2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）
文科數(shù)學(xué)（必修+選修）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁.第Ⅱ卷3至10頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）
注意事項(xiàng)：
1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，不能答在試題卷上，
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)－P(B)
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P(A,B) －P(A)=P(B)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng)。
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）
文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）
第Ⅱ卷（共90分）
注意事項(xiàng)：
1. 用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。
2. 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。
（13）某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是 .
（14）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，＝14，－＝30，則＝ .
（15）已知拋物線，過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(兩點(diǎn)，則y的最小值是
（16）如圖，在正三棱柱ABC-中，所有棱長均為1，則點(diǎn)B到平面ABC的距離為 .
（17）（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 討論f(x)的極值.
（18）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝A且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)計(jì)算f(1)+f(2)+…+f(2008).
（19）（本小題滿分12分）
盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；
(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念；
(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.
(20) （本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且為何值時(shí)，PC⊥平面BMD.
（21）（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程.
（22）（本小題滿分14分）
已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求數(shù)列
(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。
答案
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)
文科數(shù)學(xué)答案
一、選擇題
1、D 2、C 3、A 4、D 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A
10、D 11、A 12、B
二、填空題
13、150 14、54 15、32 16、
（1） 定義集合運(yùn)算：A⊙B=?z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B?,設(shè)集合A＝ ｛0,1｝,B＝ ｛2,3｝,則集合A⊙B的所有元素之和為（D）
(A) 0 (B)6 (C)12 (D)18
解：當(dāng)x＝0時(shí)，z＝0，當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，z＝6，當(dāng)x＝1，y＝3時(shí)，z＝12，故所有元素之和為18，選D
(2)設(shè)（ C ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解：f（f（2））＝f（1）＝2，選C
（3）函數(shù)（A ）
(A) (B) (C) (D)
解：函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)為，它的圖象是函數(shù)向右移動(dòng)1個(gè)單位得到，選A
(4)設(shè)向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為（D ）
(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）
解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），設(shè)向量c＝（x，y），依題意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，選D
（5）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)＝－f(x)，則f(6) 的值為（ B ）
(A) －1 (B)0 (C)1 (D)2
解：因?yàn)?i>f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函數(shù)f（x）的周期為4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，選B
（6）在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A=,a=,b=1，則c=（ B ）
(A)1 (B)2 (C) －1 (D)
解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，選B
（7）在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ C ）
(A) (B)2 (C) (D)2
解：不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有，
據(jù)此解得e＝，選C
（8）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（ C ）
(A)1∶ (B)1∶3 (C)1∶3 (D)1∶9
解：設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為1∶3，選C
（9）設(shè)p∶∶0，則p是q的（A ）
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
解：p：Û－1<x<2，q：0Ûx<－2或－1<x<2，故選A
(10)已知()的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ D ）
(A)－1 (B)1 (C)－45 (D)45
解：第三項(xiàng)的系數(shù)為，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為可得n＝10，則＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45，選D
（11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ A ）
(A)33 (B)34 (C)35 (D)36
解：不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個(gè)數(shù)確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，故所求的個(gè)數(shù)為36－3＝33個(gè)，選A
（12）已知x和y是正整數(shù)，且滿足約束條件則z＝2x＋3y的最小值是（ B ）
四、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng)。
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
解：畫出可域：如圖所示
易得
B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）且當(dāng)直線z＝2x＋3y
過點(diǎn)B時(shí)z取最大值，此時(shí)z＝24，點(diǎn)
C的坐標(biāo)為（3.5，1.5），過點(diǎn)C時(shí)取得最小值，
但x，y都是整數(shù)，最接近的整數(shù)解為（4，2），
故所求的最小值為14，選B
三、解答題
17．解：由已知得 ，
令，解得 .
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：
0
+
0
0
極大值
極小值
從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.
18．
解：（I）
的最大值為2，.
又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，，
.
過點(diǎn)，
又∵
.
（II）解法一：，
.
又的周期為4，，
解法二：
又的周期為4，，
19．
解：（I）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意
（II）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，則
（III）“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對立事件，因?yàn)?/p>
所以 .
20．解法一：
平面，
又，
由平面幾何知識得：
（Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，
四邊形是等腰梯形，
又
四邊形是平行四邊形。
是的中點(diǎn)，且
又，
為直角三角形，
在中，由余弦定理得
故異面直線PD與所成的角的余弦值為
（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角
，
二面角的大小為
（Ⅲ）連結(jié)，
平面平面，
又在中，
，
，
故時(shí)，平面
解法二：
平面
又，，
由平面幾何知識得：
以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，
（Ⅰ），
，
。
。
故直線與所成的角的余弦值為
（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由于，，
由 得
取，又已知平面ABCD的一個(gè)法向量，
又二面角為銳角，
所求二面角的大小為
（Ⅲ）設(shè)，由于三點(diǎn)共線，，
平面，
由（1）（2）知：
，。
故時(shí)，平面。
21．解：設(shè)橢圓方程為
（Ⅰ）由已知得
∴所求橢圓方程為 .
（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為
由，消去y得關(guān)于x的方程：
由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，
解得
又由韋達(dá)定理得
原點(diǎn)到直線的距離
.
解法1：對兩邊平方整理得：
（*）
∵，
整理得：
又，
從而的最大值為，
此時(shí)代入方程（*）得
所以，所求直線方程為：.
解法2：令，
則
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，
此時(shí).
所以，所求直線方程為
解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.
設(shè)直線l的方程為，
則直線l與x軸的交點(diǎn)，
由解法一知且，
解法1：
=
.
下同解法一.
解法2：
下同解法一.
22．解：（I）由已知得
又
是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（II）由（I）知，
將以上各式相加得：
（III）解法一：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
由（I）、（II）知，
又
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.
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