宜春市2006年高考摸擬考試
數學（文科）試卷
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．在等比數列{an}中，前n項的和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則公比q的值是
A．2 B．－2 C．3 D．－3
2．直線
＋y－2
＝0截圓x2+y2=4所得的劣弧所對的圓心角為
A．
B．
C．
D．
3．不等式｜x－a｜<1成立的充分不必要條件是
<x<
，則實數a的取值范圍是
A．<a< B．≤a≤ C．a>或a< D．a≥或a≤
4．當f（x）＝3sinx＋4cosx取最大值時，tanx的值是
A．
B．
C．
D．－
5．橢圓
＝1的長軸為A
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．將7名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍中至少安排2名學生，那么互不相同的分配方案共有
A．252種 B．112種 C．70種 D．56種
7．已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝1}，映射f：A→B，在f作用下點(x，y)的象是（2x，2y），象的集合恰是B，則集合B是
A．{（x，y）｜x＋y＝2，} B．{（x，y）｜xy＝1，x>0，y>0}
C．{（x，y）｜xy＝2，x<0，y<0} D．{（x，y）｜xy＝2，x>0，y>0}
8．在半徑為，∠ACB＝60°，則球心O到平面ABC的距離為
A．
9．設O為△ABC所在平面內一點，若（
＋
）?
＝（＋
）?
＝（＋）?
，則O為△ABC的
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
10．若在二項式（x＋3）10的展開式中任取一項，則該項的系數為奇數的概率為
A．
B．
C．
D．
11．已知函數y＝f（x）存在反函數y＝f－1（x），若y＝f（x－1）的反函數恰好為y=f -1（x－1），則下列結論正確的是
A．f（x）＝f（x－1） B．f（x）＝－f（x－1）
C．f（x）－f（x－1）＝1 D．f（x）－f（x－1）＝－1
12．規定：2階行列式
＝a1b2－a2b1，3階行列式
＝a1
－a2
+a3
，且已知
＝3，則
的值為
A．3 B．
C.6 D.24
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分。請將答案填在題中橫線上.)
13.方程
=1表示焦點在y軸且離心率為
的橢圓，則m=______.
14.已知實數x，y滿足
時，(x-3)2+(y-2)2有最大值M，最小值m,則M+m=_____.
15.關于x的函數y=logm2[(m2
16.如果函數f(x)的定義域為R，對于m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)-6,且f(-1)是不大于5的正整數，當x>-1時，f(x)>0,那么具有這些性質的函數f(x)=_____.(注：填上你認為正確的一個函數即可，不必考慮所有可能的情形).
三、解答題(本大題共6小題，共74分。17-21題每題12分，22題14分。解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且
(1)求角B的大小；
(2)若b=
,a+c=4，求△ABC的面積.
18.已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=
(an+1)2，且an>0
(1)求{an}的通項公式；
(2)令Cn=
,求數列{Cn}的前n項的和Tn.
19.從1至20這20個正整數中取出三個不同的數，求
(1)取得的三數之和是3的倍數的概率；
(2)取得的三數之積是4倍的概率。
20.已知直三棱柱ABC-A1B
(1)求證：DE∥平面ABC；
(2)求二面角B1-AF-B的大小；
(3)求三棱錐F-B1AE的體積.
21.已知函數f(x) = -x3+ax2+b的圖象上任意兩點連線的斜率都小于1.
(1)判斷函數g(x)=f(x)-x的單調性，并加以證明；
(2)求實數a的取值范圍.
22.設x、y∈R,
是直角坐標平面內x、y軸正方向的單位向量，若
,
,且
(1)求點M(x,y)的軌跡C的方程；
(2)過點(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設
是否存在這樣的直線l，使
？若存在，求出l的方程；若不存在，試說明理由.
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
C
B
D
C
B
C
D
C
二、填空題
13.
14.
15.1<m<2 16.2x+6
三、解答題
17.(1)將正弦定量代入條件得：
…………2分
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+sin(B+C)=0
由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0 …………4分
又sinA>0,∴cosB=-
,又0<B<π，∴B=
…………6分
(2)由余弦定理有：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac將b=
,a+c=4代入得ac=3
…………10分
∴S△ABC=
…………12分
18.(1)由Sn=
(an+1)2,且an>0,得a1=S1=(a1+1)2,解得a1=1n≥2時，an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2
(an-1)2-(an-1+1)2=0, (an+an-1)(an-an-1-2)=0
∴an-an-1-2=0, 即an-an-1=2, ∴{an}是公差為2的等數列
∴an=2n-1 …………6分
(2)Cn=
Tn=
∴
∴Tn=1+1
…………12分
19.(1)20個數中有3的倍數6個，除以3余1的7個，余2的7個 …………2分
P1=
…………6分
(2)20個奇數有10個偶數有10個，其中5個是4的倍數。 …………8分
∴P2=1
…………12分
20.(1)連結A1B、A1E，并延長A1E交AC的延長線于點P，連BP由E為C
∵D、E分別是A1B、A1P的中點，
∴DE∥BP
又BP
面ABC，DE
面ABC
∴DE∥平面ABC …………4分
(2)∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，F為BC的中點
∴BC⊥AF
∵BB1⊥平面ABC，∴B
∴∠B1FB為二面角B1-AF-B的平面角
在Rt△B1BF中，∠B1BF=90°，B1B=a,BF=
∴tan∠B1FB=
∴∠B1FB=arctan
…………8分
即二面β1-AF-B的大小為arctan
(3)∵B
∴B
由AF⊥BC，有AF⊥平面B1BCC1，即AF⊥平面B1EF
∴VF-B1AE=VA-B1EF=
…………12分
(注：用向量解法可參照給分)
21.證：(1)設f(x)上任意兩點，A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))不妨令x1>x2
∵
∴f(x1)-f(x2)<x1-x2
即f(x1)-x1<f(x2-x2)令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x+b
∵當x1>x2時g(x1)<g(x2)
∵g(x)單調遞減 ……………6分
(2)∴g(x)單調遞減∴g′(x)≤0恒成立
∴-3x2+2ax-1≤0恒成立
∴△=
∴-
≤a≤ ……………12分
22.(1)∵
=(x,y+2) 
=(x,y-2)
||+||=8,∴
=8
由橢圓定義知，M點軌跡是以(0，2)和(0，-2)為焦點的橢圓
∴
……………6分
(2)∵l的斜率一定存在，設l：y=kx+3
(3k2+4)x2+18kx-21=0 ……………8分
設A(x1，y1),B(x2,y2)
∵
∴OAPB為平行四邊形
又∵
即OAPB為矩形 ∴
∴x1x2+y1y2=0
∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0
∴-(1+k2)?
∴k2=
∴k=±
經檢驗k=±合題意.
∴存在直線l：y=±x+3 …………14分
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