絕密★啟用前 試卷類型：A
廣東省深圳市2009年高三年級第一次調研考試
數學（理科） 2009.3
本試卷共6頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監考教師分發的考生信息條形碼是否正確；之后務必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監考教師發放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區，請保持條形碼整潔、不污損。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。不按要求填涂的，答案無效。
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答。漏涂、錯涂、多涂的答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回。
參考公式：
如果事件
互斥，那么
；
如果事件相互獨立，那么
；
橢圓
的準線方程為
，其中
；
若球的半徑為
，則球的表面積為
，體積為
．
一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1．如果復數
的實部與虛部互為相反數，則
的值等于
A．
B．
C．
D．
2．右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是
A．
B．
C．
D．
3．若函數
的圖象如右圖，其中
為常數．則函數
的大致圖象是
A． B． C． D．
4．設平面區域
是由雙曲線
的兩條漸近線和橢圓
的右準線所圍成三角形的邊界及內部．若點
，則目標函數
的最大值為
A． B． C．
D．
5．定義行列式運算：
將函數
的圖象向左平移
個單位
，若所得圖象對應的函數為偶函數，則的最小值是
A．
B．
C．
D．
6．利用計算機在區間
上產生兩個隨機數和
，則方程
有實根的概率為
A．
B．
C．
D．
7．在右圖的表格中，如果每格填上一個數后，每一橫行成等差數列，每一縱列成等比數列，那么
的值為
A． B．
C． D．
8．用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為
的
個小正方形（如右圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“、
、”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有
A．
種 B．
種
C．
種 D．
種
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．本大題分為必做題和選做題兩部分．
（一）必做題：第9、10、11、12題為必做題，每道試題考生都必須做答
9．某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有
種、
種、
種、
種不同的品牌．現
采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為
的樣本進行三聚氰胺安全檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數是
，則
．
10．已知為正偶數，且
的展開式中第項的二項式系數最大，則第項的系數是
．（用數字作答）www.diembft.com
11．已知命題
，
．若命題
是假命題，則實數的取值范圍是
．
12．已知
是
的中線，
，那么
；若
，
，則
的最小值是
．
（二）選做題：第13、14、15題為選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題的得分．
13．（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系中，曲線
的參數方程為
，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
在極坐標系中的方程為
．若曲線與有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是
．
14．（幾何證明選講選做題）如圖，
切⊙
于點
，
交⊙于
、
兩點，且與直徑
交于點，
，
，
，則
．
15．（不等式選講選做題）若不等式
，對滿足
的一切實數、、恒成立，則實數的取值范圍是
．
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）www.diembft.com
已知函數
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）設
，求的值域和單調遞增區間．
17．（本小題滿分12分）
如圖，
為圓的直徑，點
、
在圓上，
，矩形
所在平面和圓所在的平面互相垂直．已知
，
．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（Ⅲ）當
的長為何值時，二面角
的大小為
？
18．（本小題滿分14分）
甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得
分（無平局），比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為
，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為
．
（Ⅰ）若右圖為統計這次比賽的局數
和甲、乙的總得分數
、
的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入
，
；如果乙獲勝，則輸入
．請問在第一、第二兩個判斷框中應分別填寫什么條件？
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）設
表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量
的分布列和數學期望
．
注：“
”，即為“
”或為“
”．
19．（本題滿分14分）
已知函數
（
，
）．
（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）若不等式
對一切正整數恒成立，求實數
的取值范圍．
20．（本題滿分14分）
在四邊形
中，已知
，點在軸上， 
，且對角線
．
（Ⅰ)求點
的軌跡方程；
（Ⅱ)若點
是直線
上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線
、
，、為切點，
為
的中點．求證：
軸；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．
21．（本題滿分14分）
已知函數
，
為函數的導函數．
（Ⅰ）若數列
滿足：
，
（
），求數列的通項
；
（Ⅱ）若數列
滿足：
，
（）．
（?）當
時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項
；若不是，請說明理由；
（?）當
時，求證：
．
2009年深圳市高三年級第一次調研考試
數學(理科)答案及評分標準
說明：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
D
C
A
B
B
A
二、填空題：本大題每小題5分(第12題前空2分，后空3分)，滿分30分．
9．
．
10．
．
11． 
．
12． ；
．
13．
． 14．
．
15．
．
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）設，求的值域和單調遞增區間
【解】（Ⅰ）∵
.
……………… 3分
的最小正周期為
．
………………… 5分
（Ⅱ）∵， 
， 
．
的值域為
． ……………… 10分
當
遞減時，遞增．
，即
．
故的遞增區間為
．
……………………12分
17．（本小題滿分12分）
如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形和圓所在的平面互相垂直．已知,．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
(Ⅲ)當的長為何值時，二面角的大小為？
【解】（Ⅰ）證明：平面
平面
,
,
平面
平面=，
平面．
平面，
，
又
為圓的直徑，
，
平面．
平面
，
平面平面．
………………………4分
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的證明，有
平面，
為在
平面上的射影，
因此，
為直線與平面所成的角．
………………………5分
，四邊形為等腰梯形，
過點作
，交于
．
,，則
．
在
中，根據射影定理
，得
． ………………………7分
，
．
直線與平面所成角的大小為
．
………………………8分
(Ⅲ)（解法一）過點作
，交的延長線于點，連
．
根據（Ⅰ）的證明，
平面，則
，
為二面角的平面角，
．
…………………9分
在
中，
，,
．
………………… 10分
又四邊形
為矩形， 
．
．
因此，當的長為
時，二面角的大小為．
…………………12分
（解法二）設中點為
，以為坐標原點，
、
、方向
分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）
設
，則點的坐標為
在中，，,．
點的坐標為
，點的坐標為
,
，
設平面
的法向量為
，則
,
．
即
令
，解得
…………………10分
取平面
的一個法向量為
，依題意
與
的夾角為
，即
， 解得
（負值舍去）
因此，當的長為時，二面角的大小為．
…………………12分
18．（本小題滿分14分）
甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，
負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿
局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，
且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽
停止的概率為．
若右圖為統計這次比賽的局數和甲、乙的總得
分數
、的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入
，
；如果乙獲勝，則輸入
．
寫什么條件？
（Ⅰ）在右圖中，第一、第二兩個判斷框應分別填
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量
的分布列和數學期望．
注：“”，即為“”或為“”．
【解】（Ⅰ）程序框圖中的第一個條件框應填
，第二個應填
． ………………… 4分
注意：答案不唯一．
如：第一個條件框填
，第二個條件框填
，或者第一、第二條件互換．都可以．
（Ⅱ）依題意，當甲連勝局或乙連勝局時，第二局比賽結束時比賽結束．
有
．
解得
或
．
…………………………………6分
， 
．
………………………… 7分
（Ⅲ）（解法一）依題意知，的所有可能值為2，4，6．
………………………… 8分
設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．
若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．
從而有
，
，
．
隨機變量的分布列為：
…………………………… 12分
故
．
…………………………… 14分
（解法二）依題意知，的所有可能值為2，4，6．
………………… 8分
令
表示甲在第
局比賽中獲勝，則
表示乙在第局比賽中獲勝．
由獨立性與互不相容性得
，
，
．
………………… 12分
隨機變量的分布列為：www.diembft.com
故．
………………… 14分
19．（本題滿分14分）
已知函數
（，）．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若不等式
對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍．
【解】（Ⅰ）
………………… 2分
，
由
，得
．
，
，
．
又
．
函數的單調遞增區間為
,遞減區間為
． ………… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式，即為
．……………（※）
令
，當
時，．
則不等式（※）即為
．
…………………9分
令
，
，
在的表達式中，當
時，
，
又時，
，
在
單調遞增，在
單調遞減．
在
時，取得最大，最大值為
．
…………………12分
因此，對一切正整數，當
時，
取得最大值
．
實數的取值范圍是
．
………………………… 14分
【法二】不等式，即為．………………（※）
設
，
，
令
，得
或
．
………………………… 10分
當
時，
，當
時，
．
當時，取得最大值．
因此，實數的取值范圍是．
………………………… 14分
20．（本題滿分14分）
在四邊形中，已知，點在軸上， ，且對角線．
（Ⅰ) 求點的軌跡的方程；
(Ⅱ)若點是直線上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線、
，、
為切點，為的中點．求證：
軸或與軸重合；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．
【解】（Ⅰ)如圖，設點的坐標為
，
則
，
，
，即
．
∴所求的軌跡是除去頂點的拋物線
……………… 3分
（解法一）(Ⅱ)對函數
求導得，
．
設切點坐標為
，則過該切點的切線的斜率是
，該切線方程是
．
又設點的坐標為
，
切線過點，有
，
化簡，得
．
…………………………6分
設、兩點的坐標分別為
、
，則
、
為方程
的兩根，
．
因此，當
時，直線與軸重合，當
時，直線與軸平行 …………9分
(Ⅲ) 
．
點的坐標為
．
又
．
直線的方程為：
，即
．………（
）
當
時，方程（）恒成立，
對任意實數
，直線恒過定點，定點坐標為
． …………………………14分
（解法二）(Ⅱ)設點的坐標為，利用切點弦直線方程的結論可得出直線的方程為
，即
…………………………7分
由
得.
．
.
因此，當時，直線與軸重合，當時，直線與軸平行. ……………9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為，即．
后面解法同解法一.
21．（本題滿分14分）
已知函數，為函數的導函數．
（Ⅰ）若數列滿足：，（），求數列的通項；
（Ⅱ）若數列滿足：，（）．
（?）當時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項；若不是，請說明理由；
（?）當時， 求證：．
【解】（Ⅰ）
，
…………………………1分
，
即
．
…………………………3分
， 數列
是首項為，公比為的等比數列．
，即
．
…………………………5分
（Ⅱ）（?）
，
．
當
時，
．
假設
，則
．
由數學歸納法，得出數列為常數數列，是等差數列，其通項為
． …………8分
（?）
，
．
當
時，
．
假設
，則
．
由數學歸納法，得出數列
．……………10分
又
，
，
即
．
…………………………12分
．
，
．
…………………………14分
審題：石永生 命題：喻秋生 姚亮 黃元華
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