2008―2009學年度南昌市高三第一次模擬測試卷
數 學 （理科）
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B) = P(A)?P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，
那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
其中R表示球的半徑
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知集合
，
集合
，則集合M、P之間的關系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，函數
與函數
的圖象可能是
( )
3．在數列
中，
，
，則
的值為 ( )
A．2
B．
4．設
是三個互不重合的平面，
是直線，給出下列命題
①若
，則
；
②若
，則
；
③若在
內的射影互相垂直，則
； ④若
則，
其中正確命題的個數為 （ ）
A．0 B. l C．2 D. 3
5．設
，把
的圖象按向量
平移后，圖象恰好為函數
的圖象，則m的值可以為
（ ）
A．
B．
C．
D. 
6．已知等差數列的前n項和為
，且
，則過點
和
的直線的一個方向向量的坐標可以是（ ）
A．(2，4)
B．
C．
D. （-1，-1）
高三數學（理科）（模擬一）第1頁（共4頁）
7．設
的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若
，則展開式中x3的系數為（ ）
A．-150
B．
8．設函數
,則對于任意的實數a和b, a + b＞0是f(a)+f(b)＞0的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．設
，若函數
有大于零的極值點，則
A．a＞-3 B．a＜
D．
10．過點P(4,2)作圓
的兩條切線，切點分別為A、B，0為坐標原點，則
的外接圓方程是( )
A．
B．
C．
D．
11．如圖，在棱長為4的正方體
中，E、F分別是AD,
，的中點，長為2的線段MN的一個
端點M在線段EF上運動，另一個端點N在
底面
上運動，則線段MN的中
點P的軌跡(曲面)與二面角A―一
所圍成的幾何體的體積為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若
且
，則
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分。共16分．請把答案填在答題卡上)
13．若拋物線
的焦點與橢圓
的右焦點重合，則p的值為________．
14．一對酷愛運動的年輕夫婦，讓剛滿十個月大的嬰兒把“0，0，2，8，北，京”六張卡片排成一行，若嬰兒能使得排成的順序為“2008北京”或“北京
15．設直線
平面
，過平面外一點A作直線，與
，都成
角的直線有____條．
16．不等式組
所表示的平面區域為D，若D的面積為S，則
的最小值為_____________。
高三數學（理科）（模擬一）第2頁（共4頁）
三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)
在銳角
中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量
且
(I) 求角B的大小；
(II)如果
，求的面積
的最大值．
18．(本小題滿分12分)
已知數列
，其前n項和滿足
(
是大于0的常數)，且
，
(I) 求的值；
(Ⅱ)求數列的通項公式
；
(Ⅲ)設數列
的前n項和為
，試比較
與的大小．
19．(本小題滿分12分)
一個正四面體的四個面上分別涂有l，2，3，4 四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為
，記
。
(1)分別求出
取得最大值和最小值時的概率；
(2)求的分布列及數學期望．
高三數學（理科）（模擬一）第3頁（共4頁）
20．(本小題滿分12分)
已知斜三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知
(I) 求證：
平面
；
(Ⅱ)求
到平面
的距離；
(Ⅲ)求二面角
的大小．
21．(本小題滿分12分)
已知函數
，且函數的圖象關于原點對稱，其圖象在
處的切線方程為
(1)求的解析式；
(2)是否存在區間
使得函數
的定義域和值域均為，且其解析式為f(x)的解析式？若存在，求出這樣的一個區間[m，n]；若不存在，則說明理由．
22．(本小題滿分14分)
設雙曲線
的左、右頂點分別為
，垂直于
軸的直線
與雙曲線
交于不同的兩點P、Q。
(1)若直線m與x軸正半軸的交點為T，且
，求點T的坐標；
(2)求直線
與
的交點M的軌跡E的方程；
(3)過點
作直線與(2)中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設
若
，求
(T為(1)中的點)的取值范圍．
高三數學（理科）（模擬一）第4頁（共4頁）
2008―2009學年度南昌市高三第一次模擬測試卷
一．選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
B
D
B
B
C
B
A
C
D
二．填空題
13． 4 ；
14．
； 15． 2 ； 16．32 ；
三．解答題．
17．解：（1）
……………………………2分
……………………………4分
…………………………………………6分
（2）
由余弦定理得：
（當且僅當
時等號成立）………………9分
…………………………………………………11分
的面積最大值為
…………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由
得
…………………2分
∴
……………………………………4分
（Ⅱ）由
整理得
∴數列
是以
為首項，以2為公比的等比數列， …………………6分
∴
∴
∵當
時
滿足
………………………………………8分
（Ⅲ）
則
………………………………………………………………10分
∴
∴當時，
，當
時，
高三數學（理科）（模擬一）答案第1頁
即當或2時，
。當
時，
……2分
19．解：（Ⅰ）擲出點數x可能是：1，2，3，4.
則
分別得：
。于是
的所有取值分別為：0，1，4 .
因此
的所有取值為：0，1，2，4，5，8. …………………………………………2分
當
且
時，
可取得最大值8，
此時，
； ………………………………………………………4分
當
時且
時，可取得最小值 0.
此時
…………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）知的所有取值為：0，1，2，4，5，8.
……………………………………………………………7分
當
時,
的所有取值為(2，3)、(4，3)、(3，2),(3，4)即
；
當
時,的所有取值為(2，2)、(4，4)、(4，2),(2，4)即
…8分
當
時,的所有取值為(1，3)、(3，1)即
；
當
時,的所有取值為(1，2)、(2，1)、(1，4),(4，1)即
…9分
所以的分布列為：
0
1
2
4
5
8
…
…………10分
即的期望
………………12分
20．解：（Ⅰ）因為
平面
，
所以平面
平面，………………1分
又
，所以
平面
，
得
，又
………2分
所以
平面
； ………………………3分
（Ⅱ）因為
，所以四邊形為菱形，
故
，
又D為AC中點，知
……………4分
取
中點F，則
平面
，從而平面
平面………………6分
過
作
于
，則
面
，
高三數學（理科）（模擬一）答案第2頁
在
中，
，故
……………………………7分
即
到平面的距離為
…………………………………………8分
（Ⅲ）過作
于
，連
，則
從而
為二面角
的平面角， ……………………………………9分
在
中
，所以
在
中，
………………………………………11分
故二面角的大小為
………………………………………12分
解法2：（Ⅰ）如圖，取AB的中點E，則DE//BC，因為
所以
又平面
…………………1分
以
為
軸建立空間坐標系，
則
……………………2分
由
知
又從而平面
……………3分
（Ⅱ）由
，得 
………4分
設平面的法向量為
所以
設
則
……………………………7分
所以點
到平面的距離
………………………………8分
（Ⅲ）再設平面的法向量為
所以
…………………………………9分
故
，根據法向量的方向， ………………………11分
可知二面角的大小為
………………………………………12分
高三數學（理科）（模擬一）答案第3頁
21．解：（1）∵
的圖象關于原點對稱，∴
恒成立，即
∴
又的圖象在
處的切線方程為
即
…2分
∴
，且
而
∴
…………………3分
∴
解得
故所求的解析式為
……6分
（2）解
得
或
又
，由
得
且當
或
時，
………………………………………………………………………………8分
當
時
∴在
和
遞增;在
上遞減。…9分
∴在
上的極大值和極小值分別為
而
故存在這樣的區間
其中一個區間為…12分
22. 解：（1）由題意得
設
則
由
即
① …………………………………2分
又
在雙曲線上，則
②
聯立①、②，解得：
由題意，
∴
∴點T的坐標為（2，0）. ………………………………4分
（2）設直線
與
的交點M的坐標為
由
、P、M三點共線，得：
①
由
、
、
三點共線，得：
②
聯①、②立，解得：
……………………………………………6分
∵在雙曲線上，∴
∴軌跡E的方程為
………………………………………8分
高三數學（理科）（模擬一）答案第4頁
（3）容易驗證直線
的斜率不為0.
故要設直線的方程為
代入
中得：
設
且
,則由根與系數的關系，
得：
，① 
② ………………………………10分
∵
，∴有
且
。將①式平方除以②式，得：
由
……………………………………………………………12分
∵
∴
又
∴
故
令
∵
∴
即
∴
而 ∴
∴ 
…………………14分
高三數學（理科）（模擬一）答案第5頁
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