已知函數f（x）是在（0，+∞）上每一點處可導的函數，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求證：函數g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）當x₁＞0，x₂＞0時，證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，證明：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+

1

42

ln4²+…+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

（n∈N₊）．

已知函數f（x）是在（0，+∞）上每一點處均可導的函數，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求證：函數g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數；
②當x₁＞0，x₂＞0時，證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：

1

22

ln22+

1

32

ln32+

1

42

ln42+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

，(n∈N*)．

已知函數f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區間；
（2）證明：對任意實數0＜x₁＜x₂＜1，關于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f（x）是在閉區間[a，b]上連續不斷的函數，且在區間（a，b）內導數都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用證明函數的連續性和可導性）．

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx在x=x₀處取得極小值-4，使其導數f′（x）＞0的x的取值范圍（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若過點A（-1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．