ）該顧客購買2件產品，中獎的概率
……………4分
（Ⅱ）該顧客獲得獎金數不小于100元的可能值為100元，120元，200元，依次記這三個事件為
、
、
，則
，………6分
，………8分
，………10分
所以該顧客獲得獎金數不小于100元的概率
……12分
（20）解法一：
（Ⅰ）取
中點
，連結
、
，則
，
又
，
∴
，四邊形
是平行四邊形，
∴
，又
，
，
∴
……………………………………………………4分
（Ⅱ）連結
∵
， ∴
，
又平面
平面
，∴
而
， ∴
作
于
，則
，且
，為
的中點。
作
于
，連結
，則
，
于是
為二面角
的平面角。…………………………8分
∵
，
，∴
，
在正方形中，作
于
，則
，
∴
，∴
。
故二面角的大小為
…………………………12分
 |
解法二：如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系，使
軸，
、
分別在
軸、
軸上。
（Ⅰ）由已知，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
又
，∴ ………………………………………4分
（Ⅱ）設
為面
的法向量，則
，且
。
∵
，，
∴
，取
，
，
，則
……………8分
又
為面
的法向量，所以
，
因為二面角為銳角，所以其大小為
…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）
令
，
，則
………………2分
若
，即
，則恒有
，函數
沒有極值點。…………4分
若
，即
，或
，則有兩個不相等的實根
、
，且
的變化如下：
－
由此，
是函數的極大值點，
是函數的極小值點。
綜上所述，
的取值范圍是
…………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，
∴
…………………………10分
令
，得
（舍去），
，
所以，
或
…………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）記
①
②
②
，得
，
③
由①、③，得
，即
……3分
由于
，
，則上面方程可化為
，即
，所以
，
將代入①式，整理，并注意
，得
由于
，所以
因此，直線
與雙曲線
有一個公共點
…………………………6分
（注：直線和雙曲線聯立后，利用
判斷交點個數也可）
（Ⅱ）雙曲線的漸近線方程為
，不妨設點在直線
上，
點
在直線
上。
由
，得點坐標為
，
由
，得點坐標為
，…………………………9分
因為
，
所以為線段
的中點。…………………………12分
（注：若只計算、的橫坐標或縱坐標判斷為線段的中點不扣分）
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