康杰中學2008―2009學年度高三第二次月考
數學試題(理科)
2009．2
注：答案一律寫在答案頁上
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（每題5分，計60分，只有一個正確答案）
1．若點P到直線
的距離比它到點（2，0）距離小1，則點P的軌跡
為（ ）
（A）圓w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線
2．過直線
上的一點作圓
的兩條切線
，當 關于對稱時，它們之間的夾角為（ ）
（A）30°w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （B）45° （C）60° （D）90°
3．
是虛數單位
（ ）
（A）－1 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （B）1 （C）－ （D）
4．設變量
滿足約束條件
則目標函數
的最大值為（ ）
（A）2 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （B）3 （C）4 （D）5
5．設
是兩條直線，
是兩個平面，則
的一個充分條件是（
）
（A）
（B）
（C）
w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （D）
6．已知，隨機變量
服從正態分布
則
=（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．函數
在區間
上的最大值是（
）
（A）1 （B）
（C）
（D）
8．若雙曲線
上橫坐標為
的點到右焦點距離大于它到左準線的距離，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
（A）（1，2 ） （B）
（C）（1，5） （D）（5，+
）
9．若
在
上是減函數，則b的取值范圍是（ ）
（A）
（B） （C）
（D）
10．如圖，在正方體
中，P是側面
內一動點，若P 到直線BC與直線
的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）
（A）直線 （B）圓
（C）雙曲線 （D）拋物線
11．已知數列
，若
存在，則
的范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
12．若
，則
與
的大小關系是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）不能確定
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，計20分）
13．設長方體三條棱長分別為
，若長方體所有棱長的和為24，一條對角線長為5，體積為2，則
.
14．三棱錐中，四根棱長為，其余兩根棱長分別為
，則這個三棱錐的體積是__________.
15．已知：點A
則過A、B兩點直線的傾斜角為_________（用度回答）.
16．若雙曲線
的離心率
，則
的取值范圍是________.
三、解答題：
17．（10分）求：
的最小值.
18．（12分）
的弦OA、OB互相垂直
求O在AB上射影M的軌跡方程
19．（12分）若函數
在區間（1，4）內為減函數，在區間
上為增函數，試求實數的范圍.
20．（12分）如圖：正
與
成直二面角，
（1）求證
（2）求二面角
的大小
（3）求AC與BD所成角的大小
21．（12分）橢圓
中，弦PQ過左焦點F，且
（O為坐標原點）
求橢圓的離心率e的取值范圍.
22．（12分）如圖，在長方體
中，E、P分別是BC，
的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，
（1）求證：MN//面
（2）求二面角P-AE-D的大小
（3）求三棱錐P-DEN的體積
一、1―5 DCADC 6―10 DCBCD 11―12 CA
二、13. 
14.
15.
140° 16. 
三、17．解：
……………………… 8分
∵
∴
∴
∴y的最小值為
…………………… 10分
18．解：設
則：
∴
…………………………2分
∴
……………………………4分
即：
∵
∴
∵
且
∴
又
∴
…………………8分
…………………10分
∴
…………………12分
19．
（2分） 得
將
或
（4分）
當
即
時，
在
上為增函數，不含題意（6分）
當
即
時，在
上為增函數，在
內為減函數，在（
） 上為增函數 （8分）
∴當
時
，當
時
（10分）
∴
解得：
（12分）
20．（1）略 （4分）
（2）解：過點C作
于M 連DM
由（1）知：
面ABC ∴
∴
是二面角D-AB-C的平面角（6分）
設CD=1 ∵
∴
∵
是正三角形
∴
∴
∴
（8分）
（3）取AB、AD、BC中點分別為M、N、O
連AO、MO、NO、MN、OD
則
∴
是AC與BD所成的角。（10分）
∵是正三角形且平面
平面BCD
∴
面BCD 
是
∴
又∵面ABC ∴ 
在
中，
∴
∴直線AC和BD所成角為
（12分）
21．解：設
（1）若PQ
軸時 
且
∴
∴
∴
（4分）
（2）若PQ不垂直x軸時，設
代入
得：
∵
∴
=
=
（8分）
∵ ∴ ∴
∴
（10分） ∴ 
∴
w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
綜上：
（12分）
22．（1）取CD中點為K，連MK、NK
∴
∴面MNK//面ADD
∴ MN//面ADD
（2）設F為AD中點，則PF
面ABCD
作
于H 則
∴
為平面角
∴
∴
故二面角P-AE-D的大小為
（8分）
（3）
D到面
的距離為
∴
（12分）
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