江浦高級中學2009屆高三數學綜合練習
說 明：
本試卷分第Ⅰ卷(文理必答題)和第Ⅱ卷(理科選答題)兩部分，第Ⅰ卷滿分160分，考試時間120分鐘。第Ⅱ卷滿分40分，考試時間30分鐘．
注意事項：
答題前，考生務必將學校、姓名、班級、學號寫在答卷紙的密封線內，答案寫在答卷紙上對應題目的
答案空格內，填空題答案不寫在試卷上．考試結束，將答卷紙收回．
參考公式：
1、用最小二乘法求線性回歸方程系數公式
，
．
2、兩個分類變量
與
的獨立性假設檢驗中
其中
時，有
的把握認為“
與有關系”
時，有
的把握認為“與有關系”
時，有
的把握認為“與有關系”
時，沒有充分的證據顯示“與有關系”
第Ⅰ卷：文理必答題
一、填空題：
1、若復數
為純虛數，則
2、在平面直角坐標系
中，雙曲線中心在原點，焦點在
軸上，一條漸近線方程為
，則它的離心率為
3、平面α外有兩條直線m和n，如果m和n在平面α內的射影分別是m＇和n＇，給出下列四個命題：
（1）m＇⊥n＇
m⊥n;
（2）m⊥n
m＇⊥n＇
（3）m＇與n＇相交m與n相交或重合； （4）m＇與n＇平行m與n平行或重合.
其中不正確的命題是
4、從[0，1]之間選出兩個數，這兩個數的平方和小于0.25的概率是
5、已知點A、B、C滿足
，
，
，則
的值是_____________.
6、若數列
的前
項和
，則數列
中數值最小的項是第 項．
7、棱長為1的正方體
的8個頂點都在球
的表面上，
分別是棱
，
的中點，則直線
被球截得的線段長為
8、設
分別是橢圓
（
）的左、右焦點，若在其右準線上存在
使線段
的中垂線過點
，則橢圓離心率的取值范圍是
9、在所有的兩位數中，任取一個數，則這個數能被2或3整除的概率為
10、為了研究失重情況下男女飛行員暈飛船的情況，抽取了89名被試者，他們的暈船情況匯總如下表，根據獨立性假設檢驗的方法， 認為在失重情況下男性比女性更容易暈船（填能或不能）
暈機
不暈機
合計
男性
23
32
55
女性
9
25
34
合計
32
57
89
11、正三棱錐
高為2，側棱與底面成
角，則點A到側面
的距離是
12、已知O為坐標原點, 
集合
且
13、已知
是以2為周期的偶函數，當
時，
，且在
內，關于
的方程
有四個根，則
得取值范圍是
14、已知點
（1，0）在直線
的兩側，則下列說法
（1）
（2）
時，
有最小值，無最大值
（3）
恒成立
（4）
,
,
則
的取值范圍為（-
其中正確的是 （把你認為所有正確的命題的序號都填上）
二、解答題：
15、（1）推導sin3α關于sinα的表達式；
（2）求sin18°的值．
16、如圖所示，在棱長為2的正方體中，
、
分別為、
的
中點．
（1）求證：//平面
；
（2）求證：
；
（3）求三棱錐
的體積．
17、將圓
按向量
平移得到圓，直線
與圓相交于
、
兩點，若在圓上存在點
，使
求直線的方程.
18、下表提供了某廠節油降耗技術發行后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對應數據.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y=
;
（3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤，試根據（2）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？
（參考數值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
9、已知數列
，
中，
，且
是函數
的一個極值點.
（1）求數列的通項公式；
（2）
若點
的坐標為（1，
）（
，過函數
圖像上的點
的切線始終與
平行（O 為原點），求證：當
時，不等式
對任意
都成立.
20、設函數
，其圖象在點
處的切線
的斜率分別為
．
（1）求證：
；
（2）若函數
的遞增區間為
，求
的取值范圍；
（3）若當
時（k是與
無關的常數），恒有
，試求k的最小值．
第Ⅱ卷：理科加試題
1、在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是
.，每次命中與否互相獨立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望
2、已知二次函數
為常數）；
.若直線
1、2與函數f（x）的圖象以及1，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（1）求
、b、c的值
（2）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
請考生在1、2、3、4四題中任選二題作答，如果多做，則按所做的第1、2題記分．
1、選修4－1：幾何證明選講
如圖，已知
是圓的切線，
為切點，
是圓的割線，與圓交于
兩點，圓心在
的內部，點
是
的中點．
（1）證明
四點共圓；
（2）求
的大小．
2、選修4－2：矩陣與變換
在直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標為A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積
這里M=
N=
3、選修4－4：坐標系與參數方程
和
的極坐標方程分別為
．
（1）把和的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）求經過，交點的直線的直角坐標方程．
4、選修
；不等式選講
設函數
．
（1）解不等式
；
（2）求函數
的最小值．
一、填空題
1、
2、
3、（1）（2）（3）（4） 4、
5、
6、3
7、
8、
9、
10、不能 11、
12、46 13、
14、（3）（4）
二、解答題
15、解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α ．
（2）∵sin54°=cos36°，
∴3sin18°-4sin318°=1-2sin18°．
令t= sin18°，則上式可變形為3t-4t3=1-2t2，即
(t-1)(4t2+2t-1)=0．
解得 
（t= 1與
均不合，舍去）．
∴sin18°=
．
16、證明：（1）連結
，在
中，
、
分別為
，
的中點，則
（2）
3）
且 
，
∴
即
=
=
17、解：由已知圓的方程為
，
按
平移得到
.
∵
∴
.
即
.
又
，且，∴
.∴
.
設
，
的中點為D.
由
，則
，又
.
∴
到
的距離等于
.
即
， ∴
.
∴直線
的方程為：
或
.
18、解：(1)如下圖
(2)
=3
2.5+43+54+64.5=66.5
=
=4.5
=
=3.5
故線性回歸方程為y=0.7x+0.35
(3)根據回歸方程的預測，現在生產100噸產品消耗的標準煤的數量為0.7100+0.35=70.35
故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)
19、解：（1）由
是首項為
，公比為
的等比數列
當
時，
，
所以
（2）由
得
(作差證明)
綜上所述當
時，不等式
對任意
都成立.
20．解：（1）
，由題意及導數的幾何意義得
，
（1）
，
（2）
又
，可得
，即
，故
由（1）得
，代入，再由
，得
，
（3）
將代入（2）得
，即方程
有實根．
故其判別式
得
，或
，
（4）
由（3），（4）得
；
（2）由的判別式
，
知方程
有兩個不等實根，設為
，
又由
知，
為方程（
）的一個實根，則有根與系數的關系得
，
當
或
時，
，當
時，
，
故函數
的遞增區間為
，由題設知
，
因此
，由（Ⅰ）知得
的取值范圍為
；
（3）由
，即
，即
，
因為，則
，整理得
，
設
，可以看作是關于
的一次函數，
由題意
對于恒成立，
故
即
得
或
，
由題意，
，
故
，因此
的最小值為
．
理科加試題：
1、（1）“油罐被引爆”的事件為事件A，其對立事件為
，則P()=C
∴P(A)=1-
答：油罐被引爆的概率為
（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5，
P(ξ=2)=
， P(ξ=3)=C
，
P(ξ=4)=C
， P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
故ξ的分布列為：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
2、解：（1）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值為16
則
，
∴函數f（x）的解析式為
（2）由
得
∵0≤t≤2，∴直線l1與f（x）的圖象的交點坐標為（
由定積分的幾何意義知：
選做
1、解：（1）證明：連結
．
因為
與圓
相切于點
，所以
．
因為
是圓的弦
的中點，所以
．
于是
．
由圓心在
的內部，可知四邊形
的對角互補，所以
四點共圓．
（2）解：由（Ⅰ）得四點共圓，所以
．
由（Ⅰ）得．
由圓心在的內部，可知
．
所以
．
2、解：在矩陣N=
的作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉
得到的圖形，在矩陣M=
的作用下，一個圖形變換為與之關于直線
對稱的圖形。因此
△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積即為1
3、解：以極點為原點，極軸為
軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
為
的直角坐標方程．
同理
為
的直角坐標方程．
（2）由
解得
．
即，交于點
和
．過交點的直線的直角坐標方程為
．
4、解：
（1）令
，則
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函數的圖象，它與直線
的交點為
和
．
所以
的解集為
．
（2）由函數的圖像可知，當
時，取得最小值
．
等于△ABC的面積，
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