試卷類型：A
唐山市2008―2009學年度高三年級第一次模擬考試
理科數學試卷
說明：
四、考試結束后，將本試卷與原答題卡一并交回．
如果事件
、
互斥，那么
球的表面積公式
其中
表示球的半徑
如果事件、相互獨立，那么
球的體積公式
其中表示球的半徑
如果事件在一次試驗中發生的概率是
，
那么
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率：
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求．
(1)復數
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)已知
，
，
，則
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(3)球的一個截面是半徑為3的圓，球心到這個截面的距離是4，則該球的表面積是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(4)圓
與圓
的公切線共有（ ）
(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條
(5)已知實數
，
滿足不等式組
，則
的取值范圍是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(6)函數
的反函數為（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D)
(7)已知橢圓的中心在原點，離心率
，且它的一個焦點與拋物線
的焦點重合，則此橢圓方程為（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(8)若函數
的部分圖象如圖所示，則該函數可能是（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
 |
(9)設
、
、
為三個不同的平面，
、為兩條不同的直線，在
①
，
，
； ②
，，
；
③，
，
； ④
，
，
中，是
的充分條件的為（ ）
(A) ①② (B)②④ (C)②③ (D) ③④
(10)已知函數
，則使得
的的取值范圍是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(11)已知
是第一象限的角，且
，那么
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(10)從5種不同的水果和4種不同的糖果中各選出3種，放入如圖所示的6個不同區域（用數字表示）中拼盤，每個區域只放一種，且水果不能放在有公共邊的相鄰區域內，則不同的放法有（ ）
(A) 
種 (B) 
種 (C) 
種 (D) 
種
 |
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上．
(13)隨機變
量服從正態分布
，若
，則
。
(14)
的展開式中
的系數是
．(用數字作答)
(15)
、
(
為原點)是圓
的兩條互相垂直的半徑，
是該圓上任一點，且
，則
．
(16)如圖，直四棱柱
的底面是直角梯形，
，
，
，
，
是
的中點，則
與面
所成角的大小為
．
(17)(本小題滿分10分)
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
在
中，
，
，
是
的中點，將
表示為角的函數，并求這個函數的值域．
 |
(18)(本小題滿分12分)
商家對某種商品進行促銷活動，顧客每購買一件該商品就即刻抽獎，獎勵額度如下：
獎勵等級
一等獎
二等獎
所占比例
10%
30%
獎金數（元）
100
20
一顧客購買該商品2件，求：
(Ⅰ)該顧客中獎的概率；
(Ⅱ)該顧客獲得獎金數 (元)的概率分布和期望
．
(19)(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側面
是等腰三角形且垂直于底面，
，
，
、
分別是
、
的中點。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
(20)(本小題滿分12分)
已知函數
，其中
．
(Ⅰ)若對于任意的
，
恒成立，求實數
的值；
(Ⅱ)求證：
，
，
為自然對數的底。
(21)(本小題滿分12分)
已知
是雙曲線
的上支，曲線在任一點處的切線為，其中、 分別在直線
和
上，動點的軌跡為曲線
，其中
．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)過原點作直線分別交曲線和于點、，設
，求證
為定值．
(22)(本小題滿分12分)
設數列
的前項和為
，已知
，且
．
(Ⅰ)求
、
的值及的表達式；
(Ⅱ)求數列
的前項和
．
唐山市2008~2009學年度高三年級第一次模擬考試
一、選擇題:
A卷：CCABD BDCBB AA
二、填空題：
(13)
(14)
(15)
(16) 
三、解答題：
(17)解：
由
，知
，又
，由正弦定理，有
，∴
，
，……3分
∴
……………5分
…………8分
∵
，
， ∴
，
故所求函數為
，函數的值域為
……………10分
（18）解：
記顧客購買一件產品，獲一等獎為事件
，獲二等獎為事件
，不獲獎為事件
，則
，
，
（Ⅰ）該顧客購買2件產品，中獎的概率
……………4分
（Ⅱ）
的可能值為0，20，40，100，120，200，其中
，
，
，
，
，
……………8分
的分布列為
……………10分
的期望
（元）…………………………………………………………………12分
（19）解法一：
（Ⅰ）取
中點
，連結
、
，則
，
又
，
∴
，四邊形
是平行四邊形，
∴
，又
，
，
∴
……………………………………………………4分
（Ⅱ）連結
∵
， ∴
，
又平面
平面
，∴
而
， ∴
作
于
，則
，且
，為
的中點。
作
于
，連結
，則
，
于是
為二面角
的平面角。…………………………8分
∵
，
，∴
，
在正方形中，作
于
，則
，
∴
，∴
。
故二面角的大小為
…………………………12分
 |
解法二：如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系，使
軸，
、
分別在
軸、
軸上。
（Ⅰ）由已知，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
又
，∴ ………………………………………4分
（Ⅱ）設
為面
的法向量，則
，且
。
∵
，，
∴
，取
，
，
，則
……………8分
又
為面
的法向量，所以
，
因為二面角為銳角，所以其大小為
…………………………12分
（20）解：
（Ⅰ）
……………………………………………………1分
（1）當
時，由
，知
，
在
單調遞增
而
，則
不恒成立…………………………3分
（2）當
時，令
，得
當
時，
，單調遞增；
時，
，單調遞減，在處取得極大值。
由于
，所以
，解得，即當且僅當時恒成立。
綜上，所求
的值為 …………………………7分
（Ⅱ）
等價于
，
下證這個不等式成立。
由（Ⅰ）知
，即
，
……………9分
∴
…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）曲線
方程可寫為
，
設
，則
，又設
、
、
曲線在點處的切線斜率
，則切線
方程為
，
即
，亦即
…………………………3分
分別將、
坐標代入切線方程得
，
∴
，
由
，得
， ①
， ②
∴
……………7分
∵
，∴
，
則由②式得
。
從而曲線
的方程為
…………………………8分
（Ⅱ）軸與曲線、交點分別為
、
，此時
……9分
當
、
不在軸上時，設直線
方程為
。
若
，則、在第一象限，
由
，得
，由
得
，
∴………………………………………11分
因為曲線和都關于軸對稱，所以當
時，仍有
綜上，題設的
為定值
…………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）由
，且
，得
當
時，
，解得
；
當
時，
，解得
猜想：
……………………………………………………2分
用數學歸納法證明如下
（1） 當時，命題顯然成立。………………………………………3分
（2） 假設當
時命題成立，即
，那么
由
，得
于是，當
時命題仍然成立………………………………………6分
根據（1）和（2），對任何
，都有…………………………7分
（Ⅱ）當
時，
，且對于也成立。
因此，
對于，由
，得
，……………10分
，
綜上，
………………………………………12分
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