題目列表(包括答案和解析)
設函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)
的單調區(qū)間；
（2）記曲線
在點
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值.
【解析】第一問利用由已知
，所以
，
由
，得
，
所以，在區(qū)間
上，
，函數(shù)
在區(qū)間上單調遞減；
在區(qū)間
上，
，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
第二問中，因為
，所以曲線在點
處切線為：
.
切線與軸的交點為
，與軸的交點為
，
因為，所以
，
， 在區(qū)間
上，函數(shù)
單調遞增，在區(qū)間
上，函數(shù)單調遞減.所以，當
時，有最大值，此時
，
解：（Ⅰ）由已知，所以，
由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；
在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.
（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.
切線與軸的交點為，與軸的交點為，
因為，所以
，
， 在區(qū)間上，函數(shù)單調遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調遞減.所以，當時，有最大值，此時，
所以，的最大值為
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：
（x＞0）在區(qū)間(0，2)上遞減，則在________上遞增；（x＞0）的最小值為_________；
（x＞0）在區(qū)間(0，2)上遞減；
（x＜0）有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？ 已知函數(shù)
，（
），
（1）若曲線
與曲線
在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值
（2）當
時，若函數(shù)
的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值。
【解析】（1）
，
∵曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線
∴
，
∴
（2）令
，當
時，
令
，得
時，
的情況如下：
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
所以函數(shù)
的單調遞增區(qū)間為
，
，單調遞減區(qū)間為
當
，即
時，函數(shù)在區(qū)間
上單調遞增，在區(qū)間上的最大值為
，
當
且
，即
時，函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間
上單調遞減，在區(qū)間上的最大值為
當
，即a>6時，函數(shù)在區(qū)間內單調遞贈，在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間
上單調遞增。又因為
所以在區(qū)間上的最大值為。
已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）若函數(shù)
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數(shù)
，使對任意的
，不等式
恒成立.求正整數(shù)
的最大值.
【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式
恒成立轉化為
，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉化為存在實數(shù)
，使對任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設
，則.
設
，則
，因為，有
.
故
在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在
，使得
.
當
時，有
，當
時，有
.
從而
在區(qū)間
上遞增，在區(qū)間
上遞減.
又
[來源:]
所以當
時，恒有
；當
時，恒有
；
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
設函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x＜－1時，y＝f(x)的圖象是經(jīng)過A(－2，0)、B(－3，－1)兩點的一條射線，當－1≤x≤1時，y＝f(x)的圖象是頂點在(0，
)，對稱軸是y軸，且過點(－1，1)的一段拋物線．
(1)試求函數(shù)y＝f(x)的解析式；
(2)畫出f(x)的圖象并寫出其單調遞增區(qū)間．
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