北京市人大附中2007屆摸底考試數學試卷（文科）
命題人：羅 霞
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷 1至2頁，第II卷3至8頁，共150分，考試時間120分鐘.
第I卷（選擇題共40分）
注意事項： 1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、班級、學號寫在答題卡上；
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；
3．考試結束，將答題卡和第II卷3至8頁試卷一并交回.
一、 本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．設全集U=R，
是
（ ）
A．
B． 
C．
D．
2．若條件
則
成立的（ ）
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
3．二項式
的展開式中常數項為 （ ）
A．70 B．
0
4. 已知曲線
在
點處的切線與曲線
在點處的切線互相平行，則
的值為
（ ）
A. 0 B. 0或
C. D.0 或
5．給出下面的四個命題：
（1）兩個側面為矩形的四棱柱是直四棱柱；
（2）平行六面體
（3）若
（4）
其中正確的命題的個數是（ ）
A. 1
B.
6．已知函數
是
上的減函數，那么
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在正方體的八個頂點中任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為 （ ）
A．
B． 
C．
D．
8．一個機器人每一秒鐘是前進或者后退一步，現在程序設計師讓機器人以前進3步，然后再后退2步的規律移動. 如果將機器人放在數軸的原點，面向軸的正方向，以1步的距離（機器人的每步的距離一樣長）為1個單位長度. 令P(n)表示第n秒時機器人所在位置的坐標，且記P(0)=0，則下列結論中
錯誤的是 （ ）
A. P(3)=3 B. P(5)=
二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．
9．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1 200輛，6 000輛和2 000輛．為檢驗該公司的產品質量，現用分層抽樣方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取_________，___________，____________輛．
10．函數
的反函數是
．
11．在一個二面角的一個面內有一點，它到棱的距離等于它到另一個面的距離的2倍，則二面角的度數為
．（寫出范圍在
內的解）
12．設
在
上是單調遞增函數，則實數的取值范圍為 ．
13．若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 ．
14．讀下列命題，請把正確命題的序號都填在橫線上 .
①已知命題
與命題
，若是的充分不必要條件，則
是
的充分不必要條件；
②若函數
對定義域中的
總有
是奇函數；
③函數
的圖象關于點（－1，－2）成中心對稱；
④已知f(x)是R上的函數，且滿足f(x+2)= f(x)，當x
時，f(x)=
，
則
2007.5)的值為0.5．
二、 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15. （本題滿分12分）已知集合
，并且滿足
求實數的取值范圍．
16. （本題滿分13分）在8件產品中,有5件合格品,3件次品.從中任意取出4件，求下列事件發生的概率.
（Ⅰ）取出2件合格品或3件合格品 ；
（Ⅱ）至少取出一件次品.
17. (本題滿分13分)
已知函數
在
與
時都取得極值.
（1）
求
的值與函數的單調區間；
（2）
若對Î
，不等式
恒成立，求
的取值范圍.
18. (本小題滿分14分)
如圖，四棱錐
中，
底面
,
且
，
與
底面成
角，點
分別是
的中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大�。�
（Ⅲ）當
時，求異面直線
所成的角.
19．（本題滿分14分）
設函數＝
的圖象關于直線－
＝0對稱.
（1）求
的值；
（2）判斷并證明函數在區間（1，＋∞）上的單調性；
（3）若直線＝（∈R）與的圖象無公共點，且
＜2＋
，求實數
的取值范圍．
20.（本小題滿分14分）
對于函數
，若存在實數
，使
成立，則稱為
的不動點.
（1）當
時，求的不動點；
（2）若對于任何實數
，函數恒有兩相異的不動點，求實數的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若
的圖象上
、
兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線
是線段
的垂直平分線，求實數的最小值.
一．選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
B
A
B
D
二．填空題：
9．6、30、10；
10．
；
11．
；
12．
；
13．{
0<
≤3}；
14．③④
三、 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．解： 
； ………5分
方程
有非正實數根
綜上：
……………………12分
16. 解：（Ⅰ）設取出的4件中有2件合格品或3件合格品分別為事件A、B，則
∵A、B為兩個互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
答： 取出2件合格品或3件合格品的概率為…………6分
（Ⅱ）取出4件都為合格品的事件為C，則P（C）=
至少取出一件次品的事件為事件C的對立事件,其概率為
答：至少取出一件次品的概率為
.…………13分
17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋
a＝
，b＝－2。。。。。。。。。4分
f¢（x）＝3
2－－2＝（3＋2）（－1），函數f（x）的單調區間如下表：
（－¥，－
）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
極大值
¯
極小值
所以函數f（）的遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥）
遞減區間是（－，1）。。。。。。。。。。。7分
（2）f（x）＝3－
2－2＋c，Î
，由（1）當＝－時，f（x）＝
＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）<c2（Î）恒成立，只需c
解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分
18．（Ⅰ）證明：∵
底面
，
底面，∴
又∵
且
平面
， 
平面， 
，
∴
平面；
4分
（Ⅱ）解：∵點
分別是
的中點，
∴
，由（Ⅰ）知平面，∴
平面，
∴
，
，
∴
為二面角
的平面角，7分
∵底面，
∴
與底面所成的角即為
，
∴＝
，
∵
為直角三角形斜邊的中點，
∴
為等腰三角形，且
，
∴
，∴二面角的大小為
；9分
（Ⅲ）法１：過點
作
交
于點
，則
或其補角即為異面直
線
所成的角，11分
∵為
的中點,∴為為的中點, 設
，則由
得
，又
，∴
∴
＝
，∴
，
∴由（Ⅱ）知
為直角三角形，且 
，
，∴
，
在直角三角形
中，
，
∴
，
∴在三角形
中，
，13分
∴
為直角三角形，為直角，
∴異面直線所成的角為
．14分
或者用三垂線定理，首先證明DB與BC垂直也可以
因為 ∴＝，又
，
所以
，即DB與BC垂直
法２：以點
為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設
，則
，
，
，則
則
，
，
，
，∴異面直線所成的角為……………．
14分
19．解：1）由
＝
.
＝
，∴
＝1；……….4分
（2）＝
在（1，＋∞）上是單調遞減函數，
任取
、
∈（1，＋∞），且設＜，則：
－
＝
＞0，
∴＝在（1，＋∞）上是單調遞減函數；……………9分
（3）當直線
＝（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，
∴
＜2＋
＝4＝
，｜
－2｜＋
＞2，
得：＞
或＜…………..14分
20．解
（1）當
時， 
設為其不動點，即
則
的不動點是－1，2………..
4分
（2）由
得：
. 由已知，此方程有相異二實根，
恒成立，即
即
對任意
恒成立.
…………………. …………10分
（3）設
，
直線
是線段AB的垂直平分線， ∴ 
記AB的中點
由（2）知
化簡得：
時，等號成立）.
……………………………………………………………14分
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