遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈6：
幾何題
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化.
例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形
，使
垂直且等于AT，使
垂直且等于BT，
交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.
(1)寫出直線的方程；
（2）計算出點P、Q的坐標；
（3）證明：由點P發出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.
講解: 通過讀圖, 看出
點的坐標.
(1 ) 顯然
, 
于是 直線
的方程為
；
（2）由方程組
解出 
、
；
（3）
,
.
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.
需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓
有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．
講解：從直線
所處的位置, 設出直線的方程,
由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為
代入橢圓方程
得
化簡后，得關于
的一元二次方程
于是其判別式
由已知，得△=0．即
①
在直線方程
中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點P的坐標為（x，y），
由已知，得
代入①式并整理，得 
, 即為所求頂點P的軌跡方程．
方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線
的離心率
，過
的直線到原點的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線
交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
講解：∵（1）
原點到直線AB：
的距離
.
故所求雙曲線方程為 
（2）把
中消去y，整理得 
.
設
的中點是
，則
即
故所求k=±
.
為了求出
的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程.
例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．
講解：（1）設
, 對
由余弦定理, 得
，
解出
（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當k存在時，設l的方程為
………………①
橢圓方程為
由 得 
.
于是橢圓方程可轉化為
………………②
將①代入②，消去
得 
,
整理為的一元二次方程，得 
.
則x1、x2是上述方程的兩根．且
，
AB邊上的高
代入橢圓方程得
由題意得
=12 所以
…………①
得：
于是橢圓方程可化為：
……②
是上述方程的兩根.
,
,
, 于是 
.
與橢圓
上.
上，求此橢圓的方程.
得
, 
）. 
. 
從而橢圓的右焦點坐標為
設
關于直線
.
軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，
，求直線MQ的方程；
由射影定理，得 
在Rt△MOQ中，
，
，
由
由射影定理得
把（*）及（**）消去a，并注意到
，可得
。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.
，
的取值范圍．
∵|
PA |+| PB |=| CA |+| CB | y
.
, 代入曲線E的方程
，得
, 則
,
或 
.
∴
, 
,
. 
的焦點，且與拋物線相交于A
兩點.
;
.
.
,代入拋物線方程整理得
. 
，則CD的垂直平分線
的方程為
整理得
，
. 
只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此
,
的右支上.