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1.一個袋中有5個白球和3個紅球,從中任取3個,則隨機變量為………………(  )

A.所取球的個數                B.其中所含白球的個數

C.所取白球和紅球的總數        D.袋中球的總數

解析 根據離散型隨機變量的定義,可知B中的試驗結果ξ可能取得的值是一個變量,并可以按一定次序一一列出.而A、C、D中的試驗結果是一常量,不符合隨機變量的定義.

答案 B

2.下面表可以作為離散型隨機變量的分布列. ……………………………(  )

ξ₁

-1

0

1

P

ξ₃

0

1

2

P

-

A.                                                       B.

ξ₃

0

1

2

P

ξ₄

1

2

1

P

    C.                                                                                              D.

分析 本題主要考查任一離散型隨機變量的分布列所具有的兩個性質：

(1)P_i≥0,i=1,2,3,…；

(2)P₁+P₂+…=1.

解 對于B,由于P(0)=-＜0,不符合離散型隨機變量概率分布的性質(1)；

對于C,由于P(0)+ P(1)+P(2)= ++=＞1,不符合離散型隨機變量的性質(2)；

對于D,隨機變量ξ₄的取值x₁=x₃=1,不符合隨機變量的意義；

只有A完全符合離散型隨機變量的要求.

答案 A

3.某射手射擊所得環數ξ的分布列如下:

ξ

4

5

6

7

8

9

10

P

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

如果命中8~10環為優秀,那么他射擊一次為優秀的概率是…………………………(　　)

A.0.29　　            B.0.57                C.0.79                   D.0.51

分析 一般地,離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.

解 根據射手射擊所得環數的分布列,有

P(ξ=8)=0.28,P(ξ=9)=0.29,P(ξ=10)=0.22,

所求概率為P(ξ≥8)=0.28+0.29+0.22=0.79.

ξ

-1

0

1

P

答案 C

4.已知ξ的分布列為

且設η=2ξ+1,則η的數學期望Eη的值是………………………………(  )

A.               B.                  C.1                     D.

分析 本題考查期望的計算公式,E(aξ+b)=aEξ+b.

解 因為Eξ=-1×+0×+1×=,

所以Eη=E(2ξ+1)=2Eξ+1=2×()+1=.

答案 B

5.設某批電子管正品率為,次品率為,現對這批電子管進行測試,設第ξ次首次測到正品,則P(ξ=3)等于……………………………………………………(  )

A.()²×                          B.()²×

C.()²×                          D.()²×

分析 本題考查離散型隨機變量的幾何分布.

解 根據相互獨立事件的概率計算公式,有P(ξ=3)= ××=()²×.

答案 B

6.箱子里有5個黑球,4個白球,每次隨機取出一個球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為………………………………(  )

A.                    B.()³×

C. ×                     D.×()³×

分析 本題中,每次隨機取出一個球是等可能性事件,取出的是黑球或白球應用的是等可能性事件的概率公式.由于放回取球使得各次取球之間取得黑球或白球的概率互不影響,因而各次取球才構成相互獨立事件,才可以利用相互獨立事件同時發生的概率計算公式.

解 由題意,第4次取球后停止的事件應是前3次取出的均是黑球,第4次取出的是白球.因為取出黑球后要放回箱中重新取球,故前3次每次取出黑球的概率都是=.第4次取出白球的概率是=,4次取球是相互獨立事件,彼此概率不受影響,利用相互獨立事件同時發生的概率的乘法公式可得“在第4次取球之后停止的概率”為×××=()³×().

答案 B

7.若ξ~B(5,0.1),那么P(ξ≤2)等于………………………………(  )

A.0.072 9                                        B.0.008 56

C.0.918 54                                D.0.991 44

分析 本題考查二項分布中互斥事件和的概率.一般地,離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.

解 P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)

=?(0.1)^k?(0.9)^5-k

=(0.9)⁵+5?(0.1)?(0.9)⁴+?(0.1)²?(0.9)³

=0.590 49+0.328 05+0.072 9=0.991 44.

答案 D

8.★隨機變量ξ的分布規律為P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常數,則P(＜ξ＜)的值為………………………………………………(  )

A.              B.             C.            D.

分析 本題考查離散型隨機變量分布列的性質及互斥事件和的概率計算.

解 由題意可知

,可得a=.

P(＜ξ＜)=P(ξ=1)+P(ξ=2)= ==×=.

答案 D

9.設ξ~B(n,p)且Eξ=15,Dξ=,則n、p的值分別是……………………(  )

A.50,              B.60,              C.50,             D.60,

分析 本題考查二項分布的期望與方差.

解 由題意,得   解得

答案 B

10.一射手對靶射擊,直到第一次擊中為止,每次命中的概率為0.6,現有4顆子彈,命中后尚余子彈數目ξ的數學期望為……………………………………(  )

A.2.44               B.2.386              C.2.376               D.2.4

分析 本題主要考查離散型隨機變量分布列以及數學期望的求法.解答本題要注意不要忽略ξ=0的情況.“ξ=0”的含義說明前3次一定沒有命中,但第4次有可能命中,也有可能沒有命中.

解

ξ

0

1

2

3

P

0.4³

0.4²×0.6

0.4×0.6

0.6

∴Eξ=0×0.4³+1×0.4²×0.6+2×0.4×0.6+3×0.6=2.376.

答案 C

第Ⅱ卷(非選擇題 共60分)

11.若離散型隨機變量ξ的分布列為

ξ

0

1

P

9c²-c

3-8c

 則常數c的值為                .

分析  考查離散型隨機變量分布列的兩個性質.

由0≤P(ξ=0)≤1,0≤P(ξ=1)≤1及P(ξ=0)+P(ξ=1)=1,即可求出c的值.

解 由離散型隨機變量分布列的性質,知

9c²-c+3-8c=1且0≤9c²-c≤1,0≤3-8c≤1,

解得常數c=.

答案

12.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球,設其中有ξ個紅球,則隨機變量ξ的概率分布為:

ξ

0

1

2

分析 本題考查離散型隨機變量的分布列及等可能事件的概率計算問題.

解 由等可能事件的概率計算公式可知:

P(ξ=0)= =,

P(ξ=1)= =，

P(ξ=2)= =.

答案

ξ

0

1

2

P

13.某射手射擊1次,擊中目標的概率是0.9.他連續射擊4次,且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結論:

①他第3次擊中目標的概率是0.9;

②他恰好擊中目標3次的概率是0.9³×0.1;

③他至少擊中目標1次的概率是1-0.1⁴.

其中正確結論的序號是(寫出所有正確結論的序號).

分析 本題主要考查相互獨立事件的概率等基礎知識.解題的關鍵是正確使用相互獨立事件的概率公式.

解 ①因為各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響,所以第3次擊中目標的概率是0.9.正確.

②恰好3次擊中目標的概率應為×0.9³×0.1.

③4次射擊都未擊中目標的概率為0.1⁴,所以至少擊中1次目標的概率為1-0.1⁴.

答案 ①③

14.★設ξ是離散型隨機變量,P(ξ=x₁)= ,P(ξ=x₂)=,且x₁＜x₂,又已知Eξ=,Dξ=,則x₁+x₂的值為                    .

解析 由題意可知

解得       x₁+x₂=1+2=3.

答案 3

15.(本小題滿分8分)有甲、乙兩個單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:

甲單位不同職位月工資x₁/元

1 200

1 400

1 600

1 800

獲得相應職位的概率P₁

0.4

0.3

0.2

0.1

乙單位不同職位月工資x₂/元

1 000

1 400

1 600

2 200

獲得相應職位的概率P₂

0.4

0.3

0.2

0.1

根據工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?

解 根據月工資的分布列,計算得

Ex₁=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,

Dx₁=(1 200-1 400)²×0.4+(1 400-1 400)²×0.3+(1 600-1 400)²×0.2+(1 800-1 400)²×0.1=40 000; 3分

Ex₂=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1=1 400,

Dx₂=(1 000-1 400)²×0.4+(1 400-1 400)²×0.3+(1 800-1 400)²×0.2+(2 200-1 400)²×0.1=112 000.                         6分

因為Ex₁=Ex₂,Dx₁＜Dx₂,所以兩家單位的工資均值相等,但甲單位不同職位的工資相對集中,乙單位不同職位的工資相對分散.這樣,如果你希望不同職位的工資差距小一些,就選擇甲單位;如果你希望不同職位的工資差距大一些,就選擇乙單位.        8分

16.(本小題滿分8分)某同學參加科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規則規定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分.假設這名同學每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

(1)求這名同學回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和數學期望;

(2)求這名同學總得分不為負分(即ξ≥0)的概率.

分析 本題主要考查離散型隨機變量的分布列、數學期望等概念,以及運用統計知識解決實際問題的能力.求解的關鍵是搞清隨機變量ξ的可能取值,即所得分數.其中,答對0道題得-300分,答對1道題得100-200=-100分,答對2道題得2×100-100=100分,答對3道題得300分.

總分不為負共包括:總分為100分,總分為300分兩種情況.

解 (1)ξ的可能取值為-300,-100,100,300.       2分

P(ξ=-300)=0.2³=0.008,

P(ξ=-100)=3×0.2²×0.8=0.096,

P(ξ=100)=3×0.2×0.8²=0.384,

P(ξ=300)=0.8³=0.512.

所以ξ的概率分布為

ξ

-300

-100

100

300

P

0.008

0.096

0.384

0.512

5分

Eξ=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.                    7分

(2)這名同學總得分不為負分的概率為P(ξ≥0)=0.384+0.512=0.896.                 8分

17.★(本小題滿分8分)某同學向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢,飛鏢落在靶外的概率為0.1,飛鏢落在靶內的各個點是隨機的.已知圓形靶中三個圓為同心圓,半徑分別為30 cm,20 cm,10 cm,飛鏢落在不同區域的環數如圖中標示.設這位同學投擲一次得到的環數這個隨機變量為x,求x的分布列.

解 由題意可知,飛鏢落在靶內各個區域的概率與它們的面積成正比,而與它們的位置和形狀無關.                                          2分

由圓的半徑值可得到三個同心圓的半徑比為3∶2∶1,面積比為9∶4∶1,所以8環區域,9環區域,10環區域的面積比為5∶3∶1,則擲得8環,9環,10環的概率可分別設為5k,3k,k,根據離散型隨機變量分布列的性質(2)有0.1+5k+3k+k=1,                                 6分

解得k=0.1.得到離散型隨機變量x的分布列為

X

0

8

9

10

P

0.1

0.5

0.3

0.1

8分

18.(本小題滿分10分)某廠生產電子元件,其產品的次品率為5%,現從一批產品中任意地連續取出2件.

(1)寫出其中次品數ξ的分布列；

(2)求P(ξ≥1).

分析 本題考查二項分布的概率分布公式和某些簡單的離散型隨機變量的分布列以及由分布列求出一些事件的概率.這是n次獨立重復試驗,出現次品數ξ服從二項分布,由概率公式P(ξ=k)= p^kq^n-k(0＜p＜1,p+q=1且k=0,1,2,…,n)就可求出ξ的分布列,從而求出P(ξ≥1).

解 依題意,隨機變量ξ~B(2,5%).       3分

P(ξ=0)=(95%)²=0.902 5,          4分

P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095,        5分

P(ξ=2)=(5%)²=0.002 5.           6分

因此,

(1)次品數ξ的分布列是

ξ

0

1

2

P

0.902 5

0.095

0.002 5

8分

(2)P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.095+0.002 5=0.097 5.                            10分

19.★(本小題滿分10分)西安市一中高二年級研究性學習組在網上查到某種子在一定條件下發芽成功的概率為,該研究性學習組分成三個小組開展了驗證性試驗(每次均種下一粒種子).

(1)求第一小組種下的前2粒種子未發芽,第3粒種子發芽的概率;

(2)第二小組做了若干次發芽試驗,如果在試驗中種子發芽成功就終止試驗,否則就將繼續進行試驗,直到種子發芽成功為止,但試驗的次數最多不超過5次,求試驗次數ξ的分布列和期望.

分析 本題考查相互獨立事件同時發生的概率,離散型隨機變量的分布列,數學期望等概念,以及運用概率統計知識解決實際問題的能力.

解 (1)∵前2粒未發芽,第3粒才發芽,

∴P=(1-)×(1-)×=.        2分

(2)發芽試驗次數ξ取1~5的整數,種子發芽成功的概率為,不成功的概率為,則前k-1次發芽不成功而第k次發芽成功的概率為

P(ξ=k)=()^k-1?(k=1,2,3,4).     5分

進行第5次發芽試驗前4次不成功的概率為

P(ξ=5)=()⁴.                  7分

由此可得ξ的概率分布為

ξ

1

2

3

4

5

P

∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=.        10分