2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷理科數學
（六）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的．
1．復數
A．
B．
C．
D．
2．設集合
，且
，且
，則
中的
元素個數是
A．9 B．
3．若
，則
，
，
的大小關系是
A．
B．
C．
D．
4．設變量
，
滿足約束條件
，則目標函數
的最大值為
A．5 B．
5．據統計，甲、乙兩人投籃的命中率分別為0．5、0．4，若甲、乙兩人各投一次，則有人
投中的概率是
A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8
6．
展開式中含
的系數是
A．6 B．12 C．24 D．48
7．設
，則
在
上的最大值與最小值分別
是
A．
與
B．1與
C．與 D．1與
8．某地區的經濟在某段時間內經歷了高漲、保持、下滑、危機、蕭條、復蘇幾個階段，則
該地區的經濟量
隨時間
的變化圖象大致可能是
9．已知雙曲線
的一條準線與拋物線
的準線重合，則該雙曲線
的離心率為
A．
B．
C．
D．
10．已知
是正四面體，
為
之中點，則
與
所成的角為
A．
B．
C．
D．
11．直線
與直線
互相垂直，、
且
，則
的最小值為
A．1 B．2 C．3 D．4
12．正四面體
的外接球的體積為
，則點
到平面
的距離為
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。共20分．把答案填在題中橫線上．
13．若
則在上的投影是
．
14．設
，若
在
處連續，則
．
15．
、
是橢圓
的兩個焦點，
為橢圓上一動點，若
為鈍角，則點
的橫坐標的范圍是
．
16．設有四個條件：
① 平面
與平面
，
所成的銳二面角相等；
② 直線
平面
平面；
③ 
是異面直線，
，且
；
④ 平面內距離為
的兩條平行直線在平面內的射影仍為兩條距離為的平行直線．
其中能推出
的條件有
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知向量
，且、
、
分別為
的三邊，，所對的角．
（1）求角的大小；
（2）若
，求的面積．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙等四名醫務志愿者被隨機地分到、、三個不同的地震災區服務，每個災區至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙兩人同時參加災區服務的概率；
（2）求甲、乙兩人在同一個災區服務的概率；
（3）設隨機變量
為這四名志愿者中參加災區服務的人數，求的分布列．
19．（本小題滿分12分）
如圖，直二面角
中，四邊形是邊長為2的正方形，
為CE上的點，且
平面
．
（1）求證
平面
；
（2）求二面角
的大小．
20．（本小題滿分12分）
已知數列
、
滿足
，且
，
（1）令
，求數列
的通項公式；
（2）求數列的通項公式及前
項和公式
．
21．（本小題滿分12分）
已知曲線上任意一點到橢圓
（
為正常數）右焦點
的距離等于到定直線
的距離．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上過點的直線，且
，試證
．
22．（本小題滿分12分）
設函數
曲線
在點
處的切線方程為
．
（1）求的解析式；
（2）證明：函數的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（3）證明：曲線任一點的切線與直線
和直線
所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 
1l．B 12．A
1．解析：
，故選A．
2．解析：
，∴選C．
3．解析：
是增函數 
故
，即
又
，故選B．
4．解析：如圖作出可行域，作直線
，平移直線
至
位置，使其經過點
．此時目標函數取得最大值（注意
與
反號）
由
得
，故選A
5．解析：設有人投中為事件，則
，
故選C．
6．解析：
展開式中能項；
由
，得
，故選C．
7．解析：
由
得
，故選D．
8．略
9．解析：由
得準線方程
，雙曲線準線方程為
，解得
，
，故選D．
10．解析：設正四面體的棱長為2，取
中點為
，連接
，則
為
與
所成的角，在
中
，故選B．
11．解析：由題意
，則
，故選B．
12．解析：由已知
，
為球的直徑
，又
，
設
，則
，
又由
，解得
，故選A．
另法：將四面體
置于正方休中．
正方體的對角線長為球的直徑，由此得
，然后可得
．
二、
13．解析：
在
上的投影是
．
14．解析：
，且
．
15．解析：
，
由余弦定理
為鈍角
，即
，
解得
．
16．
解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為
，顯然
與
為平面
內兩條距離為的平行直線，它們在底面內的射影
、
仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．
三、
17．解：（1）
，
，
即
，故
．
（2）
由
得
．
設邊上的高為
，則
．
18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區服務為事件，則
．
（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區服務為事件
，那么
．
（3）隨機變量
可能取得值為1，2，事件“
”是指有兩人同時參加災區服務，則
，所以
．
分布列是
1
2
19．解：（1）
平面
∵二面角
為直二面角，且
，
平面
平面
．
（2）（法一）連接
與高交于
，連接
是邊長為2的正方形， 
，
二平面
，由三垂線定理逆定理得
是二面角
的平面角
由（1）
平面
，
．
在
中，
∴在
中，
故二面角等于
．
（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點
為坐標原點建立空間坐標系
，則
，
設平面的法向量分別為
，則由
得
，而平面
的一個法向理
故所求二面角等于
．
20．解：（1）由題設
，即
易知
是首項為
、公差為2的等差數列，
∴通項公式為
，
（2）由題設，
，得
是以
公比為
的等比數列．
由
得
．
21．解：（1）由題意
，由拋物線定義可求得曲線
的方程為
．
（2）證明：設、的坐標分別為
若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：
， 
若沒有斜率時，方程為
．
又
．
；又
，
．
22．（1）解：
，于是
，
解得
或
因
，故
．
（2）證明：已知函數
都是奇函數．
所以函數
也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而
．
可知．函數
的圖象按向量
平移，即得到函數
的圖象，故函數的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，
（3）證明；在曲線上作取一點
，
由
知，過此點的切線方程為
．
令
，得
，切線與直線交點為
．
令
，得
切線與直線交點為
，直線與直線與直線的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為
所以，圍成三角形的面積為定值2．
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