2009年廣東省深圳市高三年級第一次調研考試
數學（文科） 2009.3
本試卷共6頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監考教師分發的考生信息條形碼是否正確；之后務必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監考教師發放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區，請保持條形碼整潔、不污損。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。不按要求填涂的，答案無效。
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答。漏涂、錯涂、多涂的答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回。
參考結論：
橢圓
的右準線方程為
.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．如果復數
的實部與虛部是互為相反數，則
的值等于
A．
B．
C．
D．
2．已知兩條不同直線
和
及平面
，則直線
的一個充分條件是
A．
且
B．
且
C．且
D．且
3．在等差數列
中，
，
表示數列的前
項和，則
A．
B．
C．
D．
4．右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是
A．
B．
C．
D．
5．已知點
落在角
的終邊上，且
，則的值為
A．
B．
C．
D．
6．按如下程序框圖，若輸出結果為
，則判斷框內應補充的條件為
A．
B．
C．
D．
7．若平面向量
與
的夾角是
，且
，則
的坐標為
A．
B．
C．
D．
8．若函數
的大致圖像如右圖，其中
為常數，
則函數
的大致圖像是
A． B． C． D．
9．設平面區域
是由雙曲線
的兩條漸近線和橢圓
的右準線所圍成的三角形（含邊界與內部）．若點
，則目標函數
的最大值為
A． B． C．
D．
10．設
，又記
則
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．本大題分為必做題和選做題兩部分．
（一）必做題：第11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須做答
11．某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有
種、
種、
種、
種不同的品牌．現采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本進行三聚氰胺安全檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數是
，則
．
12．已知命題
，
．若命題
是假命題，則實數的取值范圍是
．
13．在
中，若
，則
外接圓半徑
．
運用類比方法，若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長度分別為
，則其外接球的半徑
=
．
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算第一題的得分．
14．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，過點
作圓
的切線，則切線的極坐標方程是
．
15．（幾何證明選講選做題）如圖，
是⊙
的直徑，
是延長線上的一點，過作⊙的切線，切點為
，
，若
，則⊙的直徑
．
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）設
，求的值域．
17．（本小題滿分12分）
先后隨機投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現的點數，
表示第枚骰子出現的點數．
（Ⅰ）求點
在直線
上的概率；
（Ⅱ）求點滿足
的概率．
18．（本小題滿分14分）
如圖，為圓的直徑，點
、
在圓上，
，矩形
所在的平面
和圓所在的平面互相垂直，且
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）設
的中點為
，求證：
平面
；
（Ⅲ）設平面將幾何體
分成的兩個錐體的體積分別為
，
，求
．
19.（本題滿分14分）
已知函數
，其中
為實數.
（Ⅰ）若
在
處取得的極值為，求的值；
（Ⅱ）若在區間
上為減函數，且
，求的取值范圍.
20．（本題滿分14分）
如圖，兩條過原點的直線
分別與軸、軸成
的角，已知線段
的長度為，且點
在直線
上運動，點
在直線上運動．
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設過定點
的直線
與(Ⅰ)中的軌跡交于不同的兩點
、
，且
為銳角,求直線的斜率
的取值范圍．
21．（本小題滿分14分）
設數列
的前項和為
，
，且對任意正整數,點
在直線
上.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數
，使得數列
為等差數列？若存在，求出的
值；若不存在，則說明理由.
（Ⅲ）求證：
.
2009年深圳市高三年級第一次調研考試數學（文科）答案及評分標準
說明：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
B
C
D
D
A
B
C
D
二、填空題：本大題每小題5分；第14、15兩小題中選做一題，如果兩題都做，以第14題的得分為最后得分)，滿分20分．
11．
. 12．
. 13．
． 14．
． 15． 4.
三、解答題：本大題滿分80分．
16．（本小題滿分12分）
已知函數．
學科網
（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）設，求的值域．學科
網解：（Ⅰ）∵
學科網
學科
…………………… 3分
…………………… 4分
．
…………………… 6分
的最小正周期為
．
…………………… 7分
（Ⅱ）∵，
，
…………………… 9分
又
，
， …………………… 11分
的值域為
．
…………………… 12分
17．（本小題滿分12分）
先后隨機投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現的點數，表示第枚骰子出現的點數．
（Ⅰ）求點在直線上的概率；
（Ⅱ）求點滿足的概率．
解：（Ⅰ）每顆骰子出現的點數都有種情況，
所以基本事件總數為
個. …………………… 2分
記“點在直線上”為事件，有5個基本事件：
，
…………………… 5分
…………………… 6分
（Ⅱ）記“點滿足”為事件，則事件有
個基本事件:
當
時，
當
時，
；
…………………… 7分
當
時，
；當
時，
…………………… 9分
當
時，
；當
時，． …………………… 11分
…………………… 12分
18．（本小題滿分14分）
如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面
和圓所在的平面互相垂直，且，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設的中點為，求證：平面；
(Ⅲ) 設平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為，，求．
（Ⅰ）證明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=，
平面，
平面，
,……… 2分
又
為圓的直徑，
，
…………………… 4分
平面。
…………………… 5分
（Ⅱ）設
的中點為
，則
，又
，
則，
為平行四邊形，
…………………… 8分
，又
平面，
平面，
平面。
…………………… 10分
(Ⅲ)過點作
于
，平面平面，
平面，
， …………………… 12分
平面，
，………………… 13分
． …………………… 14分
19.（本小題滿分14分）
已知函數，其中為實數.
(Ⅰ) 若在處取得的極值為，求的值;
（Ⅱ）若在區間上為減函數，且，求的取值范圍.
解：(Ⅰ)由題設可知:
且
，
……………… 2分
即
，解得
……………… 5分
（Ⅱ）
，
……………… 6分
又在上為減函數，
對
恒成立，
……………… 7分
即
對恒成立.
且
，
……………… 11分
即
，
的取值范圍是
……………… 14分
20．（本題滿分14分）
如圖，兩條過原點的直線分別與軸、軸成的角，已知線段的長度為，且點在直線上運動，點在直線上運動．
(Ⅰ) 求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設過定點的直線與(Ⅰ)中的軌跡交于不同的兩點、，且為銳角,求直線的斜率的取值范圍．
解：（Ⅰ）由已知得直線
，：
，
：
， ……… 2分
在直線上運動，直線上運動，
,
，
…………………… 3分
由
得
，
即
，
，
…………………… 5分
動點的軌跡的方程為
． …………………… 6分
（Ⅱ）直線方程為
，將其代入，
化簡得
， ……… 7分
設
、
，
，
且
， …………………… 9分
為銳角，
，
…………………… 10分
即
，
，
．
將代入上式，
化簡得
，
．
…………………… 12分
由
且
，得
． ……………………14分
21．（本小題滿分14分）
設數列的前項和為，，且對任意正整數,點在直線上.
(Ⅰ) 求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.
（Ⅲ）求證： .
解：(Ⅰ)由題意可得：
①
時, 
②
…………………… 1分
①─②得
， 
…………………… 3分
是首項為，公比為
的等比數列，
……………… 4分
（Ⅱ）解法一:
……………… 5分
若
為等差數列，
則
成等差數列, ……………… 6分
得
……………… 8分
又
時，
，顯然
成等差數列，
故存在實數，使得數列
成等差數列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使
成等差數列,只須
即便可. ……………8分
故存在實數，使得數列成等差數列. ……………… 9分
（Ⅲ）
…… 10分
………… 11分
………… 12分
又函數
在
上為增函數，
，
………… 13分
，．
……… 14分
命題：胡慶華 王光寧 康 宇 審題：石永生
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