2008屆全國百套高考數學模擬試題分類匯編
圓錐曲線
三、解答題(第三部分)
51、(河北省正定中學2008年高三第五次月考)已知直線
過橢圓E:
的右焦點
，且與E相交于
兩點.
(1)設
（
為原點），求點
的軌跡方程；
(2)若直線的傾斜角為60°，求
的值.
解：(1)設
由
，易得右焦點
----------（2分）
當直線
軸時，直線的方程是：
，根據對稱性可知
當直線的斜率存在時，可設直線的方程為
代入E有
; 
----（5分）
于是
;
消去參數
得
而也適上式，故R的軌跡方程是-（8分）
(2)設橢圓另一個焦點為
，
在
中
設
，則
由余弦定理得
同理，在
，設
，則
也由余弦定理得
于是
---------（12分）
52、(河南省開封市2008屆高三年級第一次質量檢)雙曲線
的左、右焦點分別為F1、F2，O為坐標原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上，
（1）求雙曲線的離心率e；
（2）若此雙曲線過C（2，
），求雙曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，D1、D2分別是雙曲線的虛軸端點（D2在y軸正半軸上），過D1的直線l交雙曲線M、N，
的方程。
解：（1）
四邊形F2ABO是平行四邊形
∴四邊 形F2ABO是菱形.
∴
由雙曲線定義得
（2）
，雙曲線方程為
把點C
代入有
∴雙曲線方程
（3）D1（0，－3），D2（0，3），設l的方程為
則由
因l與與雙曲線有兩個交點，
故所求直線l方程為
53、(河南省濮陽市2008年高三摸底考試)直線AB過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點．
(1)求
?
的取值范圍；
(2)過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點．
求證：?
＝0，
∥．
54、設圓滿足:（1）截直線y=x所得弦長為2;（2）被直線y=－x分成的一段劣弧所在的扇形面積是圓面積的倍．在滿足條件（1）、（2）的所有圓中,求圓心到直線x+3y=0的距離最小的圓的的方程．
解：設所求圓的圓心為P（a,b）,半徑為r,
則P到直線y=x、直線y=－x的距離分別為
、
．………（2分）
由題設知圓P截直線y=－x所得劣弧所對圓心角為90°,
圓P截直線y=－x所得弦長為
r,故r2=
（）2，
即r2=（a+b）2，……………………（4分）
又圓P截直線y=x所得弦長為2，所以有r2=1+
,
從而有
．……………………（6分）
又點P到直線x+3y=0的距離為d=
,
所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2……………………（8分）
當且僅當b=0時上式等號成立,
此時5d2=1,從而d取得最小值,由此有a=±,r=．…………（10分）
于是所求圓的方程為（x－）2+y2=2或（x－）2+y2=2…………（12分）
55、(河南省許昌市2008年上期末質量評估)已知橢圓
＋y2＝l的左焦點為F，O為坐標原點．
( I )求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
(Ⅱ)設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x＋y＝0上，求直線AB的方程．
56、(黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試)已知
,點
在
軸上，點
在
的正半軸上，點
在直線
上，且
.
（1）當在軸上移動時，求點軌跡C；
（2）若曲線
的準線交
軸于
，過的直線交曲線于兩點
，又的中垂線交軸于點
，求橫坐標取值范圍；
（3）在（2）中，
能否為正三角形.
解：(1)設
得
又由
得 
即
…………………………4分
(2)由(1)知N（－1，0）設得：
由
由
設
對
∴AB的中點為
∴AB的中點為
令
即x0＞3.
57、(湖北省八校高2008第二次聯考)已知A,B是拋物線
上的兩個動點，
為坐標原點，非零向量
滿足
．
（Ⅰ）求證：直線經過一定點；
（Ⅱ）當
的中點到直線
的距離的最小值為
時，求
的值．
解：
, 
.設A,B兩點的坐標為（
），（
）則 
.
（1）經過A，B兩點的直線方程為
由
，得
. 令
，得
, 
.
從而
. 
(否則, 
有一個為零向量),
. 代入①，得 
，
始終經過定點
. ……………（6分）
（2）設AB中點的坐標為(
)，則
.
又
, 
，
即 
.……………①
AB的中點到直線的距離
.
將①代入，得
.
因為d的最小值為
.
……………（12分）
（若用導數求切線的斜率為2的切點坐標，參考給分.）
58、(湖北省三校聯合體高2008屆2月測試)已知半圓
，動圓與此半圓相切且與軸相切。
（1）求動圓圓心的軌跡方程。
（2）是否存在斜率為
的直線
，它與（1）中所得軌跡由左到右順次交于A、B、C、D四個不同的點，且滿足|AD|=2|BC|？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由。
（1）設動圓圓心
，作
⊥軸于點
①若兩圓外切： 
，則
化簡得：
……………3分
②若兩圓內切： 
，則
……………5分
綜上，動圓圓心的軌跡方程是
及 ………6分
其圖象為兩條拋物線位于軸上方的部分，如圖所示。
（2）假設直線存在，可設的方程為
。
①
②
， 
+
=4
得
……………11分
，所以這樣的直線
的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足
點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
；
（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=
若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．
知
，
時，點（
，0）和點（－
且
時，由
，得
．
，所以T為線段F2Q的中點．
，所以有
）使S=
的充要條件是
，由④得
所以，當
時，存在點M，使S=
時，不存在滿足條件的點M．
，
，
，
，得
【總結點評】平面向量與橢圓的綜合問題是《考試大綱》所
相交于A、B兩點，M是線段AB上的一點，
，且點M在直線
上.
上，求橢圓的方程.
，
4分
7分
，不妨設橢圓的一個焦點坐標為
關于直線l：
上的對稱點為
，
10分
，∴所求的橢圓的方程為
12分
，B是橢圓
在x軸上方的頂點，
位于x軸下方的準線，當AC在直線
作互相垂直的直線
，分別交軌跡E于M、N和R、Q，求四邊形MRNQ面積的最小值。
直線
且
在直線
①
②
滿足方程①和②
得
和
的斜率存在且不為零，設
，
，
的方程為
直線
，則
。
，即
時，等號成立。
的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足：
，
（λ＞0）
（2）若過點N（
，
）的雙曲線C的虛軸端點分別為B1、B2（B1在y軸正半軸上），點A、B在雙曲線上，且
，
，求雙曲線C和直線AB的方程.
，y）
代入
得
化簡得e＝2
……………4分
的角平分線上
，∴
………4分
即
又
∴雙曲線C的方程為
……………8分
代入
∴直線AB的方程為
為平面上的兩個定點，
為動點，
，
且
，
（
是
和
的交點）
，且線段
（或
（
為
，而
的橢圓，故點
（6分）
，
，且
，
，又
即
（10分）
≤
≤
，
≤
≤
≤
，即
的直線
和橢圓
的焦點，且橢圓
滿足：
。
的弦分別為
,設
，求
的值。
，圓B：
，動圓P與圓A、圓B均外切，直線
，則│PA│＝
，│PB│=
,
（
，代入雙曲線方程，得
.
，解得
. ………………………………………5分
,則
.
時,
.
………………………………………7分
，
.
,知
.
，從而
.
.
………………………………………13分
，則直線MN的方程為
，代入雙曲線方程,得
.
解得
. …………………………………5分
＝
│
│＝6＋
.
＝2，得
＝3，
＝－3.此時
＝6.
……………………………………………7分
＝
.① 
＝
＝2，即
＝2 ，
， 故
. ② 
.
,得
66、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯考)已知拋物線x2＝4y上的點P(非原點)處切線與x、y軸分別交于Q、R點，F為拋物線的焦點。
面積的最小值，并寫出此時過P點的切線方程。
。
知
時，也取得最小值
。
；折痕
與AB交于點E，點M滿足關系式
。若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：
（Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形
的三邊
分別與曲線S切于點
.求梯形
，又E（0，b）
的中點
在直線l上，
，①
代入①即得
，又
）-------------6分
，點P的坐標為
.
，直線
的方程為
.
的方程為
得，
，即
時，取“=”且
，
.
）2+y2=36及定點N（
.
，是否存在這樣的直線
為PN的中點，且GQ
是PN的中垂線.
的軌跡方程是
……………………………………（5分）
四邊形OASB為平行四邊形，假設存在直線
；則四邊形OASB為矩形.
.
，這與
=0矛盾，故
、
.
………………………（9分）
………………………（12分）
滿足條件. ……………………（13分）
，若實數
使得
（
時，若過點
的直線
（斜率不等于零）與（I）中
．
5分
7分．
P點的軌跡是兩個點
．
9分
，即
時，方程為
P點的軌跡是雙曲線．
11分
，即
時，方程為
, P點的軌跡是兩條射線． 13分
的左焦點為F，O為坐標原點。過點F的直線
，求
；
與
…………………4分
依題意有
為中心，焦點在
的橢圓。
…………………8分
整理得
中點
則
的垂直平分線NG的方程為
令
得
…………………13分
，作斜率為
的兩條直線，分別交拋物線C于A
兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足
證明：線段PM的中點在y軸上；
時，若點P的坐標為（1，―1），求∠PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取
得，
……………………………………2分
，
③…………………………………………4分
，
…………………………………………4分
⑥
………………………………………………………12分
分別是橢圓的
左，右焦點。
，
的直線與橢圓交于不同的兩點
，且
為銳角（其中O為坐標原點），求直線
。
，
，解得
，
………………5分
…………………………………………6分
……………………………………7分
1 …………………………………………8分
，
………………………………………………9分
2 ……………………………………11分
…………12分
中，已知
，
，
、
兩邊所在的直線分別與
。
上，求
的最小值。
，
．
時，
軸，當
時， 
軸，與題意不符，所以
;
．
．
三點共線有
，解得
．同理由
．
三點共線，解得
．
， 
，
的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．
，
．………………………………………………………………2分
……………………………………………………………4分
，即
，即（1＋b）（b－c）>0，
即有
，∴
．……………………………………………………7分
，∴
． …………………………………………………………………8分
，
＝
． ………………………………………………10分
?
與橢圓
相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線
上.
上，求此橢圓的方程.
得
, 根據韋達定理，得
）.
從而橢圓的右焦點坐標為
設
關于直線
的對稱點為
解得
。由已知得
，故所求的橢圓方程為
.
中，直線
兩點.
的值；
證明直線
消去x得
，
消去x，得
，則y1+y2=4t ，y1y2=－4b。
。
，∴直線l過定點（2，0）。
，a=2
12′
，cos∠ACB=
=
3′
，
≠0 
的兩個焦點分別為
,
。 
交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．
（II）當|AB|=2,S=1時，求直線AB的方程．
的坐標為
，點
，
，解得
，
．
時，
取到最大值
．
，
，
．
②
，則
， 又因為
，
，代入②式并整理，得
，
，
，代入①式檢驗，
，
或
或
，或
．
（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P.
交于M，N兩點，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點C，使
共線（O為坐標原點）？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.
…………………………6分
……………………8分
……………………10分
）……………………12分
的離心率為，直線
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
，右焦點
，直線
垂直平分線交
的方程；
在
求
的取值范圍.
……1分
相切，
…………2分
…………3分
………………4分
的距離等于它到定點F1（1，0）的距離，
…………8分
…………9分
，化簡得
………………11分
時等號成立 …………13分
的取值范圍是
……14分
的距離小1.
當△AOB的面積為4時（O為坐標原點），求
的距離小于1，
的距離相等
，所以曲線C的方程為
，
（*）
與曲線C恒有兩個不同的交點 設交點A，B的坐標分別為
，
，
（舍去） 
方程（*）的解為
若
當
方程（☆）的解為
所以，
分別是橢圓C：
的左右焦點
到
的中點B的軌跡方程
試探究
的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論。
------1分
=4,
------2分 
--------3分
--------6分
-----8分
----------10分
----11分 
，得
------12分
-------------------13分
=
-----------15分