第七單元： 熱學
[內容和方法]
本單元內容包括兩部分，一是微觀的分子動理論部分，一是宏觀的氣體狀態變化規律。其中分子動理論部分包括分子動理論的基本觀點、分子熱運動的動能、分子間相互作用的勢能和物體的內能等概念，及分子間相互作用力的變化規律、物體內能變化的規律、能量轉化和守恒定律等基本規律；氣體狀態變化規律中包括熱力學溫度、理想氣體和氣體狀態參量等有關的概念，以及理想氣體的等溫、等容、等壓過程的特點及規律（包括公式和圖象兩種描述方法）。
本單元中所涉及到的基本方法是理想化的模型方法，其中在分子動理論中將微觀分子的形狀視為理想的球體，這是通過阿伏伽德羅常數對微觀量進行估算的基礎；在氣體狀態變化規律中，將實際中的氣體視為分子沒有實際體積且不存在相互作用力的理想氣體，從而使氣體狀態變化的規律在誤差允許的范圍內得以大大的簡化。
[例題分析]
在本單元知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現在：對較為抽象的分子熱運動的動能、分子相互作用的勢能及分子間相互作用力的變化規律理解不到位，導致這些微觀量及規律與宏觀的溫度、物體的體積之間關系不能建立起正確的關系。對于宏觀的氣體狀態的分析，學生的問題通常表現在對氣體壓強的分析與計算方面存在著困難，由此導致對氣體狀態規律應用出現錯誤；另外，本單元中涉及到用圖象法描述氣體狀態變化規律，對于p―V，p―T，V―T圖的理解，一些學生只觀注圖象的形狀，不能很好地理解圖象上的點、線、斜率等的物理意義，因此造成從圖象上分析氣體溫度變化（內能變化）、體積變化（做功情況）時出現錯誤，從而導致利用圖像分析氣體內能變化等問題時的困難。
例1 下列說法中正確的是 [ ]
A．溫度低的物體內能小
B．溫度低的物體分子運動的平均速率小
C．做加速運動的物體，由于速度越來越大，因此物體分子的平均動能越來越大
D．外界對物體做功時，物體的內能不一定增加
【錯解分析】錯解一：因為溫度低，動能就小，所以內能就小，所以應選A
而溫度低的物體分子平均動能小，所以速率也小。所以應選B。
錯解三：由加速運動的規律我們了解到，物體的速度大小由初速和加速度與時間決定，隨著時間的推移，速度肯定越來越快再由動能公式
錯解一是沒有全面考慮內能是物體內所有分子的動能和勢能的總和。溫度低只表示物體分子平均動能小，而不表示勢能一定也小，也就是所有分子的動能和勢能的總和不一定也小，所以選項A是錯的。
實際上因為不同物質的分子質量不同，而動能不僅與速度有關，也與分子質量有關，單從一方面考慮問題是不夠全面的，所以錯解二選項B也是錯的。
錯解三的原因是混淆了微觀分子無規則運動與宏觀物體運動的差別。分子的平均動能只是分子無規則運動的動能，而物體加速運動時，物體內所有分子均參與物體的整體、有規則的運動，這時物體整體運動雖然越來越快，但并不能說明分子無規則運動的劇烈情況就要加劇。從本質上說，分子無規則運動的劇烈程度只與物體的溫度有關，而與物體的宏觀運動情況無關。
【正確解答】由于物體內能的變化與兩個因素有關，即做功和熱傳遞兩方面。內能是否改變要從這兩方面綜合考慮。若做功轉化為物體的內能等于或小于物體放出的熱量，則物體的內能不變或減少。即外界對物體做功時，物體的內能不一定增加，選項D是正確的
例2 如圖7-1所示，一個橫截面積為S的圓筒型容器豎直放置，金屬圓板A的上表面是水平的，下表面是傾斜的，下表面與水平面的夾角為θ，圓板的質量為M，不計圓板A與容器內壁之間的摩擦，若大氣壓強為P0，則被圓板封閉在容器中氣體的壓強p等于 [ ]
【錯解分析】錯解一：因為圓板下表面是傾斜的，重力產生的壓強等于
錯解三：大氣壓p0可以向各個方向傳遞，所以氣體壓強里應包括p0，
重力產生的壓強，壓力都應該是垂直于接觸面方向，所以重力產生壓強應是重力的分力Mg/cosθ，而不是Mg，錯解一是對壓力這個概念理解不對。
錯解二雖然注意到重力的分力Mg/cosθ產生壓強，但沒有考慮到面
錯解三在分解重力時錯了，重力的一個分力應是Mg/cosθ而不是Mgcosθ，因為另一個分力一定要垂直斜板的豎直面，如圖7-2。所以重
【正確解答】以金屬圓板A為對象，分析其受力情況，從受力圖7-3可知，圓板A受豎直向下的力有重力Mg、大氣壓力p0S，豎直向上的
正確答案應為D。
【小結】 正如本題的“分析解答”中所做的那樣，確定被活塞封閉的氣體的壓強的一般方法是：以活塞為研究對象；分析活塞的受力情況；概括活塞的運動情況（通常為靜止狀態），列出活塞的受力方程（通常為受力平衡方程）；通過解這個方程便可確定出氣體的壓強。
例3 如圖7-4所示，在一個圓柱形導熱的氣缸中，用活塞封閉了一部分空氣，活塞與氣缸壁間是密封而光滑的，一彈簧秤掛在活塞上，將整個氣缸懸吊在天花板上。當外界氣溫升高（大氣壓不變）時，[ ]
A.彈簧秤示數變大
B.彈簧秤示數變小
C.彈簧秤示數不變
D.條件不足，無法判斷
【錯解分析】錯解：對活塞進行受力分析，如圖7-5由活塞平衡條件可知：
F = mg+p0S－pS
當外界氣溫上升時，氣體壓強增大，所以彈簧秤的接力F將變小，所以答案應選B。
主要是因為對氣體壓強變化的判斷，沒有認真細致地具體分析，而是憑直覺認為溫度升高，壓強增大。
【正確解答】對活塞受力分析如錯解，
F= mg+p0S－pS
現在需要討論一下氣體壓強的變化。
以氣缸為對象受力分析，如圖7-6
因為M、S、P0均為不變量，所以，在氣體溫度變化時，氣體的壓強不變。而氣體在此過程中作等壓膨脹。
由此而知，彈簧秤的示數不變，正確答案為C。
【小結】 通過本題的分析可以看出，分析問題時，研究對象的選取對解決問題方向的作用是至關重要的。如本題要分析氣體壓強的變化情況，選取氣缸為研究對象比研究活塞要方便得多。另外如本題只是分析彈簧秤的示數變化，選整個氣缸和活塞為研究對象更為方便，因對氣缸加熱的過程中，氣缸、氣體及活塞所受重力不變，所以彈簧秤對它們的拉力就不會變化，因此彈簧秤的示數不變。
例4 設一氫氣球可以自由膨脹以保持球內外的壓強相等，則隨著氣球的不斷升高，因大氣壓強隨高度而減小，氣球將不斷膨脹。如果氫氣和大氣皆可視為理想氣體，大氣的溫度、平均摩爾質量以及重力和速度隨高度變化皆可忽略，則氫氣球在上升過程中所受的浮力將______（填“變大”“變小”“不變”）
【錯解分析】錯解一：因為氣球上升時體積膨脹，所以浮力變大。
錯解二：因為高空空氣稀薄，所以浮力減小。
因為浮力的大小等于氣球排開大氣所受的重力，F=ρ空?g?V，當氣球升入高空時，密度ρ減小，體積V增大，錯解一和二都是分別單一地強調一方面的變化，沒有綜合考慮，因此導致錯解。
【正確解答】以氫氣為研究對象，設地面附近和高空h處的壓強和體積分別為p1，p2，V1，V2。因為溫度不變，由玻意耳定律可知：p1V1=p2V2
以大氣為研究對象，在地面附近和高空h處的壓強和大氣密度分別為ρ1，ρ2（與氫氣對應相等）p1，p2因為大氣密度和壓強都與高度
設氫氣球在地面附近和高空h處的浮力分別為F1，F2則F1=ρ1?g?V1F2=ρ2?gV2
所以正確答案為浮力不變。
【小結】 如上分析，解決變化問題，需要將各種變化因素一一考慮，而不能單獨只看到一面而忽略另一面。
此題也可以利用克拉珀龍方程求解：
在高度h處：對氫氣列克拉珀龍方程
對排開空氣列克拉珀龍方程
因為p，V，R，T均相同
所以聯立①②得：
我們知道，空氣、氫氣的摩爾質量是不變的，此題氣球中的氫氣質量也是一定的，所以排開空氣的質量不隨高度h而變，又因為重力加速度也不變（由題目知）所以，氣球所受浮力不變。
利用克拉珀龍方程處理浮力，求解質量問題常常比較方便。
例5 容積V=20L的鋼瓶充滿氧氣后，壓強為p=30atm，打開鋼瓶閥門，讓氧氣分裝到容積為V'=5L的小瓶子中去。若小瓶子已抽成真空，分裝到小瓶中的氧氣壓強均為P'=2atm壓。在分裝過程中無漏氣現象，且溫度保持不變，那么最多可能裝的瓶數是： [ ]
A．4瓶 B．50瓶
C．56瓶 D．60瓶
【錯解分析】錯解：設可充氣的瓶子數最多為n，利用玻意耳定律得：
pV=np'V'
所以答案應為D。
上述解答中，認為鋼瓶中的氣體全部充入到小瓶中去了，事實上當鋼瓶中氣體的壓強隨著充氣過程的進展而下降，當鋼瓶中的氣體壓強降至2atm時，已無法使小瓶繼續充氣，達到2atm，即充最后一瓶后，鋼瓶中還剩下一滿瓶壓強為2atm的氣體。
【正確解答】設最多可裝的瓶子數為n，由玻意耳定律得：
pV=p'V+np'V'
解得：n=56（瓶）
所以本題的正確答案為C。
【小結】 解答物理問題時我們不僅要會用數學方法進行處理，同時還要考慮到物理問題的實際情況。任何物理問題的數學結果都要接受物理事實的制約，因此在學習中切忌將物理問題純數學化。
例6 內徑均勻的U型細玻璃管一端封閉，如圖7-7所示，AB段長30mm，BC段長10mm，CD段長40mm，DE段充滿水銀，DE=560mm，AD段充滿空氣，外界大氣壓p0=1.01325×105Pa=760mmHg，現迅速從E向上截去400mm長玻璃管，平衡后管內空氣柱的長度多大？
【錯解分析】錯解：當從下面截去400mm后，空氣柱的壓強變了，壓強增大，在等溫條件下，體積減小，根據玻意耳定律。
初態：p1=(760-560)=200mmHg V1=(300+100+400)S=800S(mm)3
末態：p2=(760-160)=600(mmHg) V2=？
解得：L2=267mm 即空氣柱的長度為267mm。
上述解答看起來沒有什么問題，實際上，稍微思考一下，就會發現，答案不合理。因為解答結果認為空氣柱的長度267mm，而AB段的總長度為300mm，這樣就意味著水銀柱可能進入AB管，而如果水銀進入橫著的BC管，壓強就不再是（760－160）=600mmHg，因此，答案就不對了。
【正確解答】首先需要判斷一下水銀柱截去后剩余的水銀柱會停留在什么地方。
（1）是否會停留在右側豎直管內。
由前面的分析可知是不可能的。
（2）是否會有部分水銀柱留在豎直CE管中，即如圖7-8所示情況，由玻意耳定律可知
200×800S=（760－x）[300+100－（160－x）]S
160000=（760－x）（240+x）
解得：x1=40cm
x2=560mm
兩個答案均與所設不符，所以這種情況也是不可能的。
（3）是否會出現水銀柱充滿BC管的情況，如圖7-9所示。
由玻意耳定律可知：
200×800S=（760+60）?L2?S
解得L2=195mm結果明顯與實際不符，若真能出現上述情況，從幾何關系很容易就可以知道L2=240mm，可見這種情況是不可能的。
（4）設水銀柱部分進入BA管，部分留在BC管中，如圖7-10所示。
由玻意耳定律可知
200×800S=[760+（300－L2）]?L2S
因此，本題的正確答案是：平衡后管內空氣柱的長度為182.3mm。
【小結】 通過本題的分析解答可看出，對于一個具體的物理問題，不能僅觀注已知的數據，更要對題目所述的物理過程進行全面的分析，以確定出問題的真實物理過程。同時可以看到，真實物理過程的判斷，又是以具體的已知條件及相應的物理規律為基礎的，而不是“想當然”地捏造物理過程。
例7 如圖7-11所示，左端封閉，右端開口的均勻U型管中用水銀封有一段長150mm的空氣柱。左臂總長為250mm，右臂足夠長。如果將管的開口變為豎直向下，求空氣柱的長度。（設大氣壓為750mmHg）
【錯解分析】錯解：此題是屬于氣體在等溫情況下壓強和體積的變化的題，可以利用玻意耳定律求解。
初態：p1=（750+100）=850（mmHg）
V1=150S（cm3）
設倒轉后左臂空氣柱長度增加x，如圖7－12所示，
則末態：p2=（750－100－2x）=（650－2x）（mmHg）
V2=（150+x）S（cm3）
由玻意耳定律有：p1V1= p2V2
即：850×150S=（650－2x）（150+x）S
整理得：2x2－350x+30000=0
由數學知識可知，當△=b2－4ac=3502－4×2×3000＜0，方程無解。所以，這道題是一道沒有解的題。
在解題時，之所以出現這樣的情況，是因為解題者的思維是勢導致的錯誤，上述解法是從空氣柱仍在左臂的假設出發的，難道空氣就不能進到右臂？顯然，認為空氣柱仍在左臂的假設是需要重新考慮的。
【正確解答】在左臂原有空氣柱長150mm的情況下，兩管之間的水銀柱的高度差與U型管倒轉后空氣柱是否進入右管有關，高度差越大，水銀越重，倒轉后，空氣柱越有可能進入右管。那么，兩臂水銀面高度差為多大，才能讓空氣柱仍留在左臂呢？
設初始左、右兩臂水銀面高度差為h，倒轉后空氣柱仍在左臂（如圖7-13）則：由玻意耳定律有：
（750+h）×150S=（750－h－2x）（150+x）S
整理得：2x2+（h－450）x+300h=0
當△=b2－4ac≥0時，方程有實數解，即
（h－450）2－4×2×300h≥0
解得：h≤62.5mm
也就是說，只有當兩臂水銀面高度差小于或等于62.5mm時，倒轉后空氣柱才可能仍留在左臂。而本文給出開始時水銀面高度差為100mm＞62.5mm，因此，U型管倒轉后空氣柱會進入右臂。
設右臂足夠長，倒轉后，水銀柱已全部進入右臂如圖7－14所示，末狀態變為：V2=（250+y）S p2=（750－30）=450（mmHg）
根據玻意耳定律：
850×150S=450×（250+y）S
解得：y=33.3mm
則空氣柱的長度為：L=（250+33.3）=283.3（cm）。
【小結】 對于一道物理習題，應該從每個數值的物理意義去分析問題，而不能只單純從數學運算的角度去制定。
例8 一端封閉一端開口，內徑均勻的直玻璃管注入一段60mm的水銀柱，當管水平放置達到平衡時，閉端空氣柱長140mm，開口端空氣柱長140mm，如圖7-15所示。若將管輕輕倒轉后再豎直插入水銀槽內，達到平衡時，管中封閉端空氣柱A長133mm，如圖7-16所示（設大氣壓強為1.01325×105Pa（760mmHg），溫度保持不變），求槽中水銀進入管中的長度H=？
【錯解分析】錯解：以水平放置作為初態，以豎直插入水銀槽后作為末態，分別對A，B兩部。分氣體應用玻意耳定律
對A氣體：pAVA=p'A?V'A
對于B氣體：pBVB=p'BV'B因為p'B=p'A+h=800+60=860(mmHg)
則進入玻璃管中的水銀柱長H=（LA+LB）－（L'A+L'B）
H=[（140+140）－（133+123.72）]=23.28（mm）
初看上述解題過程似乎沒有問題，實際上，認真分析解題的全過程不難發現，在玻璃管豎直倒立的過程中，當其還未插入水銀槽內時，水銀受重力作用要下降，故封閉端空氣柱變長，開口端空氣柱變短，說明開口端有空氣溢出，即B部分氣體質量減少（不是定質量）。這部分研究對象的質量發生了變化，但如仍草率地認為初態水平，末態豎直插入的這兩個狀態是質量不變，而應用玻馬定律，固而造成上述失誤。
【正確解答】把全過程分為兩個過程看待。
第一個過程：從水平到豎直尚未插入
對A氣體：pAVA=p'AV'A
對B氣體：L'B=(140×2－152)=128(mm)
p'B= p0 =760(mmHg)
第二個過程：當玻璃管插入水銀槽后
對A氣體：pA?VA=p''AV''A
可以求得p''B=（800+60）=860（mmHg）
對B氣體；初態為豎直尚未插入，未態為已經插入后
p'BV'B=p''BV''B
所以，水銀進入管中的水銀長度為：
H=(140×2－133－133)=34(mm)
【小結】 本題與前面的第8題類似，都需要分析清楚問題所述情景的真實物理過程。而有些同學在解題時，只關注已知數值，對某些微妙的變化混然不顧，因此導致思維失誤，以致產生錯誤解法和答案。
例9 如圖7-17所示，一根一端封閉的玻璃管，當L=0.96m，內有一段長h1=0.20m的水銀柱。當溫度為t1=27℃，開口端豎直向上時，封閉空氣柱h2= 0.60m。問溫度至少升到多高時，水銀柱才能從管中全部溢出？（外界大氣壓相當于L0= 0.76m高的水銀柱產生的壓強）
【錯解分析】錯解：以封閉氣體為研究對象，其初態：p1=(L0+h1)，V1=h2S下；末態是水銀剛好完全溢出時的狀態：p2=L0，V2=LS
T2=？
上述解答中有一個錯誤，就是存在“潛在假設”。即認為：水銀柱在外溢過程中，氣體體積越大，對應溫度越高，當氣體充滿整個玻璃管（即水銀全部溢出）時，所對應的溫度是最高的。事實是：
越高。在水銀末溢出前，p不變，V越大，T越大。在水銀溢出的過程中，p減小，V增大，p?V的乘積并非一直增大。所以我們在解題的過程中，應找出在什么條件下，pV的乘積最大，由此確定相應的溫度。
T越高，假設管中還有長為X的水銀柱尚未溢出時，pV值最大，即（L0+x）（L－x）S的值最大，這是一個數學求極值問題。因為（L0+x）+（L－x）=（L0+L）與x的大小無關，所以由數學知識可知：兩數之和為一常數，則當這兩數相等時，其乘積最大。
所以：L0+x =L－x
即管內水銀柱由0.20m溢出到還剩下0.10m的過程中，p?V的乘積越來越大，這一過程必須是升溫的。此后，溫度不必再升高（但要繼續給氣體加熱），水銀柱也將繼續外溢，直至完全溢出。由氣態方程：
代入數據得：T2=385.2K。
例10 如圖7-18所示，兩端封閉、粗細均勻的細玻璃管，中間用長為h的水銀柱將其分為兩部分，分別充有空氣，現將玻璃管豎直放置，兩段空氣柱長度分別為L1，L2，已知L1＞L2，如同時對它們均勻加熱，使之升高相同的溫度，這時出現的情況是：（ ）
A．水銀柱上升
B．水銀柱下降
C．水銀柱不動
D．無法確定
【錯解分析】錯解：假設兩段空氣柱的壓強p1，p2保持不變，它們的初溫為T當溫度升高△T時，空氣柱1的體積由V1增至V'1；，增加的體積△V1=V'1－V1，考慮到空氣柱的總長度不變，空氣柱2的體積從V2增至V'2，且△V2=V'－V2，
由蓋?呂薩克定律得：
在T，△T都同的情況下，因為V1＞V2，所以△V1＞△V2，所以，水銀柱應向下移動。選B。
這道題因為初溫一樣，又升高相同的溫度，所以比較液柱移動，可能有兩種假設，一種為設壓強不變，另一種是設體積不變。而上述解法中假定壓強不變而導出水銀柱下降這本身就是自相矛盾的。水銀柱的移動情況是由水銀柱的受力情況決定的，而受力情況是由兩邊壓強的大小決定的，因此不能假設壓強不變。
【正確解答】假定兩段空氣柱的體積不變，即V1，V2不變，初始溫度為T，當溫度升高△T時，空氣柱1的壓強由p1增至p'1，△p1=p'1－p1，空氣柱2的壓強由p2增至p'2，△p2= p'2－p2。
由查理定律得：
因為p2=p1+h＞p1，所以△p1＜△p2，即水銀柱應向上移動。所以正確答案應選A。
【小結】 （1）這類題目只能按等容過程求解。因為水銀柱的移動是由于受力不平衡而引起的，而它的受力改變又是兩段空氣柱壓強增量的不同造成的，所以必須從壓強變化入手。
壓強的變化由壓強基數（即原來氣體的壓強）決定，壓強基數大，升高相同的溫度，壓強增量就大。同理，若兩段空氣柱同時降低相同的溫度，則壓強基數大的，壓強減少量大。就本題而言，水銀柱將向下移動。
例11 如圖7-19，A，B是體積相同的氣缸，B內有一導熱的、可在氣缸內無摩擦滑動的、體積不計的活塞C，D為不導熱的閥門。起初，閥門關閉，A內裝有壓強p1=2.0×105pa溫度T1=300K的氮氣。B內裝有壓強P2=1.0×105Pa，溫度T2=600K的氧氣。打開閥門D，活塞C向右移動，最后達到平衡，以V1和V2分別表示平衡后氮氣和氧氣的體積，則V1∶V2=______（假定氧氣和氮氣均為理想氣體，并與外界無熱交換，連接氣缸的管道體積可忽略）
【錯解分析】錯解：開始是平衡狀態，未態還是平衡狀態，由理想氣體狀態方
此題答案為1∶4。
理想氣體狀態方程或氣體定律，針對的對象應為一定質量的理想氣體，而不能是兩種（或兩部分）氣體各自的狀態，必須是一定質量的理想氣體初、末兩種狀態之間滿足的關系，上述解法把兩部分氣體的p1，p2，T1，T2與一定質量的氣體前后兩種狀態的p1，p'1，T1，T'1混為一談，以致出現完全相反的結論。
【正確解答】對于A容器中的氮氣，其氣體狀態為：
p1=2.0×105pa V1=V T1＝300K
P'1=P V'1=V1（題目所設） T'1=T
由氣體狀態方程可知：
對于B容器中的氧氣，其氣體狀態為：
p2=1.0×105pa V2＝V T2=600K
p'2=p V'2=V2（題目所設） T 2=T由氣態方程可知
聯立①②消去T，V可得：
此題的正確答案為V1∶V2= 4∶1
【小結】 解決有關兩部分氣體相關聯的問題時，要注意兩方面的問題。首先，要把兩部分氣體分開看待，分別對每一部分氣體分析出初、未狀態的p，V，T情況，分別列出相應的方程（應用相應的定律、規律）切不可將兩部分氣體視為兩種狀態。
其次，要找出兩部分氣體之間的聯系，如總體積不變，平衡時壓強相等，等等。例如本題中，閥門關閉時兩邊氣體體積相等，閥門打開兩邊氣體壓強相等，溫度相等，利用這些關系，可以消去方程中的未知因素，否則，也解不出正確結果。
例12 把一根兩端開口帶有活塞的直管的下端浸入水中，活塞開始時剛好與水面平齊，現將活塞緩慢地提升到離水面H=15m高處，如圖7-20所示，求在這過程中外力做功為多少？（已知活塞面積S=1.0dm2，大氣壓強p0=1.0×105Pa，活塞的厚度和質量不計，取g=10m/s2）
【錯解分析】錯解：把活塞緩慢提升需做的功等于水柱上升增加的重力勢能。
水柱的質量m=ρ?S?H，則水柱的重力勢能增加Ep = mgh =ρ?S?H?
EP=1.1×104J
也就是說，外力需做功
W=EP=1.1×104J 在大氣壓p0=1.0×105pa的情況下，水柱能上升的最
且應忽略水蒸氣氣壓的影響），而不是題目中提到的
【正確解答】在把活塞提升最初的10m的過程中，外力做功等于水柱勢能的增加，即
在把活塞提升的后5m的過程中，外力做功就等于克服大氣壓力的做功，即：
W2=p0S(H－hm)
=5.0×103(J)
則在全過程中外力做功為W=W1+W2=1.0×104（J），即為正確答案。
【小結】 解決物理問題的關鍵是要分析清楚題目所述的物理過程，這個“分析物理過程”就是所謂的審題。審題不應將注意力完全集中到已知數值上，而應重點分析問題描述的是怎樣一個過程。如本題中雖然給出了活塞上移15m，但結合大氣壓強的知識，要分析真實的物理過程是水并未隨之上升15m，而是只將水提升了10m。
例13 如圖7-21所示，A，B兩容器容積相同，用細長直導管相連，二者均封入壓強為P，溫度為T的一定質量的理想氣體，現使A內氣體溫度升溫至T'，穩定后A容器的壓強為多少？
【錯解分析】錯解：因為A容器溫度升高，所以氣體膨脹，有一些會跑到B容器中去，假設有△V的氣體遷移至B容器，由氣態方程可知：
主要是因為研究對象不清楚。我們知道，應用氣體定律（如玻意耳定律，查理定律或氣態方程等）時，研究對象應該是一定質量的氣體，而本題無論是對于A容器，還是B容器，氣體的質量都變化。若把△V做為遷移氣體，那么，它所對應的壓強、溫度參量，在兩個式子中應該是一致的，而上解式①中為（△V，p'T'），式②中為（△V，p，T），這顯然是矛盾的，是研究對象選擇不當造成的。
【正確解答】因為升溫前后，A，B容器內的氣體都發生了變化，是變質量問題，我們可以把變質量問題轉化為定質量問題。我們把升溫前整個氣體分為（V－△V）和（V+△V）兩部分（如圖7-22所示），以便升溫后，讓氣體（V―△V）充滿A容器，氣體（V+△V）壓縮進B容器，于是由氣態方程或氣體實驗定律有：
【小結】 氣態方程及氣體實驗定律都只適用于質量一定的理想氣體，但對于質量變化的問題，我們只要巧妙地選取研究對象，便可將變質量問題轉化為定質量問題，這是一種處理問題的重要方法。
例14 如圖7-23所示，一個上下都與大氣相通的直圓筒，中間用兩個活塞A與B封住一定質量的理想氣體，A，B都可沿圓筒無摩擦地上、下滑動，但不漏氣。A的質量可不計，B的質量為M，并與一勁度系數k=5×103N/m的較長的彈簧相連，已知大氣壓強p0=1×105Pa，平衡時，兩活塞問的距離L0=0.6m，現用力壓A，使之緩慢向下移動一定距離后，保持平衡，此時，用于壓A的力F=5×102N, 求活塞A向下移動的距離。（假定氣體溫度保持不變）
【錯解分析】錯解：設活塞A向下移動的距離為L，對封閉氣體列玻意耳定律：
由胡克定律可知：
F+Mg = kx ②
由于B的質量M沒有給出具體數據，只能由①②兩式聯系解得一個數值，其中帶有質量M。
這是一道力熱綜合題，應根據活塞的力學特征和氣體的熱學特征分別應用力學規律和熱學規律求解。上述題解對氣體的分析是正確的，但對活塞的分析是錯的。用胡克定律表達式中F=kx中，x若為壓縮量，則F為受到的壓力，x若為增加的壓縮量，則F為增加的壓力，F與x要相對應。
【正確解答】設活塞A向下移動L，相應B向下移動x，對氣體分析：初態：p1= p0 V1=L0S
由玻-意耳定律：p1V1= p2V2
初態時，彈簧被壓縮量為x'，由胡克定律：
Mg = kx'②
當活塞A受到壓力F時，活塞B的受力情況如圖7-24所示。F'為此時彈簧彈力
由平衡條件可知
p0S+F'=p0S+F+Mg③
由胡克定律有：
F'=k(x+x')④
聯立①②③④解得：
L=
例15 圓柱形氣缸筒長2L，截面積為S，缸內有活塞，活塞可以沿缸壁無摩擦不漏氣的滑動，氣缸置于水平面上，缸筒內有壓強為p0，溫度為T0的理想氣體，氣體體積恰好占缸筒容積的一半，如圖7－25所示。此時大氣壓也是p0，彈簧的勁度系數為k，氣缸與地面的最大靜摩擦力為f，求：
（1）當kL＜f，對氣缸緩慢加熱到活塞移至缸筒口時，氣缸內氣體溫度是多少？
（2）當kL＞f，對氣缸緩慢加熱到活塞移至缸筒口時，氣缸內氣體的溫度又是多少？
【錯解分析】錯解：（1）以整體為對象。∵kL＜f，所以在活塞移至缸口時（此時彈簧彈力為kL），系統始終靜止。
以活塞為對象，末態受力如圖7－26所示。
由平衡條件可知：p2S=p0S+kL
以氣體為對象，p1=p0 V1=Ls T1=T0
（2）當kL＞f時，氣缸要滑動
解法一：與（1）解法類似
對活塞受力分析如圖7－26所示
其余解法與（1）相同，答案也與（1）相同，說明兩種情況沒有區別。
解法二：以活塞為對象受力分析如圖7－27
p2S+f = kL+p0S
此題第一問解法及答案均正確。錯誤主要發生在第二問：（1）沒有詳細地分析kL＞f情況下氣缸，活塞的運動，而是套用了第一問解題的思路，分不清kL＜f與kL＞f在此題中的本質區別。（2）解法2對活塞受力分析出現了氣缸受力f，導致錯誤。
【正確解答】第一問如上所述，略。
第二問，當kL＞f，就意味著彈簧壓縮到一定程度，設壓縮量為x，即kx = f處，就不繼續壓縮，這之后，氣缸開始滑動，而氣體則做等壓升溫膨脹。
氣體的變化可以分為三種狀態兩個過程，如圖7－28所示。
第一個過程：甲態→乙態，p，V，T都變。
而丙態的壓強與乙態相同，
第二個過程：從甲態→丙態應用氣態方程
例16 如圖7-29所示，一端開口的圓筒中插入光滑活塞，密閉住一段理想氣體，其狀態參量為p0，V0，T0，在與外界無熱交換的情況下，先壓縮氣體到p1，V1，T1狀態，再讓氣體膨脹到p2，V2，T2狀態，若V1＜V0＜V2，則 [ ]
A．T1＞T0＞T2 B．T1=T0=T2
C．T1＜T0＜T2 D．無法判斷
關系。此題只提供了體積之間的關系，而沒有壓強p1，p2，p3的大小關系，從題目上看，壓強也不相等，所以無法判斷，應選D。
主要原因沒有進一步挖掘題目給出的條件，即“與外界無熱交換”這個條件，若注意到這點，必有收獲。
【正確解答】從題目給出的條件，V1＜V0＜V2和“與外界無熱交換”，根據熱力學第一定律，我們可以知道，從V0→V1的過程，氣體體積減小，外界對氣體做功，而系統吸放熱為零，則內能一定增加，理想氣體內能增加意味著溫度增加，所以T1＞T0。從狀態1經過狀態0到狀態2，氣體體積膨脹，氣體對外做功，內能減少，溫度降低，所以T0＞T2，結果為T1＞T0＞T2。本題的正確答案為A。
例17 一定質量的理想氣體的三個狀態在V-T圖上用A，B，C三個點表示，如圖7-30所示。試比較氣體在這三個狀態時的壓強pA，pB，pC的大小關系有： [ ]
A．pC＞pB＞pA
B．pA＜pC＜pB
C．pC＞pA＞pB
D．無法判斷。
【錯解分析】錯解一：因為一定質量的理想氣體壓強與溫度成正比，哪個狀態對應的溫度高，在哪個狀態時，氣體的壓強就大，即TC＞TA＞TB，所以有pC＞pA＞pB，應選C。
錯解二：因為一定質量的理想氣體的壓強與體積成反比，體積越大，壓強越小，從圖上可以看出：VA＞VC＞VB，所以pA＜pC＜pB，應選B。
以上兩種錯解，從分析思路上講都錯了，都沒有了解到氣體狀態的三個參量（p，V，T）之間兩兩定量關系是有條件的。如壓強與溫度（當然應為熱力學溫度T）成正比的條件是體積不變，而壓強與體積成反比的條件應是溫度不變。如果不考慮第三個參量，而單純只講兩個參量之間的關系，顯然只能導致錯誤的結果，同時也培養了錯誤的思考問題方式，是不可取的。當第三個參量不是定量時，三者之
【正確解答】因為所給的是V-T圖，A，B，C三點的溫度體積都不一樣，要想比較三個狀態的壓強，可以利用V-T圖上的等壓線輔助分析。
在V-T圖上，等壓線是一條延長線過原點的直線，可以通過A，B，C三點做三條等壓線分別表示三個等壓過程，如圖7-31所示。一定質量的理想氣體在等壓過程中壓強保持不變，體積與溫度成正比，為了比較三個等壓線所代表的壓強的大小，可以做一條等溫線（亦可作一條等容線，方法大同小異，以下略），使一個等溫過程與三個等壓過程聯系起來，等溫線（溫度為T'）與等壓線分別交于A'，B'，C'，在等溫過程中，壓強與體積成反比（玻意耳定律），從圖上可以看出：VA'＞VB'＞VC'，所以可以得出結論：pA'＜pB'＜pC，而A與A'，B與B'，C與C分別在各自的等壓線上，即pA=pA'，pB=pB'，pC=pC'，所以可以得出結論，即pA＜pB＜pC，所以正確答案為A。
例18 如圖7-32所示，已知一定質量的理想氣體，從狀態1變化到狀態2。問：氣體對外是否做功？
【錯解分析】錯解一：因為判斷不了氣體體積情況，所以無法確定。
錯解二：因為1狀態與2狀態在一條直線上．而p-T坐標上的等容線是直線．所以狀態1與狀態2的體積相等，氣體對外不做功。
錯解一是不會應用等容線，不知道如何利用p-V圖比較兩個狀態的體積，因而感到無從下手。
錯解二是把等容線的概念弄錯了，雖然狀態1和狀態2在一條直線上，但并不是說p―T圖上的所有直線都是等容線。只有延長線過原點的直線才表示一個等容過程。而此題的狀態1與狀態2所在的直線就不是一條等容線。
【正確解答】如圖7-33所示，分別做出過1和2的等容線Ⅰ和Ⅱ，由圖可知，直線Ⅰ的斜率大于直線Ⅱ的斜率，則VⅡ＞VⅠ，即V2＞V1，所以，從狀態1變化到狀態2，氣體膨脹對外做功了。
【小結】 從此題的解答可以看到，利用圖象幫助解決問題，有時是很方便的，但這種方法首先必須按圖象有一個清楚的了解，只有在“識別”圖象的基礎上，才能準確地“運用”圖像。
例19 一個絕熱氣缸，壓縮活塞前容積為V，內部氣體的壓強為p， [ ]
C．大于6p D．小于6p
【錯解分析】錯解：因為氣缸是絕熱的，所以壓縮過程為等溫變化，由玻意耳
所以應該選B。
錯誤主要是把絕熱和等溫等同起來，認為絕熱就是溫度不變，這是解決熱學問題中常見的錯誤。實際上改變內能的方式有兩種，即熱傳遞和做功，不能認為沒有熱傳遞內能就不改變。
【正確解答】因為氣缸絕熱，所以熱傳遞Q=0，而現用力將活塞推進，使體積減小，即外力對氣體做功了，也就是氣體的溫度升高了，由氣態方程可知pV=cT，只有當p'＞6p時，pV乘積才可能是增加的。
所以B不對。正確答案應選C。
【小結】 本題在分析清楚“推進活塞時氣體做功→氣體內能增加→氣體溫度升高”這一關系的基礎上，也可用氣態方程做出判斷：p1=p，
例20 將一裝有壓縮空氣的金屬瓶的瓶塞突然打開，使壓縮空氣迅速跑出，當瓶內氣體壓強降至等于大氣壓p0時，立即蓋緊瓶塞，過一段時間后，瓶內壓強將：（設瓶外環境溫度不變） [ ]
A．仍為p0 B．大于p0
C．小于p0 D．無法確定
【錯解分析】錯解：由于是在內外氣壓相等的情況下塞上瓶塞的，所以過一段時間后，內外壓強應該仍然相等，所以答案應該選A。
上述解答中沒有從熱力學規律出發，不能把生活語言，如“突然”，“空氣迅速跑出”等詞語，“翻譯”成“物理語言”。上述表達的物理語言可表述為：壓縮氣體對外做功，與外界來不及進行熱交換，即所謂的絕熱過程。另外就是“過一段時間”，這是一個可能有熱交換的過程，因為瓶子是金屬的，金屬一般都是熱的良導體。上述錯誤正是因為沒有分析這兩個熱力學過程所致。
【正確解答】拔開瓶塞，瓶內空氣急速膨脹跑出來，這是一個近似的絕熱膨脹過程，氣體對外做功。根據熱力學第一定律，氣體的內能一定減少，即溫度迅速降低。由于是在室溫下拔開瓶塞的，所以瓶內氣體的溫度一定低于室溫。當瓶內外氣體壓強相等后，塞上瓶塞，立刻又出現了一個新的熱力學過程，由于瓶內氣溫低于室溫，必將有熱量從外界傳向瓶內空氣，使瓶內空氣的溫度升高，瓶內空氣的壓強也就隨著溫度的升高而增大。所以，正確答案應為B。
【小結】 解此類題時要注意把握住題設的關鍵詞所反映的隱含條件，注意分析物理過程，而只是根據自己的生活經驗想當然一般是要出錯的。
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