2008―2009學年度
湖北省補習學校聯合體大聯考
數 學 試 題 （理科）
命題學校：漢川補習高中 命題人： 程為和 祁春光
審題學校：黃陂補習學校 審題人： 袁 魁 陳炳潤
考試時間：
本試卷共21題，滿分150分.考試用時120分鐘.
★ 祝 考 試 順 利 ★
注意事項:
1.答卷前,考生務必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在答題卡指定位置.
2.考生將答案都直接涂(答)在答題卡上,答在試卷上無效.
3.解答題的答案不得超出指定的邊框.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1．命題
，命題
當
時，
對任意
恒成立，則
（ ）
A．“
”為假命題； B．“
” 為真命題；
C．“
“為假命題； D．“
”為真命題
2.
是等差數列
的前n項和，當首項
和公差d變化時，
是一個定值，則下列各數中為定值的是 （ ）
A. 
B.
C.
D.
3.若函數
的圖像關于點
對稱，則函數
是（ ）
A.奇函數 B. 偶函數 C. 既是奇函數又是偶函數 D. 非奇非偶函數
4.把函數
的圖象上所有點先按向量
平移，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（ ）
A.
， B.
，
C.
， D.
，
5．函數
圖象如圖，則函數
的單調遞增區間為 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函數
是連續函數，則實數
的值是 （ ）
A. 
B.
C.
D. 
7．已知雙曲線
的右焦點為F，若過點F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （ ）
A.
B.
C.
D. 
8. 如果
的三個內角的余弦值分別是
的三個內角的正弦值，則（ ）
A. 與都是銳角三角形；
B. 是鈍角三角形，是銳角三角形；
C. 是銳角三角形，是鈍角三角形；
D. 與都是鈍角三角形。
9. 已知點P(x,y)滿足
，則點P(x,y)所在區域的面積為
( )
A．36π B．32π C．20π D．16π
10. 函數
在定義域R內可導，若
，且當
時，
，設
。則( )
A．
B．
C．
D．
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.請把答案填在答題卡相應位置上.
11．過點
的直線與拋物線
交于
兩點，且
則此直線的方程為_________。
12.已知函數
的圖象如圖，則滿足
的
的取值范圍為
。
13．各項均不為0的數列{
}滿足
，則
。
14．
___________。
15．已知命題
①函數
在
上是減函數；
②函數的定義域為R，
是
為極值點的既不充分也不必要條件；
③函數
的最小正周期為
；
④在平面上，到定點的距離與到定直線
的距離相等的點的軌跡是拋物線；
⑤已知
則
在
方向上的投影為
。
其中，正確命題的序號是 。
三、解答題: 本大題共6小題, 共75分. 解答應寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.
16.（本題滿分12分）已知函數
，把函數
的圖象按向量
平移后得到的圖象。
（Ⅰ）求函數
的值域；
（Ⅱ）當
時
恒有解，求實數的取值范圍.
17．（本題滿分12分）在
中，已知
，又
的面積等于6.
（Ⅰ）求
的三邊之長；
（Ⅱ）設是
（含邊界）內一點，到三邊
的距離分別為
，求
的取值范圍.
18．（本題滿分12分）武漢東湖風景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車
的費用是每日115元。根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部
租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛。為了便于結算，每輛自
行車的日租金x（元）只取整數，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管
理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理
費用后的所得）。
（Ⅰ）求函數的解析式及其定義域；
（Ⅱ）試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？
19．（本題滿分12分）在數列
中，
，且已知函數
（
）在
時取得極值.
（Ⅰ）求數列的通項；
（Ⅱ）設
，且
對于
恒成立，求實數
的取值范圍．
20．（本題滿分13分）設函數
，已知
是函數的極值點。且函數
的值域為
。
（Ⅰ）求實數和
的值；
（Ⅱ）設
，證明
。
21．（本題滿分14分）在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為
.
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程.
（Ⅱ）過點A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M、N兩點，求
的最小值的集合.
湖北省補習學校聯合體大聯考
一、選擇題
D A A C D C D C B B
二、填空題:
11. 
12．
13．81 14．
15.②③
三、解答題:
16.解：把函數
按向量
平移后得
..............2分
（Ⅰ）
=
..................3分
............5分
則函數的值域為
；.....................7分
（Ⅱ）當
時，
，
.............................................9分
恒有解，
，..................................11分
即
....................................................12分
17.解：（Ⅰ）設三角形三內角A、B、C對應的三邊分別為a, b, c，
∵
，∴
，由正弦定理有
,
又由余弦定理有
，∴
，即
，
所以
為Rt，且
.................................. 3分
又
（1）÷（2），得
...................................... 4分
令a=4k, b=3k (k>0)
則
∴三邊長分別為3，4，5.....................6分
（Ⅱ）以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，則A、B坐標為（3，0），（0，4），直線AB方程為
設P點坐標為（x, y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d1, d2和d3可知
，..................................8分
且
故
.......................10分
令
，由線性規劃知識可知0≤m≤8，故d1+d2+d3的取值范圍是
......12分
18.解：（Ⅰ）當
………………2分
，..............................................5分
故
................6分
定義域為
.................................7分
（Ⅱ）對于
，
顯然當
（元）， ..................................9分
∴當每輛自行車的日租金定在11元時，才能使一日的凈收入最多。..........12分
19.解： (Ⅰ) ∵
(1)＝0
∴(an＋2－an＋1)－(
即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)
又a2－
∴數列｛an＋1－2an｝是以2為公比，以4為首項的等比數列。...............2分
∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2 n＋1
∴
且
∴數列｛
｝是首項為1，公差為1的等差數列，....................4分
∴＝
＋(n－1)×1＝n
∴
.....................................................6分
（Ⅱ）由
，
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n
Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1.......................8分
得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1
＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1
∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜
.....................10分
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對于n∈N＊恒成立,只須
所以實數
的取值范圍是。.......................................12分
20．解：（Ⅰ）因為
又
是函數
的極值點，
，即
..............2分
，則
............4分
.........................................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
故
.................................8分
令
，當
時，得
，
則當
時，
；當
時，
，
所以
在上單調遞減，在單調遞增，..................10分
故
時，
，又
，..................................12分
即對任意
，恒有
。..................................13分
21.解：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，
設 |CA|+|CB|=
所以焦距
因為 
又 
，所以 
，
由題意得 
...........................................4分
此時，|PA|=|PB|，P點坐標為 P(0，±4).
所以C點的軌跡方程為 
.............................6分
（Ⅱ）不妨設A點坐標為A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2)
(1)當直線MN的傾斜角不為900時，設其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡，得
.......................................7分
顯然有
△≥0， 所以 
而由橢圓第二定義可得
......................... 10分
只要考慮
的最小值，即考慮
取最小值，顯然.
當k=0時，
取最小值16. .................................12分
(2)當直線MN的傾斜角為900時，x1=x2=-3,得
.....12分
但 ，故
，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集............................................................14分
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