南通市2009屆高三第二次調研測試
數 學 試 題
必做題部分
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，則
▲
.
2. 若復數z滿足zi=2+i（i是虛數單位），則z= ▲ .
3. 已知冪函數
的圖象過點
，則
= ▲
.
4. 如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全
等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，
那么這個幾何體的表面積為 ▲ .
5. 設x0是方程8－x=lgx的解，且
，則k＝ ▲
.
6. 矩形ABCD中，
. 在矩形內任取一點P，則
的概率為 ▲
.
7. △ABC中，
，
，則
的最小值是 ▲
.
8. 已知
，
，則
等于 ▲
.
9. 右圖是由所輸入的x值計算y值的一個算法程序，
若x依次取數列
（
，n≤2009）的
項，則所得y值中的最小值為 ▲ .
10.
已知雙曲線
的左、右焦點分別為F1、F2，P是雙曲線上一點，
且PF1⊥PF2，P F1
P F2 =4ab，則雙曲線的離心率是 ▲
.
11. 設函數f(x)=ax+b，其中a，b為常數，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f [fn(x)]，n＝1，2，….
若f5(x)=32x+93, 則ab＝ ▲ .
12.
函數f(x)=
的值域為 ▲
.
13. 設函數
, A0為坐標原點，An為函數y=f（x）圖象上橫坐標為
的點，向量
，向量i=（1，0），設
為向量
與向量i的夾角，則滿足
的最大整數n是 ▲
.
14. 已知l1和l2是平面內互相垂直的兩條直線，它們的交點為A，動點B、C分別在l1和l2
上，且
，過A、B、C三點的動圓所形成的區域的面積為 ▲
.
二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15. （本題滿分14分）
某高級中學共有學生3000名，各年級男、女生人數如下表：
高一年級
高二年級
高三年級
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.17.
（1）問高二年級有多少名女生？
（2）現對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，問應在高三年級抽取多少
名學生？
16. （本題滿分14分）
如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
AB=
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面體PCEF的體積.
17 . （本題滿分15分）
△ABC中，角A的對邊長等于2，向量m=
，向量n=
.
（1）求m?n取得最大值時的角A；
（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值.
18. （本題滿分15分）
在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且
OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以OD、OC為長、短半軸的
橢圓在矩形及其內部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于
點E.
（1）求證：
；
（2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，
求直線l的方程；
（3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內部，
且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M的
方程．
19. （本題滿分16分）
已知函數
的導數為
. 記函數
k為常數）.
（1）若函數f(x)在區間
上為減函數，求
的取值范圍；
（2）求函數f(x)的值域.
20．（本題滿分16分）
設{an}是等差數列，其前n項的和為Sn.
（1）求證：數列
為等差數列；
（2）設{an}各項為正數，a1=
，a1≠a2，若存在互異正整數m，n，p滿足：①m+p=2n；
②
. 求集合
的元素個數；
（3）設bn=
(a為常數，a>0，a≠1，a1≠a2)，數列{bn}前n項和為Tn. 對于正整數c，
d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 試比較(Tc)-1+(Tf)-1與(Td)-1+(Te)-1的大小.
附加題部分
21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A. 選修4－1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線
相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.
求證： 
.
B. 選修4－2：矩陣與變換
已知
, 求矩陣B.
C. 選修4－4：坐標系與參數方程.
在平面直角坐標系xOy中，動圓
（
R）的
圓心為
，求
的取值范圍.
D．選修4－5：不等式證明選講
已知函數
. 若不等式
（a¹0, a、bÎR）恒成
立，求實數x的范圍.
22. 必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱
中，P是側棱
上
的一點，
.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段
上是否存在一個定點
，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結論.
23．必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
某電器商經過多年的經驗發現本店每個月售出的電冰箱的臺數
是一個隨機變量，它的
分布列為：
；設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元.
如銷售不出，則每臺每月需花保管費100元. 問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使
月平均收益最大？
南通市2009屆高三第二次調研測試
必做題部分
【填空題答案】
1．{2，4}; 2．1－2i ;
3．
；
4．
； 5．7；
6．
； 7．
；
8．
； 9．17； 10．
；
11．6； 12．
；
13．3；
14．18
．
二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15. （本題滿分14分）
某高級中學共有學生3000名，各年級男、女生人數如下表：
高一年級
高二年級
高三年級
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.17.
（1）問高二年級有多少名女生？
（2）現對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，問應在高三年級抽取多少
名學生？
【解】（1）由題設可知
， 所以x=510. ………………………6分
（2）高三年級人數為y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分
現用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，應在高三年級抽取的人數為：
名.
………………………12分
答：（1）高二年級有510名女生；（2）在高三年級抽取99名學生．……………14分
16. （本題滿分14分）
如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
AB=
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面體PCEF的體積.
【證明】（1）因為ABCD為矩形，AB=2BC, P為AB的中點，
所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分
同理可證∠APD=45°.
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內，所以PC⊥DE. ………………………4分
因為DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因為PC在平面PCF內，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】（2）因為CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE//CF. 又DC⊥CF，
所以
……………………… 10分
在平面ABCD內，過P作PQ⊥CD于Q，則
PQ//BC，PQ=BC=
因為BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，
亦即P到平面PCEF的距離為PQ=
………………………14分
（注：本題亦可利用
求得）
17 . （本題滿分15分）
△ABC中，角A的對邊長等于2，向量m=
，向量n=
.
（1）求m?n取得最大值時的角A的大小；
（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值.
【解】（1）m?n＝2
－
. …………………3分
因為 A＋B＋C
，所以B＋C－A，
于是m?n＝
＋cosA＝－2
＝－2
.……………5分
因為
，所以當且僅當＝
，即A＝
時，m?n取得最大值.
故m?n取得最大值時的角A＝.
…………………………7分
（2）設角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，
由余弦定理，得 b2＋c2－a2＝2bccosA， …………………………9分
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc， ……………………… 11分
所以bc≤4，當且僅當b＝c＝2時取等號. ……………………… 12分
又S△ABC＝bcsinA＝
bc≤
.
當且僅當a＝b＝c＝2時，△ABC的面積最大為. ………………………15分
18. （本題滿分15分）
在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且
OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以OD、OC為長、短半軸的
橢圓在
矩形及其內部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于
點E.
（1）求證：
；
（2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，
求直線l的方程；
（3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內部，
且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M
的方程．
【解】題設橢圓的方程為
.
…………………………1分
由
消去y得
. …………………………2分
由于直線l與橢圓相切，故△＝(－
化簡得.
①
…………………………4分
（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中點為
.
…………………………5分
因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，
即
，亦即
.
②
…………………………6分
由①②解得
，故直線l的方程為
…………………………8分
（3）由（2）知
.
因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為
.………9分
因為圓M在矩形及其內部，所以
④ ……………………… 10分
圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以
，即
.
………………………12分
代入④得
即
………………………13分
所以圓M面積最大時，
，這時，
.
故圓M面積最大時的方程為
………………………15分
19. （本題滿分16分）
已知函數
的導數為
. 記函數
k為常數）.
（1）若函數f(x)在區間
上為減函數，求
的取值范圍；
（2）求函數f(x)的值域.
【解】（1）因為f(x)在區間上為減函數，
所以對任意的
且
恒有
成立.
即
恒成立. …………………………3分
因為
，所以
對且時，恒成立.
又
<1，所以
…………………………6分
（2）
.
…………………………7分
下面分兩種情況討論：
（1）當
時，
是關于x的增函數，值域為
…………………………9分
（2）當
時，又分三種情況：
①當
時，因為
，所以
即
.
所以f(x)是減函數，
.
又
，
當
，所以f(x)值域為
. ………………………10分
②當k=1時，
，
且f(x)是減函數，故f(x)值域是
.
………………………12分
③當
時，
是增函數，
，
.
下面再分兩種情況：
（a）當
時，
的唯一實根
，故
，
是關于x的增函數，值域為；
（b）當
時，的唯一實根
，
當
時，；當
時，
；
所以f(x)
.
故f(x)的值域為
.
………………………15分
綜上所述，f(x)的值域為
；（）；
（
）；（）.
………………………16分
20．（本題滿分16分）
設{an}是等差數列，其前n項的和為Sn.
（1）求證：數列
為等差數列；
（2）設{an}各項為正數，a1=
，a1≠a2，若存在互異正整數m，n，p滿足：①m+p=2n；
②
. 求集合
的元素個數；
（3）設bn=
(a為常數，a>0，a≠1，a1≠a2)，數列{bn}前n項和為Tn. 對于正整數c，
d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 試比較(Tc)-1+(Tf)-1與(Td)-1+(Te)-1的大小.
【證】（1）{an}為等差數列，設其公差為
，則
，于是
（常數），
故數列
是等差數列.
…………………………3分
【解】（2）因為{an}為等差數列，所以是等差數列，
于是可設
為常數)，從而
.
因為m+p=2n，所以由兩邊平方得
，即
，
亦即
，………………………4分
于是
，兩邊平方并整理得
，即
.
…………………………6分
因為m≠p，所以
，從而
，而a1=，所以
.
故
.
…………………………7分
所以
.
因為15有4個正約數，所以數對（x，y）的個數為4個.
即集合中的元素個數為4. ………………………9分
（3）因為
（常數），
所以數列{bn}是正項等比數列.
因為a1≠a2，所以等比數列{bn}的公比q≠1. ………………………10分
（解法一）
①
. ②
因為
，所以要證②，只要證
， ③…………………13分
而③
. ④
④顯然成立，所以③成立，從而有.…………………16分
（解法二）注意到當n>m時，
. ……………………12分
于是
. ……………………14分
而
，故. ……………………16分
（注：第（3）問只寫出正確結論的，給1分）
附加題部分
21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A. 選修4－1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線
相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.
求證： 
.
【證明】連結AD，因為AB為圓的直徑，所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四點共圓.
所以∠DEA=∠DFA. …………………………10分
B. 選修4－2：矩陣與變換
已知
, 求矩陣B.
【解】設
則
， …………………………5分
故
………………………10分
C. 選修4－4：坐標系與參數方程.
在平面直角坐標系xOy中，動圓
（
R）的
圓心為
，求
的取值范圍..
【解】由題設得
（
為參數，R）.
…………………………5分
于是
，
所以 
.
………………………10分
D．選修4－5：不等式證明選講
已知函數
. 若不等式
對a¹0, a、bÎR恒成立，
求實數x的范圍.
【解】 由|且a¹0得
.
又因為
，則有2
.
…………………………5分
解不等式 
得 
……………………… 10分
22. 必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱
中，P是側棱
上
的一點，
.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段
上是否存在一個定點
，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結論.
【解】（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以
又由
的一個法向量.
設
與
所成的角為
，
則
=
，解得
.
故當
同步練習冊答案
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